Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Все эти рассуждения, разумеется, а» В. и. ма»»о» 229 могут быть отнесены к произвольному начальному моменту г,. Решение Я(сс, 1), Р(сс, 1) задачи (2.4) — (2.5) гл. 4 задает отображение и,, подмногообразия Г, на подмногообразне Г,. Применим к отображению и,, построение, приведенное в начале доказательства теоремы 2.2 (см. п. 3 ф 2), и разобьем отрезок [О, Т) на интервалы 0<11<11... <Т.
Сохраним введенные обозначения арво=и,,Мо прн 1(21; аво'=иоьоМ11 прн г»~1~1»+1 Пусть при [=0 решение уравнения (2.11) гл. 4 удовлетворяет условию (2.1!а) гл. 4. По доказанному при 1».--11 это решение можно представить в виде (2.12) гл. 4, где и„=ссо 1пл1[сс', со~) =0 М [Г11,РВ~1 Таким образом, ф (х, 1) = К11)л.гьл [МД ~о ф»Х~. Заметим, что из условий теоремы 4.4, а следует, что решение уравнения (2.11), удовлетворяющее начальному условию, эквивалентному нулю, эквивалентно нулю.
Для решения уравнения (2.11) вновь поставим начальное условие вида ' г ф (х, 1) = К'Ф,л [Рй"1 ~чР ф Х' (3.1) прн 1=1,. В силу единственности решения (см. условие теоремы 4.1) мы получим при 1=.-»г, решение ф(х, 1) задачи (2,11), (2.11а) . Перейдем в начальном условии (3.1) к другому атласу М» тогда мы получим с точностью до функции, эквивалентной нулю, ,о г ф (х. 21) = Кил,го.л [МЛ 3 ф»)[', где а,' — начальная точка Мо„а — Р бр+у — "1ш[1[ ', Ч.
И „! 2 1[а» ао! 1 Как было замечено, решение уравнения при 1=- .1, от этого не из- менится с точностью до функции, эквивалентной нулю. Поэтому получим т .а' г »Р(х, [) =Ки,гьл[М11 '~~~ ф»Х" прн 1, =1(11. Продолжая этот процесс по индукции, придем к утверждению теоремы 4.1, а. 230 2. До к азат ел ь ство теор ем ы 4 4. Сохраняя обозначения, введенные в доказательстве теоремы 4.1, рассмотриМ »1.ао » К„, ', [еб ФЧ,'Я ф. ( ° Г) Х" (сс) »=1 при 1([ь где ссо и-1 ио .21 [) р [[с[ Н<И 1[а».аО! ср,(сс, 1) =2,(и)е»о', [»=[»(Е»).
В силу (3.2) гл. 6 при %=1, 1=0 (см. также замечание в начале этого параграфа), поскольку 1п[1 ! [ссо, ссо! = 0 по построению, имеем ( д, то.а' — РИ вЂ” + Е~ К,мр' [еб(Н1) 'Я ср (а, Г)2»(сс) =Иог(х, 1, И), » 1 где х(х, 1, И)е21.1(В», С,) — пространству непрерывных по 1 и И и квадратично интегрируемых функций хе=)»»» со значениями в В'. В дальнейшем буквами з„г„г„... мы будем обозначать функции нз 1..[В', Со). Очевидно, что поскольку Г» (Ео) = Г (Е'), Н =Е', точка оооо на подмногообразии Г,(Е[) совпадает с точкой сс' на подмногообразии Г в объемлющем евклидовом пространстве и, следовательно, 'р~ = — — ') Н с[1 == — Е~».
[[а» ао! Поскольку условия теоремы 2.3 в силу (4.1) гл. 4 выполнены, мы можем применить лемму 7.5 и на основании ее получить д о.ао о — Кул г[з[, (3В1) =И21(х» 1» И). Поэтому д оса; г Кил,гкей(Мг);Я ф»(а, 1) Х (а) = » = — ГИ вЂ” [ехр ) — — )- К1'л г еб (або) '~, '$„(а) ![» (а) е во~ = » 1 г =( — Е +И[»)ехр)1([» — Е 1[~К'"'~~,,(.ж;о) ~~ л (,)»( ) Ио Ь Зоо 23! Отсюда [г'- — Е~+ /ЧУ К~ . вйРВс) 3 8 (а)Х (а)=й'г„(3.2) ч причем либо Е' — й]з(Е~ является точкой спектра оператора 1., либо ! г К,'",г<вй(9И1) ~ $„(а)у (а)~ ч=~ 1с =й*][с — Е'+~Ч'] 'г.Ь.МК вЂ”.Е~+йр] 'Ь..]зэ], где ]] 1]г„— норма в Е,[В'].
