Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 44
Текст из файла (страница 44)
т=а фициенты при одинаковых степенях параметра Ь, , получим систему Пояок а дифференциальных уравнений для определения л й р д к ждого уравнения полученной системы меньше М, коэф. я "'ункци <р . фициенты уравнения на функцию ф зависят от решений, ф„... т ннель ,. Искомый асимптотический ряд получается п" у ного канонического оператора, построенного на многообразии Л'~, к функции ф.
э 4. Задача о больших уклонениях Рассмотрим задачу Коши для уравнений туннельного типа с начальными даннымн, не зависящими от Ь: где 6, = 1/гп, 0 — т-я степень оператора (бЧ>)(х, г. 6» $, Ь) = 3 0(х, Ч, 6» Ь) гр(Ч, $, 1, й)иЧ и целое число ги) Π— такое, что Г/гп(6. Асимптотика интегралов, стоящих в правой части равенства (3.16), легко считается методом Лапласа, если стационарные точки фазы певырождены. Результатом соответствующих вычислений является формула (3.2). Такая ситуация имеет место в том случае, когда точка х, в которой вычисляется асимптотика, не является проекцией (существенной) фокальной точки.
Если же стационарная точка вырождена, воспользуемся следующим приемом.. С помощью метода Лапласа легко убедиться, что один из операторов в формуле (3.16), например, действующий последним, можно записать в виде канонического оператора (3.3) в области я,( ий). Здесь й — 'окрестность соответствующей фокальной точки на многообразии Л„' . Асимптотика представленной таким образом функции (3.16) с помощью метода Лапласа легко приводится к виду (3.3).
Это рассуждение завершает доказательство теоремы. 3 а м е ч а н и е. Построенный выше туннельный канонический оператор определяет главный член асимптотики решения задачи (1.1), (1.3). Решение задачи о построении глобального асимптотического ряда требует определения на многообразии Л 'з некоторого набора дифференциальных операторов е" порядка 1 (зависящих, вообще говоря, от выбора канонического атласа и разбиения единицы). Алгоритм построения операторов ел приведен в [45, доп.
лит., 9 9) и переносится на рассматриваемый случай без изменения. Для построения М членов асимптотического ряда необходимо решить с точностью до 0(й ) дифференциальное уравнение 284 дл г д Ь вЂ” =Н ~ Ь х* 1) и. и~ =~рл(х) (4.1) где функция ф'(х) не обращается в нуль в некоторой замкнутой ог<р'(х) еиС" (Ы,); граница д0,— гладкая. Решение задачи (4.1) выражается через туннельный канонический оператор К на семействе лагранжевых многообразий Л'„', полученных способом, указанным в э 3. Именно, и(х г Ь) ~ (К(Ч~(г М)+0(й))(э й)<рл(я)Н$+0(е™п1) (42) ал Преобразуем формулу (4.2), вычислив по методу Лапласа асимптотику интеграла в правой части.
Согласно определению оператора К для этого достаточно вычислить асимптотику каждого из интегралов вида ) К (Йу) (е; Ч') срл ($) с$, (4.3) где К((2~) определен фоРмУлами (3.2), (3.3) и (е;) — разбиеняе еди ницы, подчиненное каноническому атласу (ЯД Сначала найдем асимптотику интеграла в правой части (4.2' в об т Юс =ил( " (р=О, хе= с — л ~и (р=, хе=Я,Ц. Здесь, как и в $3, я.
— естественная проекция точек фазового пространства Й~л" на координатную плоскость й,", и йн~ — фазовый поток в йл, отвечающий функции Н. Используя явный вид оператора К(й,), легко показать, что главный вклад в асимптотику интеграла (4.3) вносят точки $ (х, 1) епЫ,~,дЫл 286 (т. е. лежащие внутри области Я5,), удовлетворяющне уравнению Я($(х, 1),1) х. (4.4) Здесь Я ($, 1) — проекция в конфигурационное пространство К" траектории (Р(й, 1), Я($, 1)) системы Гамильтона (3.1), удовлетворяющей данным Коши Я~с,=$, Р~1с,=О.
(4.6) Проводя соответствующие вычисления, используя при этом прием $ 3, приводящий к формулам (3.3), легко получим, что асимптотика функции и(х, 1, Ь) в области Я,'~дЯ>, имеет вид и(х, 1, Ь) К" (е(г, М)а(г)+0(й))+0(е- "), (4.6) где Кс — туннельный канонический оператор (3.4), построенный на лагранжевых многообразиях Л =Л"м=ун (р=О, х=Я, Че:-К", по формулам (3.2), (3.3), в которых якобиан 7=бе( (~' и энтропия 5 = ~ (Р($, т), Н (Р(я, т), ЯЯ, т) )) — Н(Р(й, т), Я(й, т), л т) ) с(т. Функция ср(г) имеет вид л ср(г) ехр Г '~~ Н 1 о (Р ,=1 $=ллсгнп где интеграл вычисляется вдоль траектории Я($, 1), РД, 1) задачи (3.1), (4.4). В случае хеиК"'~,У, главный вклад в асимптотику интеграла (4.2) вносят граничные точки $(х, 1) ~дМ„удовлетворяющие уравнению Я($(х, 1),1)=х.
