Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(Условие У) выполнено, например, в случае, когда матрица Е(р, х, 1) не зависит от х при ~х~)а)О„где а — некоторое число, и выполнено 1Ъ').) Ниже туннельный канонический оператор на многообразии Л",Д будем обозначать К ' . Введем в рассмотрение Ф;к,М-матрицы на Чг (а=1, 2, ..., т), определив нх следующим образом. Пусть Уз (р, х, 1) (р=1, 2, ..., н ) — ортонормированные собственные векторы матрицы Е(р, х, г), отвечающие собственному числу (гамильтониану) Н; и — кратность этого числа ( ~ р ~ ч-О, а = 1, 2,..., т). Обозначим через ь1'з коэффициенты разложения 1-го базисного орта е' в 1(" по векторам 4 (р, х, О): а «а ~~~ Уа(р, х, 0)ь~;зР=е' а=1 з 1 н через ь,',з — решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений "а дгае (;;1 11а ~с О Г 1 ~ ~си где Ф,, ~.
~ др~ др! ~ " дх.дрà — (К Хна) — МатРИЦЫ (СС фИКСИРОВаНО), 1У/Ш вЂ” ПРОИЗВОДНаЯ ВДОЛЬ траекторий системы Гамильтона (3.!) с данными Коши на Л'ь и значения аргументов р и х берутся на этих же траекториях. 219 Положим виде в= Ч' = ~ч, 'Фвй., ~Ы)~(~, М). ,'(2яй) 'А(х, $, Г) ~ ехр~ — [1(р, у(х, В, Г)+Н( — (р, у,($, 1)) 1)~).др, (3.5) Здесь и далее М означает любое сколь угодно большое наперед заданное число, а функция е(т, М) — сужение на многообразие, по которому строится соответствующий туннельный канонический оператор, гладкой финнтной функции на Йлл, тождественно равной единице в шаре ра+хл~М.
Асимптотика матрицы Грина в окрестности множества (дЗ /дх< — — 0) (1=1,..., и) построена операторным методом с использованием комплексного ростка [43 доп. лит.). Вне этой окрестности имеет место следующее утверждение. Теорем а 9.2. Пусть выполнены сформулированные выше условия 1) — Ъ), Ю'). Тогда для любого сколь угодно большого М »О при б =Г(Т матрица Грина системы (1.1) представима в виде и (Х, $, Г, й) = (2яй) о ~ ~ К~; ~ (фса + О (й)) + О (Е™lа).
и Доказательство теоремы для простоты выкладок проведем в случае И=1 (тогда индекс и можно опустить) и будем считать, что 1 (р, х, Г) ьмН(р, х, Г) =Н(р, х), бе1 ~ Н ~ чеО при ~х~ -ьо. Предварительно приведем эвристический вывод формулы для формальной равномерной асимптотики решения задачи (1,1), (1.3) при 0(Г~Л.
Заметим, что при 1=0 все начальное лагранжево многообразие (плоскости Л ' ) состоит из фокальных то«.ы чек и покрывается одной особой картой, диффеоморфно проектирующейся на плоскость х=О. Однако записать асимптотику при 1-~-0 в виде, аналогичном (3 3), нельзя, так как энтропия на плоскости Л„'~ равна нулю и сдвиг Л'„'~ вдоль характеристик соответствующего параболического уравнения приводит к растущим при й 0 экспонентам. (По той же причине невозможно представить асимптотику при 1-эО в виде преобразования Фурье, как это можно сделать при построении канонического оператора.) Поэтому для ЗадаЧИ (1.3) Прн Г-а-0 ПОСтрОИМ раВНОМЕрыуЮ (фарМаЛЬНуЮ) аСИМП- тотику, отличающуюся от (3.2).
При малых Г естественно считать, что коэффициенты уравнения (2.6) можно «заморозить», т. е. представить решение задачи (1.1), (1.3) в виде (2пй)"" ~ ехр ( — '[(р, х — $)+Н( — Ер, $) 11 сЕр. Приведенная формула дает асимптотическое решение лишь при 1~й. Обобщая эту формулу, построим равномерную (формальную) асимптотику решения задачи (1.1), (1.3). Будем искать ее в 280 где А (х, $, 1), у(х, $, Г), у,($, Г) — новые неизвестные гладкие функции. Покажем, что асимптотику при й-а-0 интеграла Лапласа, содержащегося в формуле (3.5) при условии О. 6<1 =Л, где б — фиксированное сколь угодно малое число, можно вычислить методом перевала.
