Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Эта задача эквивалентна задаче об асимптотике решения уравнения (5.1) при а оо, с-'=Š— о(х) — эту последнюю задачу мы уже ставили в теореме 3.1. Мы сформулируем сейчас более общую теорему относительно решения задачи (5.3). Т е ор е м а 3.6, Пусть семейство компактных канонических многообразий Г(Е) непрерывно зависит от параметра Еен(Е» — е, Ее-)-з) и является инвариантным относительно динамической системы Р1= — » РЧ»'=Ри е=1» ° ° ° » и» дь (д) гчс Н(р, Ч) = — '+ о(Ч), 2и (5.5) Н)г=Е, »о= (Р»» ° ° ° » Р»)» Ч=(Ч»» ° ° ° » Ч»)» Тогда существуют собственные значения Ь" (Ь) оператора Гамильтона Н= — — А+о(х)» х=(х„..., х»), (5.5) 2(» такие, что Л" (Ь) — Е"+1ь(Е") Ь= 0(Ь*), гдв Е" — некоторый набор из (Ее — з, Ее-)-з], зависящий от Ь и такой, что на Г(Е') удовлетворяются условия — фрйЧ=(е (шой4), (= 1, ..., 1, ) где 1,— число Бетти многообразия Г(Е'), $ — интеграл по 1-му нв- зависимому циклу, 1, — его индекс.
Пусть Ее» вЂ” спектральная функция интервала АЬ; тогда "1(Е к — 1) К,';„"г1г»,Х(а))),„=0(Ь), (5.7) где А)е= (Е" — о(Ь), Е"+о(Ь)). Изложенный ниже метод позволяет также найти приближения собственных значений с точностью до 0(Ь"), где Ь»' — любое целое число, и сузить в соотношении (5.7) интервал ЛЬ до величины 0(Ь"). Таким образом, если точка Е' — простая и интервал 126 гдг о(Ч) при ) Ч)-»-со стремится к оо и является бесконечно дифференцируемой функцией.
Пусть и(Е) — собственная функция унитарного оператора сдвига динамической системы (5.5), отвечающего инвариантной мере а(а), т. в. 6 6 ° д ( — )((а) = (е (Е) )( (а), — =,'5, 'х1 — ° й » Е«~0(й™) не содержит точек спектра, то получается асимптотика собственной функции фз оператора Й. Рассмотрим уравнение Паули Й,ф = [( — й т + А (х))' — Ф, (х) — [йв (гг„Н (х))) ф = ЕзР. (5.8) Пусть Г(Е) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы при Н(х, р) =[р+А(х) Р— Ф(х).
(5.9) Оператор вида гт =1 — + [в (о„Й) аг (5.10) самосопряжен в пространстве функций с интегрируемым квадратом на Г(Е) по инвариантной мере а(а). Предположим, что [з(Е)— его собственное значение, а т(а) — соответствующая ему собственд ная функция. (Заметим, что в случае, когда Р=( — (например, и для уравнения Шредингера), то можно положить, в частности, 1з=0, Х(а) 1.) Т е о р е м а 3.6, а. При высказанных предположениях выполняется теорема 3.6, если положить в (5.5) Н(р, д) = (р+А(г7))з — Ф,(~у) и заменить оператор Гамильтона оператором Й„= [ —;йзу + А (х)]' — Ф„(х) — (йв,(о„Й(х)). Мы видим, что для уравнения Паули к обычному оператору сдвига вдоль динамической системы добавляется матрица, характеризующая изменение спиновой поляризации вдоль траектории. Таким образом, спин в классической механике существует, но не сказывается на классической траектории*).