Поскольку ]](Х вЂ” Е'+йр) ']Ь., =1й1, где д — расстояние от точки Е' — йц до спектра оператора Х, то отсюда получаем, что й(0(й'), что и требовалось. Заметим, что соотношение (3.2) приводит также с помощью лем- мы 2.4 ч. 1 теории возмущений к асимптотике спектральной функ- ции Е,~ интервала ЬА-0(й) оператора Е., а именно, ! г [1 — Еэх] Ктй~г<вй ']" $„(а) Х" (а) ~ = 0 (й), (3.3) 1~ 1 ]г,1вч где АХ= Р,' — 0(й); й1+0(й)). Теорема доказана. 3. Из теоремы 4.4 непосредственно следуют теоремы 3.1, 3.6 и 3.6, а. Из теорем 4.1, 4.1, а, 4.2 при учете теорем 5.2, а, 5.3, 5.5, а, 5.6, а следуют теоремы 3.3 и 3.4 (последняя теорема для уравнений 3 и 4 табл. 2).
Очевидно, что для гиперболической системы условие 1) $2 гл. 4 выполняется, если в качестве пространства В" взять конечномерное пространство. Известно,-что из условий теорем 3.4 (для уравнений 1 и 2 табл. 2), 3.5 и 4.3 следует условие 2) В 2 гл. 4 (см. [12, 61, 19, 67, 32]). Из условий теорем 3.4, 3.5 и 4.3 следует существование при любом времени 1 решения задачи Коши для соответствующих биха- рактеристических уравнений.'Таким образом, все требования тео- ремы 4.2 'выполняются при осуществлении условий теорем 3.4, 3.5 и 4.3. ГЛАВА 8 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИИ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ В ЦЕЛОМ Задача квазиклассической аснмптотики в целом, т.
е. в случае, когда траектории пучка пересекаются, является весьма сложной. Аналогичная проблема в оптике была исследована в частных примерах в физической литературе (о переходе волны через каустику см., например, в книге Ландау и Лившица «Теория поляэ). По аналогии с оптикой априори можно было заключить, что если траектории пересекаются н в одну точку х в момент времени г приходит й траекторий, по этому отвечает й разлячных волн, которые интерферируют в точке х. Эта интерференция зависит существенно от множителя вида ехр( — 1п7~2), который стоит при 1'-й волне. Эти соображения приводятся в [56]. Там же указано, что из априорных сообРажений нельзЯ Угадать величинУ 7ь В слУчае оптической задачи в пустоте с отражающими зеркалами величина Ъ зависит от числа отражений, которые претерпела 1-я траектория.
Мы видели, что для асимптотики решений уравнений квантовой механики роль таких отражающих зеркал играют огибающие семейства (пучка) траекторий классических частиц. При этом, как указывалось в гл. 2, величина 7, оказывается равной так называемому индексу Морса 1-й траектории.
Этот индекс был введен М. Морсом при изучении вариационной задачи для функционала и определен как число отрицательных собственных значений второй вариации функционала [64]. Теория Морса сыграла существенную роль в развитии топологии дифференцируемых многообразий [31] и в изучении задачи о числе геодезических, соединяющих две точки (вариациоиное исчисление в целом) [16]. Здесь мы видим, что индекс Морса имеет конкретное физическое содержание.
В предыдущей главе мы уже получили значение Ъ, однако еще не доказали, что значение Ъ совпадает с индексом Морса. Кроме того, мы и требовали, чтобы коэффициенты уравнения были бесконечно дифференцируемы. Большая гладкость коэффициентов существенна даже для получения первого члена квазиклассической асимптотики с помощью метода, который был дан выше. Но вопрос об установлении такой минимальной гладкости коэффициентов прн такой 7ь равной индексу Морса, является принципиальным, Легко Отсюда [/.
— Е + "р) К1~ь,г<яй(3Ис') Х Ь(а) Х" ( ) ="'гм (3.2) М=1 ' причем либо Е' — /гр(Е') является точкой спектра оператора /„ либо К~ ' у (М,') 'Я ч (а)тч(а) ч=г 1ы =РРЦ[/- — Е~+/Чг) 1 г [ы ~[[/.— Ег+/Чг) г[с,)г [, где 1 1Ь,— норма в / [В'). Поскольку 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
