Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Асимптотика решения уравнения Шредингера в малом 1. Квазиклассическое представление. Вначале построим характеристическое (квазиклассическое) представление для уравнения Шредингера г(г — = — — Ьгр -(- о(х) ф, х = (х„..., х„), дф дт 2 Соответствующая система бихарактеристик (в смысле 3 2 гл. 1) имеет вид уравнений Гамильтона да хг= р„рг= — —, 1 =1, ..., и. дхг Предварительно докажем лемму. Рассмотрим общую систему Гамильтона дН дН дЯ,» дН рг з зр (1.2) Предположим, что третьи производные непрерывны и что система (1.2) имеет и-параметрическое непересекающееся семейство решений хЖ(), р(Р, 1) 5=(5".-' Р-).
Л е м м а 5.1. Яхобиан У г = г(е1 ~ — ~~ удовлетворяет урпвне- 1 дйг ~ дх, „ нию непрерывности — -(-д(у(У 'йгадЗ) =О. (1.3) дг дхг 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим У = де1 — ~ . Очевидно, д(1; ~' что — = ~~~ г.)н дУ дг г=г где определитель 1з, получен из У заменой элементов г-й строки на дхг (р 0 дя дгх;/д1дрг (1=1, ..., п). Но ' = — и, значит, дг дхг дзхг дгб дх» дг дй( ~х-1 дх, дх» дд( 141 Отсюда (а! и (й [ — + — [сНчУ 'йгабВ+ йгаб5йтабУ "*])ф+ дФ 2 + ЙУ * ! — + дгаб 3 ягаб ф1 = — — Ь (У и 1 дГ 2 Сделаем замену ф(х, г) =ф(х(5, Г), 8) =ф(р, 1).
Очевидно, что а д " а аке д, — = — + ~е — — *= — + йгае] фатабд. д1 д1 . дке д1 д1 Из (1.6) и (1.15) получаем окончательно дф йе .Мо ],-И— (1.5) (1.б) От остальных строк определителя Р, линейно не зависит только 1-й член суммы, поэтому д«8 Р~= — У, дхе е т. е. ду/дГ= УЛЗ; следовательно, дУ-'/йг+ У-',$о = О. Отсюда ду е/д/+вагаб У-' ягаб 5+У-'ЛЯ=О.
Для ру-' получаем уравнение а Уу- 2 +д]ч(1/У 'дгаб8)+йтаб5 ягад 1/У '=О. дЕ Перейдем к выводу характеристическо о представления для уравнения (1.1).Подставляя ер(х, г) =]/'У 1ехр ( — о(х, /)) ф(х, 1) (1.4) в (1.1) и учитывая, что для любой дифференцируемой функции ]г (х,) — й — !г (хе) е'а1" = еез!" ~ — Гд — + — 1 ]т (хе), дк; дхе дк;, а 8 удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якобя аз — + — (агаб о)*+ о (х) = О, аг 2 получаем (й — (У ф) = д дГ = — — иеЛ (У "'ф) — — 1/е ~Еп ( У лф раб о) + ягаб 5 ягаб У].
2 2 где Ье — оператор Лапласа в «криволинейных» координатах 5. Это и есть характеристическое представление уравнения Шредингера в малом. 2. Оценка обратного оператора. Рассмотрим оператор Гамиль- тона Й= — — А+о(х, г), х=(хи ..., х ), (1.5) в пространстве Ее[й ]. Обозначим через /.,[/.,] пространство интегрируемых по Бохнеру функций от ! на отрезке [О, ге] со значениями в /,»[11 ]. Через У обозначим прямую сумму /.,[/.е]®йе. Пусть С[/.е] — пространство непрерывных функций на [О, 1,] со значениями в Ье.
Нормы в этих пространствах имеют вид Ее / =~ $/ ~ ~~(г,~)!'д.»ш, уя1., [е.,], е [й[С1Г,1= П1ак ') [й'(Х,Х))ее!». еМ1~уе г Для дя/.,[Ц, /енЬе, (и, /) енУ имеем 1~(й, /)!!.=1!аЬ, +!!/!~. Рассмотрим оператор /„с областью определения в У и областью значений в С[Ее], действующий следующим образом: Ай (Г, х) = — ( ~ ' к + — Йй (Г, х), а (О, х)) Е= У, а (Г, х) Е= Р(Х) С С[ ]. =ехр ( — 'Йг)/+ ~ехр ( — О (/ — 'г)) ']г (х, т) 4~». е Отсюда [ и (/, х) [~., = [ /] т + ~ [ 9'"(х, т)[с.,дт, е п1ах [и(1, х)]с ([% +[ [а„~„1. ~»хе«ив (1.10) В силу леммы 3.1 ч.