Здесь Я($, т) — проекция в К," решения (Р($, 1), Я($, 1)) системы Гамильтона (3.1) с данными Коши О! .=В, Р! .=р~(%), (4.7) где фендзи,с п($) — 'вектор единичной внешней нормали к дсе) в точке $. Проводя соответствующие вычисления, получим, что асимптотика функции и(х, 1, Ь) в области К"~,Ы, имеет внд и(х,1,й)= ( — ) сс( ~,(е(г, Ь4)7(г)+0(Ь))+0(е™С"). (4.8) Здесь туннельный канонический оператор К'"' построен на лагранжевых многообРазиЯх Л = Л„' = УснЛл, где Л' (Р Рп(х), хсзр.:дЯ>,), ревК, п(х) — вектор единичной внешней нормали к дМ, в точке х.
В этом случае в формулах (3.2), (3.3) следует положить с Р(Р Н (Р (Р )„, 80 д(р, а) где а= (а„а„..., а„,) — (локальные) ортонормированные криволинейные координаты с единичным метрическим тензором на многообразии дЮ., Р, Я вЂ” решение системы Гамильтона (3.1),удовлетворяющее начальному условию (4.7), в котором $ $(а) ядУ . (4.9) Функция1(г) в формуле (4.8) определяется равенством л сс ~-(сиг с( —,'1" Л л„,с ~~сь~ е / ~е л сгйо Здесь интеграл вычисляется вдоль траекторий задачи (3.1), (4.7), (4.9), функция р(г) определяется соотношением р(г)п(ййг)=р(уйг).
Итогом проведенных рассуждений является следующее утверждение. Т е о р е м а 9„3. Пусть гам ильтониан Н (р, х, 1) задачи (4.1) удовлетворяет условиям теоремы 9.2. Тогда решение задачи Коши (4.1). (4.2) при хай,~ дйр, имеет вид (4.6), а при хенК"~й, вид (4.8). Замечание. Пусть в задаче (4.1) Н(0, х, 1)=0.
Тогда область Яс, получается в результате сдвига области Ы, вдоль характеристик уравнения в . а" — С Ь (х, г) — ) ис, й (х, г) = Нр (О, х, О. (4. 10) Прообраз и '(йрс) области Яс на многообразии Л'„'"при этом принадлежит плоскости К"., энтропия равна нулю, и функция (4.6) с точностью до 0(й) совпадает с решением ис задачи Коши ис],,=ср'(х) для уравнения (4.10). Иначе говоря, в этом случае решение (4.6) в области Я, находится методом регулярной теории возмущений. 286 (1.4) В 1.
Линейные задачи и„— с'(х)и =О, (1.2) и!1 = Ф( — "), и«!1- — — О. (1.3) Интегрирование имеет вид 289 ДОБАВЛЕНИЕ АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОШИ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ С БЫСТРОУБЫВАЮШИМИ НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ В этом разделе мы рассмотрим асимптотику решения задачи Коши для эволюционных уравнений с малым параметром Ь вЂ” ~-0. Начальные условия определяются функциями, имеющими вид спика» ширины -Ь: и(«,=Ф(х/Ь); Ф(т)-«-0 при (т~- о. (1.1) Оказывается, что для широкого класса уравнений с параметром 1з (», 1)т аснмптотика решения такой задачи имеет вид и=/ [ Ь,к, 1, естественным образом обобщающий функции (1.1). Асимптотическне решения такого вида интересны и сами по себе, поскольку они обладают свойством «самоподобности»: если решение имеет такой вид при 1 1„то оно имеет такой же вид и на некотором временном отрезке [(„(').
В линейной теории, в отсутствие фокальных точек, самоподобные решения, как правило (для уравнений с дисперсией), имеют вид ВКВ-асимптотик: /(т, х, 1). «р(х,1)ехр((т). Для уравнений без дисперсии, например для волнового уравнения, зависимость от т оказывается отличной от экспоненциальной. Этот же факт имеет место и для нелинейных уравнений.
Еще одно важное свойство «самоподобных» решений состоит в том, что на них выходят решения задачи Коши (1.1), т. е. спустя сколь угодно малое время 1 асимптотика принимает вид самоподобного решения. 1. Гиперболические уравнения (уравнения без дисперсии). Проиллюстрируем сказанное на примере задачи Коши для волнового уравнения: Здесь с(х))О, Ф(т) — гладкие функции, функция Ф(т) финитна. Вычислим асимптотику решения задачи (1.2), (1.3) при Ь-«-0 на временах 1~[0, Т~), где Т не зависит от Ь.
Сначала найдем 288 асимптотические «самоподобные» решения уравнения (1.2), а затем сконструируем из них решение задачи Коши. Самоподобиые решения будем искать в виде и=/» ( — '") +Ь/т ( — '')+..., где /" (т,х,1), 5(х,1) — гладкие функции, /' быстро убывает при (т~-~оо, Подставляя (1.4) в (1.2) и приравнивая к нулю коэффициент ярн Ь ', получим: (5« — с'(х)5',)/',«1, з =О. Отсюда следует, что функция 5 удовлетворяет одному из уравнений характеристик: 51 ~ с(х) 5» =0; 5 ~««» х.
Каждому нз этих уравнений отвечает своя функция /', мы будем различать их с помощью индексов «-: /'-». /». Обозначим через Х»(1,х,) решения уравнений Х =~с(Х ) с начальным условием Х»[,,=х,. Очевидно, якобианы У =дХ"/дх,=ехр(~ ) с(Х ($,х,))«($) отличны от нуля при всех 1. Поэтому функции 5 определены при любых ()О и имеют внд 5 = Х, (х, 1), где Х» — решение уравнения Х*(1, х,) =х, Приравнивая к нулю коэффициент при Ь ' и учитывая уравнения характеристик, получим уравнение переноса: дт С Ь д1 дк дт Интегрирование этого уравнения с учетом условия убывания при (т~-~со дает формулу ф (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
