Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Это вытекает из следующего замечания. Как и ранее, на обе части равенства в теореме 4.3 можно подей ствовать оператором А". При этом мы получим в правой и левой 'частях равенства обобщенные в смысле $1 гл. 1 функции. Функция А"и(х, 1) будет являться обобщенным решением рассматриваемого . д уравнения. Поэтому, если А =1 —, а Н вЂ” пространство Х.,[м] дт функций от т, то мы можем положить 1р(а) =д(т)Х(а), где о(т)— обобщенная функция, равна Л'-й производной от непрерывной функции, а 1(а) — финитная функция со значениями на прямой.
В случае осцнллирующих начальных условий надо положить Н=Х,[[Ц вЂ” пространству функций от оз на отрезке [1, оо], А=оз— 1 оператору умножения на со, <р(я) =у[(а), д= — ~Х.,[Щ. Тогда Ау=1, Аи(х, Х) есть функция, зависящая от параметра ез, а т о«тм« Кл',гья, =К ',гьи- 3 4. Асимптотика собственных значений уравнения с операторными коэффициентами Рассмотрим пространство В", где В' гильбертово. Рассмотрим оператор 1 д д .С = Е [ х„..., х„, — Гй —,, — [й —, й), дх1 ' дх введенный в $2. При этом дополнительно мы полагаем, что этот оператор не зависит от Х.
Предположим, что этот оператор самосо- пряжен в гильбертовом пространстве Х.,[В'] = )а",'[й", В') функций от х„..., х„со значениями в В' и что условия 1), наложенные на этот оператор в 2 2, выполнены. Сверх того, мы предположим, что спектр оператора Х. не является предельным при Л=Е'. Предположим, что существует семейство компактных замкну- тых лагранжевых многообразий Г(Е) без края при Е~Ю= (Е' — е, Е'+а), где е>О, такое, что 1) Г(Е) непрерывно зависит от Е; 2) Н(р(а), д(а) ) =Е при а~Г(Е) (Н(р, а) — гамильтониан оператора Х,); Л) Г,(Е) =Г(К). В качестве меры о(а) на многообразии Г(Е) мы возьмем меру, инвариантную относительно сдвигов вдоль траекторий гамильтоновой системы. В пространстве функций с интегрируемым квадратом 136 на Г по этой мере оператор *) 1 д»В, д1.
— —,х — „" — '('.—,„)1 ' 2 др;дхз 1»=а иа многообразии Г(Е) самосопряжен. Предположим, что 1»(Е)— его собственное значение, а $(са) — соответствующая ему собственная функция. Теор е м а 4.4. Пусть (Е')~В' (1 ° 1, ..., 1,) — зависящее от й множество из Ю такое, что на Г(Е') удовлетворяется система урав- нений — фр(са)йд(сс)=1» (тоб4), 1~й й, (4 1) где ~ обозначает интеграл по й-му базисному циклу многообразия Г(Е*), 1,— индекс этого базисного цикх1а, й,— одномерное число Бетти многообразия Г(Е'), Тогда существует подпоследовательность й' собственных значений оператора Х такая, что й =Е' — йр(Е)+0(й*), и спектральная функция Е интервала ЛЛ= (й' — о(й), й«+о(й)) оператора Х.
удовлетворяет соотношению [ [1 КЯ) К11ь.Г[е'Х»,г; $«(«) Х (а) О,(й) (4'З) 1 «=1 ,1Н",з 1 йа йз е Н= — — Л,— — Ьа+ -[-Йн([« — « ~), (4.4) 2М ') Напомним, что скалярные произведения здесь берутся в В'. ««) В противном случае см. [Ц. Заметим, что в случае, когда «=1, а т(х, р) действительна, задача сводится к отысканию собственных функций и собственных значений оператора сдвига вдоль гамильтоновой системы (или опера- а тора 1 — ) на многообразии Г.
Эта задача широко изучена *«). КроИ1 ме того, мы можем взять в этом случае 1»=0, К(а) =1. В качестве примера рассмотрим оператор Гамильтона вида где Г,= (Х„у„а,), Гз= (Хз> Уз яз) д ~з+( д )з+( ) 1 12 е — заряд, а Йл()г,— рз)) — оператор Гамильтона общего вида для системы У электронов в поле двух неподвижных протонов (см., например, (481). Оператор Гамильтона Й отвечает двухатомной молекуле.
Пусть Е()г, †)) — некоторое собственное значение оператора Йл(|г;г,)) (так называемый электронный терм). Мы предположим, что функция и ( ) гз — гз1) = + Е (1 гз — гз ) ) !го — гз! имеет минимум (т. е. терм Е()г,— гз) ) — устойчивый (см., например, (20)). Для простоты будем полагать, как это обычно имеет место, что этот минимум единствен. (Это условине несущественно.) Будем искать асимптотику собственных значений оператора Й, асположенных вблизи точки Х', лежащей между минимумом и абсолютным максимумом функции и()г,— гз)). В этом ' промежутке спектр Й дискретен (см. 1101).