1, ~в частности, имеем ЦХ-'!!!(соней Если з(х, Г) не зависит от Г, это следует из самосопряженности оператора Й. Действительна, если Хи(1, х) = (/(х), У" (х, Г)), то и(Г, х) = Х 1(/(х), у (х, /)) = 142 Рассмотрим пространство Е,[ддо] функций от р= (р„..., р„) с нормой 11'~=1с' ') !1ф)!' Ф. Ему соответствуют пространства Е, [Е,], С[д,о]. Оператор М: М(ф, 1) = У '* ф(х, 1), 1) ехрс — '5ф(х, 1), 1))~1ф(х, 1), с) унитарно отображает пространство Х, на Е, Действительно, пусть д(х, 1)=У-'*ехр ~ — '5(х, 1)~~ф, 1); тогда [ [а(х. 1)!'ах=3 [Е(р, 1) !'У 'сЫ„'=;,1 [1(р, 1) !'сф. ТОЧНа таК жЕ ОПЕратар М ОтабражаЕт Ос На У, Ес[ЕО] На Е [Ео] и С[ГО] на С[Е,] с сохранением нормы.
Оператор Е при таком отображении переходит в оператор Е, с областью определения в С[Е,] и областью значений в Г Очевидно, что ![Е-с![~1,. В силу изложенного выше оператор Е, действует следующим образом: Еди (1, р) = ~и (О, р), — + сй Йди )(, где ум — р 2 (сдо — оператор Лапласа в координатах 0)1. 3. Ряд теории возмущений. Рассмотрим теперь оператор Е;. С[Е,] 47 вида Е, (г, Р) = (~(О, Р), — '" 1 дд 1 и оператор Нс: С[4.,]-+Г вида Бди(с, Р)=(0, Йди(1, Я). Имеем Е,= Е.+(йЯ„причем [! Ео ! ~ ~со [ Ед ' ! «~ 1О. Кроме того, если функции 1(р), Я ((1, 1) 2й раз дифференцируемы по р и потенциал с(х, 1) 2й раз дифференцируем по х, то выражение Е,'(ЙОЕ,')" ([(й), У (р, 1)) существует и принадлежит С[Е;1. Следовательно, все условия теоремы 2.5 выполнены, и мы имеем 144 для девГ: Ед'й'=~ йсЕ, (ЙдЕо') я+йгго(1, и), с о где [гО(1, 0)Ц1Е1 при й-~0. В частности, если а=(О, У-(р с)] д'оо.с) 1ОСО.ОО1, Е,с,с [о, О,)с СО 1)с1! о с" (Й,Е-.') К=1Й,М1Й,М 1У-ф,г)Ж-, о О о Х~' (О, У ф, 1)) = О С сс-д и =;Е й ~ Йдс((д ° ° ° ~ Й с((с-д ~ У ф, 1с) агс + й ги (с, и).
0 О о о Аналогично, О :1 сс-д Ед ' (сс ф, 0)] = '~, 'й' ~ Йод ~ Йдд(О ... ~ сЕЯдс ф) + й го (1, р). С=о О о о Следовательно, решение задачи —" (с, Щ = (ййди (1, р), и(0, р) =7(р) имеет вид О сс и(1, Р) =~ й ~ Йдсйд ... ~ олоосНдосф)+й гь(1, 1ос), с=о о о где шах![го(1, р) ![т;ОО прн й- О, если выражение, стоящее под знаком суммы, является непрерывной функцией от 1 и интегрируемой с квадратом функцией от р. Аналогичное утверждение справедливо н в случае, когда Е(р) = =~(й, й) есть аналитическая функция от й.