Для определения критических точек интеграла (3.5) имеем уравнение у=Н ( — (р, у,)й В силу условия 1У') у приведенного уравнения существует гладкое чисто мнимое решение р=(г, г г(у, у„в). Условие П) на гамильтониан Н(р, х, 1) делает топологическую часть метода перевала тривиальной: сдвигаем контур интегрирования в комплексноепространство С" таким образом, что 1шр=х. Критическая точка р=гх на полученном контуре является перевальной, поскольку в ней достигается максимум реальной части фазы интеграла. Отсюда найдем асимптотику интеграла (3.5): и=(2пй) "нфехр ( — — Ф~(1+ 0(й)), (3.6) где функции Ф, ф имеют вид Ф (х, й, 1) = (г (у (х, й, Г), у, ($, 1) Г), у (х, 8, 1) )— — Н(г(У(х $, т) У (э Г),Г), У (в.
Е),Г), (З.Т) ф(х, 8, 1) =А (х, й, Г) (де1 (Н, (г(у(х, й, 1), Уа(В, Г),г), Уа($, Г),Г),1)) ". (3.8) Подставим функцию и вида (3.6) в уравнение (1.1). Воспользуем-" ся формулой коммутации экспоненты е-Фм с псевдодифференци- альным оператором [43 доп. лит.). Сократим полученное соотноше- ние на е-ьм и приравняем коэффициенты при степенях й' и й'. В результате получим, что функция Ф в асимптотике (3.6) интегра- ла (3.5) удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби — +Н~ —, х) =О, дФ / дФ (3.9) дг ~ дх а функция ф — уравнению переноса — ~+( Н ~ ~,х),— ~~+ + — ~ч Н„~т [ —, х) — р=0. (3АО) 1 1=» Начальное условие вида (1.3) индуцирует условие при т 0 на функции у(х, з, 1) и А(х, з, 1) — функция у(х, з, 0) обращается в 10 В. и. Маслов 281 нуль лишь при х=й, ут'(х, х, 0)-ьО при всех хай": А (х, х, 0) = ут (х, х, 0).
(3.11) Таким образом, задача построения асимптотического решения вида (3.5) сводится к задаче отыскания функций Ф(х, $, 1), ф(х, $, 1), у(х, 1) и А(х, $, 1), удовлетворяющих уравнениям (3.7) — (3.10) и условию (3.11). Уравнениям (3.9) и (3.10) удовлетворяют функции Ф(х, й, 1) =5(г(х, $, 1) 1) и ф(х, В, 1) = ~ Х(г(х) ) ~-»Чг (г(х) ), где 5 — энтропия и 1 — якобиан на многообразии Л=Л', функция Ч" определена перед формулировкой теоремы 9.2. Существование решения г(х) системы х=х(г) следует из диффеоморфного проектирования многообразия Л„'з на Кири 0<1~~Л.
Построим решение у(х, й, 1), у,($, 1) уравнения (3.7) (если Н(0, х)=сопз1, то у,(ф, 1) й). Разложим в сумму квадратов правую часть уравнений (3.7) в точке »=0 и левую часть в точке х=х($, 1), где х(В, 1)— решение системы 5„(г(х), $, 1) =О. Это возможно в силу предположения невырожденности матрицы Н н леммы Морса. Приравнивая соответствующие квадраты в разложениях, найдем решение у,(ф, 1); подставляя затем функцию у, ($, 1) в правую часть уравнения (3.7) н вновь применяя лемму Морса при фиксированном с и приравнивая соответствующие квадраты в разложениях, получаем искомое решение у(х, $, 1).
Функцию А(х, $, 1) найдем из уравнения (3.8). В результате несложных, но громоздких вычислений легко убедиться, что построенные функции удовлетворяют условию (3.11). Тем самым получена равномерная (формальная) асимптотика решения задачи (1.1), (1.3) вида (3.5). Обозначим б = б(х, 2, 1, Ь) = (2пй) Ч (г (х)) [йе1 (Нрр (х, К) 1) [» 11 (г (х)) [ " х х ~ехр ( — [1 р, у(х, $, 1))+ Н( — Гр, у,(з, 1)) 1[) сХР. (3.12) Ко В силу проведенных выше рассуждений главный член аснмптотики функции б при фиксированном 0(1(Л и фиксированных х и ф имеет внд'туннельного канонического оператора на многообразии, примененного к функции Чг(г)е(г; М).