Мы предположим, что кратность собственного значения Е(~г,— гз)) остается постоянной в области (г,— г,)~Я, для которой и((г,— гз) ) ~Х', т. е. что в этой области терм Е()г,— гз)) не пересекается ни с каким другим. Пусть эта кратность равна 1. Нетрудно оказать, что при этих ограничениях оператор Йл(~г, †)) удовлед к зл творяет условиям 1), если в качестве В" взятьпГз (й ), а оператор Й вЂ” условиям теоремы 4.4.
Обозначим через и линейные размсры молекулы. Перейдем в (4.4) к безразмерным переменным. Положим р,= =г,!и, Рз=гз/а и разделим (44) на )Го= ппп Е()г,— гз)). Мы по- ~ 7„-а)еп лучим оператор' Я = — — Л, — — Ьз + — "' + оба [~ Р— Р, ), а,, а,], 2 2 )р р) где л ь д)гну, ' ауо а )гауз д (т — масса электрона). Здесь ~, — (о=1, 2) снова обозначена з=з роз д з через Ло. Поскольку для реальных молекул 2-10-* — 10-', а а, и а,-1 можно рассматривать т как малый параметр и искать асимп- Ф тотику уравнения дп ЗРл — )"лфл )ЗЗ при з о-О. Гамильтониан оператора М имеет вид 3 3 з + рз + аз + Е (а(рз — рз)) 2 2 рз — рз Уо Бму отвечает следующее уравнение Гамильтона — Якоби: 1 з1 аз Е 7 — г — '(з,з~ .~ ' (зд) ) ~.
~ ~. Ю2 *~~ = з (4.5) Введем новые переменные г'= Рз — Рз х(= Рз+Рз. Мы получим, обозначая через 7д и 7-, операторы 7 по переменным я н р соответственно, — ((у я)з + (7;3)з) + — '+ — = Ло. Таким образом, переменные разделяются, и, полагая 5=5 (г), получаем Нетрудно убедиться, что условия (4.1)в данном случае будут иметь вид дг 1 г Уо .1 ' дв з' Мазе ' аз .)о = 2паф = 2пт, 1о = ф ~,l а~ — —" о(8= 2п (ао — ае) =п(21+1) ыа' з Р"з 1,=2~ $/' 2 ~'Х вЂ” — — — 1— Г о ~, и( )1 <ГО+Го) о(г = и (2п +1), уо .! 4язгз и где г, и г, — нули подкоренного выражения. Таким образом, )зо= Х,'+ 0(чз), где Я удовлетворяет уравнению гз 1 1з а Заметим, что известный метод Бориа — Опенгеймера (адиабатический метод) может быть применен к решению поставленной задачи лишь при дополнительном условии й 1 (см.
(481). Кроме того, приведенные нами доказательства дают возможность опираться на теоремы 2.2 и 2.6 абстрактной теории возмущений. Это, с одной стороны, упрощает доказательство; с другой стороны, снижает требования на гладкость коэффициентов уравнения. ГЛАВА б ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В МАЛОМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВОЛНОВОГО ТИПА Асимптотика в малом, т. е. при достаточно малом 1, для решения системы уравнений гиперболического типа с разрывными и быстро осциллнруюшими начальными условиямк была доказана в математической литературе (см., например, [55, 4, 60, 53, 19, 62, 57, 3]), Формально квазиклассическое разложение в малом для уравнений квантовой механики, совершенно аналогичное асимцтотическому разложению вышеуказаных задач, было выписано в физической литературе [11, 56] (см.
также [50, 22, 55)). Настоящая глава посвящена доказательству этих формул, которое основывается, с одной стороны, на теореме 2.2 теории возмущений; с другой стороны, на оценке обратного оператора в том или ином пространстве*). Математическое обоснование этих формул может быть проведено следующим образом: 1) Доказывается, что подстановка этих априори взятых асимптотических формул в урав- / 1 пение дает выражение порядка ( — ( (так называемая «невяз(юн»( ка»), 2) Оценивается обратный оператор. Отсюда получится оценка разности между точным решением и данной асимптотической формулой. Заметим, что в фокальных точках и сами асимптотические формулы, и невязка обращаются в бесконечность.
Для уравнений туннельного типа такая схема, однако, не годится. Мы здесь прнаедем несколько. измененную схему доказательства, которая будет в дальнейшем нами перенесена и на уравнения туннельного типа. 1, д "1 Заманчиво было бы (см. (14]), заменив — на г — (переход к «пятнало дЯ тике»; см. (36, 34]1, свести задачу а кзазнклассической аснмптатике к задаче, рассмотренной Людвигом (62], об аснмптотике гиперболических систем с асциллирующнмн начальными данными.
Нетрудно убедиться, однако, что полученная таким способом задача отнюдь не удовлетворяет условиям теорем Людвиги н Лзксз, Более того, задача о квазнкласснческай асимптотике сводится, таким образом, для уравнения Шредингера, например, к весьма сложной задаче с начальными данными, лежащими на характеристике. Эта задача не охватывается даже теорией «униформизации» Лере (бб]. Для релятивистского случая плоскость 1=0 может не быть даже (при некоторых соотношениях козффициеитам) простракствеиноподобной. Эти дополнительные затрдчднення связаны с тем, чта точка ! Х=О янляется точкой спектра для оператора 1 —, в то время как — Ф О. дв й 140 В 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