Рассмотрим теперь задачу д — = — — дддр +— дс 2 ' й ( 11.11) .ВР й о(х) ! др !с = дРО = ср (х, й) ехр ! — 5 (х)~ . 1й (1,12) Теорем а 5.1. Решение задачи (1.11), (1.12) при условии, .-сдс сяС', <ренС', [ыС', представимо в виде ф=~ иех ~ — '5(р,()~ р(р,й)+гО(Р,1). Этот результат, так же как и результаты ~ 2, очевидным образом переносится на случай, когда потенциал зависит от времени. 146 У-(х) (1+А) (»ззз+зФ = ') [7( — т)Н('«з] Ф(х) [зз(х ) ( з (и(з]из+1 Имеем где х'" = т) х', 1 !чч 14т' 2 2. Теорема вложения для абстрактных функций и оценки в счетно-нормированных пространствах 1. Теорема вложения.
Для дальнейшего нам понадобится следующая Те о р е м а. Пусть А — самосопрлженный оператор в гильбертовом пространстве В такой, что А-' существует, )) (1)-еА ') ))".=1 при е>0 и е чисто мнимом. Пусть Фе=/з[К, В[ принадлежит области определения оператора (д/дх,)'""'+' (1=1, ..., п) и А'""'+'. Полоскам а„= (( — 1) "+ 3)/4. Тогда з(га( зцр [А Ф (х) [в ~ сопз1. Доказательство. Обозначим Имеем Ф(х)=(Я,)'"'*мнУ (х), где зт"з=(1+А) '.
Заметим, что '[)Азт~з[~2, поскольку А(т", 1 — (таз. Обозначим ))У (х)))з«»)У ~, У (р) =Ф*У (х) фурье-образ У (х). Тогда (](л )(и(з]+ Л( з]+ '[ А " ((таз)("~'1'" У (х) ) = ~ ) '"з( — (»»"1«'ззз»~< (2и) и(~ .~ (2 ) ~з [ ) (АК",)("(з]+зУ (р) ~ з(р = ЮО (лил)(и(з].н ф (р) (2„)-и)з [" 1/ 1 ) ( з)(и(з]+з р н л)(и(з]н -( )з 2»+з ~ )у ( )р 1 2»+3 ~ )у -«1 « » Ю » (АКА))(и(з]+зф( ) )з 1 ~ ) [Кл ( (()н[(и(з]«з У-(х) )зйх ~ [( д)и[[и(з]«з Ф ( ) ~з 1х » Если [и/21+1 четно, то ограниченность правой части равенства сле- .1 46 дует из условия теоремы вложения. Если же [и/21+1 нечетко, то, используя тождество [( — Ь)н/(х)[ззи 1!( — б)н/(хИ*((х= = — Р (х) ДПх) ((х = 1 1 7/(х)! Ь получим 1 ) ( Л)ъ( Ь)н("н] Ф(х) [зс(х = — ~ ( — Ьм(~*' Ф(х) Л [( — Ь)~""] Ф(х)] Ых= Ограниченность последнего интеграла следует из условия теоремы вложения. Аналогично, доказательство проводится и для А, удовлетворяющего условию [) (1 — еА) Ч)(1 при е> 0 и е чисто мнимом.
Общий случай получается с помощью разложения А=А++А-, где. А+ и А — неотрицательные операторы. 3 а меч ание 1. Если оператор А положительно определен. А-' существует и ограничен, то в этом случае в теореме вложения: вместо Я з мы можем брать А Вил=А з 2. Операторы в счетно»нормированных пространствах. Рассмот-- рим пространство В» со счетным числом норм вида ~(.
д зз [У"1зи, = п(ах ~(1/з — ) х'"р'У (х,1,)з)), й,т,1=1,2, ..., (2.1'р «ззкз, ( ( д(,[ з<з,к», (»~<в Рассмотрим также пространство Яа со счетным числом норм вида !~' )е . = и х ~ ~ (Гй — ') -р у-(х, Г, й) ~зд . ааажаа . 1~ дт ° а<ааа, -» Л емм м а 5.2, а. Пусть Я ~Ма; тогда ФаГвУ ~:-= ата. Доказательство. Обозначим са (р, Г, й) =Ф,"~в~ (х, Г, й). Очевидно, что д "-, ° . дта р" ~Гй — 1 У (р, Г,й)=Фаз( — Гй — ) хтЯ (х, Г,й), дет й дк~ Следовательно, ~$р ~ж ) (р )$ р ~$( ) ~(~„~, )$ ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