До к аз а тельство теоремы 9.2. Подставим функцию б (3.12) в уравнение (1.1). Воспользовавшись формулой коммутации псевдодифференциального оператора с экспонентой и учитывая определение функций у(х, $, 1) и у,(й, 1), получим Ь вЂ” — Н1 — Ь вЂ”, »11 б=йог", д 1 о дг ~ дх ' /з где Р = Р(х, $, 1, Ь) = у, (х, $, 1, Ь) ) ехр ((1( р, у(х, $, 1)) + + Н( — Гр, ут ($, 1)) 1) д (р, х, $, 1, Ь) т1р. 282 Здесь ФУнкции у1(х, оь, 1, Ь) и Ко(Р х, в, 1, Ь) класса С, причем Яо(Р. х, $, 1, Ь) — целая функция аргумента р.
Точное фундаментальное решение уравнения (!.1) представим в виде ряда и(х,5, 1,Ь)=б(»,3, 1,Ь)= =Я й""$ ~ б(»,Ч,1 — т)(Р' Р)(т),й,т,й)ГЧ1т, (злз) о=о о ял где г" — Ь-я степень оператора т (Рф) (х, $, 1, Ь) ) ') Р(х, т1, 1 — т, Ь) р(т), $, т) Нт! о[т. о аа Зафиксируем в формуле (3.!3) время 1=6. Покажем, что асимптотнку при Ь-о-0 суммы (3.13) можно вычислить. При этом будем рассматривать Ь-е слагаемое в сумме (3.13) не как повторный, а как п(2Ь+3)-кратный интеграл по р и т!. При таком подходе соответствующие критические точки интегралов оказываются невы- рожденными. Заметим, что непосредственное применение метода перевала к интегралам в сумме (3.13) невозможно, поскольку фаза в них — неаналнтнческая (по переменным т1) функция.
Воспользуемся методом, развитым в кн.: Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Мнр, 1970. Для упрощения обозначений рассмотрим подробно лишь член суммы с индексом Ь=О в случае Н(р, х) сопз1 (т. е. когда у,($, 1) =$): о ~ ~ Г (х, т1, б — т) д~т (т), $, т, Ь) уо (р, т[, $, т, Ь) х о Коо Г1 хехр ~ — 1[(р„у(х, $, б — т))-[-Н( — Гр т))(б + 11 Рь У (т[ $, т)) + Н,( — Гр„$) т]) Нр т(рт ~6! Дт. (3.14) Здесь через Г'(х, Ч, 8 †) обозначена функция, стоящая перед интегралом (3.12). Для вычисления (3.14) применим метод перевала (Лапласа). Найдем стационарные точки фазы интеграла (3.14) по переменным т[, р и р,. Для нх определения имеем следующие уравнения: Грув (х, тЬ 6 — т) + Н ( — 1р, Ч) (б — т) + Гртуо(т1, 8, т) О, у(хо Ч б г) * НР ( ГР т[) (б т)о у(т1, $, т) =Н„( — 1рт, $) т.
Приведенная система разрешима для чисто мнимых р и р,. Этот факт следует из днффеоморфного проектирования многообразия тл а Л ' на К н проверяется дифференцированием. Обозначим полученные решения через р' и Р ~т Сдвинем контур интегрирования в !Оо 283 интеграле (3.14) по переменным р' и р,' так, чтобы 1тр=1тр' в 1тр,=1шр» и сделаем замену переменных р' -р+ р, 'и р,— р, + + р,'. В результате получим интеграл Лапласа по пространству Й'" с неаналитической (по переменной Ч) фазой, стационарная точка которой вещественна. Вычисляя асимптотнку этого интеграла указанным выше методом и, аналогично, асимптотику интегралов в Ь-х членах суммы (3.14), получим з ~ ~ 0 (х, Ч, 6 — т, Ь) (Р Р) (11, $, т, й) с(Ч Нт = й„(КЧ'), (3.15~ е ал где К=К" — канонический оператор на Л„', функции е„=и,(х, 8„ ь.В 6, Ь) равномерно по п ограничены.
Из соотношения (3.15) следует доказательство теоремы для времени 1=6. Пусть теперь 6(1(Т. Имеем (3.16у и (х, $, 1, Ь) =(О О) (х, 1, 6» тл, Ь), Ь'У' ункцию ~р в ~', Ь УФ=О. Подставляя в это уравнение искомую л. н м 1 видеРЯдапостепенЯмй, т. е. ф= ~ Ь <р и приравнивая лю ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