Однако при наличии спина необходимо изучать спектральные свойства не оператора - сдвига вдоль траектории, а оператора (5.10), поскольку собствен' ные функции н собственные значения оператора 1с отвечают задаче о классической частице, обладающей спнном. ГЛАВА 4 УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ й 1. Уравнения в счетио-нормированных пространствах н задача многих тел в квантовой механике Мы остановимся на наиболее общей и наиболее актуальной с точки зрения квантовой физики и химии задаче, когда в линейном уравнении с частными производными малый параметр стоит лишь при производных по некоторым выделенным переменным. Этому случаю отвечает задача, связанная с взаимодействием тяжелых и легких частиц, которая, например, имеет место в квантовой теории молекул илн в теории столкновений.
Таким образом, дифференциальный оператор будет зависеть от двух систем переменных. Пусть переменные, при производных по которым стоит малый параметр (напрнмер, описывающий систему тяжелых частиц), имеют размерность и. Тогда в дифференциальном уравнении зависимость от остальных переменных мы можем записать в виде операторных коэффициентов, зависящих от выделенных переменных. Например, уравнение Зз д ф Ьз 1 о — — —, — — — + о,(х„х,) зр ='Хф, 2пгз дкдз 2гпз дл~~ «) О существовзиии клзссического предела у спинозой поляризвиии см.
[54, 37, бб, бй[. В настоящей работе дано строгое доказательство етого факта, получена связь с оператором сдвиге диизмической системы и изучено поведение спина квк вблизи фокусов, тзк и вдали от вих. где гп,)) пз„мы представим в виде — — — + А (х,)ф'=Ьр, оз дзф 2тз дхз где А (х,) — оператор: йз дз А (хт) = — — — + о (хы хз), 2, д', зависящий от х, как от параметра. Оператор А(х,) неограничен.
В случае, если о(х„х,) ~С", мы можем сказать, что он переводит пространство итзз [Щ функций от х, в иУ," * [Щ. Таким образом, если рассмотреть счетно-нормированное пространство 1[те [Щ, то оче- видно, что оператор А (х,) переводит это пространство в себя. функция ф(х„х,) может быть рассмотрена как функция от х, со значениями в пространстве % з [Щ функций от х,.
В общем слу- 127 Е'~0(Ьн) не содержит точек спектра, то получается асимптотика собственной функции зра оператора Н. Рассмотрим уравнение Паули Йззр = (( — й т + А(х))* — Фе(х) — йе(о„Й(х)))зр =Еф. (5.8) Пусть Г(Е) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы при Н(х, р) [р+А(х) )з — Ф(х). (5.9) Оператор вида гс' =1 — + 1в(п„Н) д1 (5.10) самосопряжен в пространстве функций с интегрируемым квадратом на Г(Е) по инвариантной мере а(а). Предположим„что р.(Е)— его собственное значение, а 1г(сс) — соответствующая ему собствен- .
Ы ная функция. (Заметим, что в случае, когда Р=( — (например, дг для уравнения Шредингера), то можно положить, в частности, [х=0, у (а) 1.) Т е о р е м а З.б, а. Лри высказанных предположениях выполняется теорема 36, если положить в (5.5) Н(р, д) = (Р+А(ч1))' — Фе(Ч) и заменить оператор Гамильтона оператором Й = [ — „'йУ+ А(х)[а — Ф,(х) — йв'(о„Й(х)).
Мы видим, что для уравнения Паули к обычному оператору сдвига вдоль динамической системы добавляется матрица, характеризующая изменение спиновой поляризации вдоль траектории. Таким образом, спин в классической механике существует, но не сказывается на классической траектории*). Однако при наличии спина необходимо изучать спектральные свойства не оператора - сдвига вдоль траектории, а оператора (5.10), поскольку собствен' ные функции и собственные значения оператора )с отвечают задаче о классической частице, обладающей спнном.
ГЛАВА 4 УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 1. Уравнения в счетно-нормированных пространствах н задача многих тел в квантовой механике Мы остановимся на наиболее общей и наиболее актуальной с точки зрения квантовой физики и химии задаче, когда в линейном уравнении с частными производными малый параметр стоит лишь при производных по некоторым выделенным переменным. Этому случаю отвечает задача, связанная с взаимодействием тяжелых и легких частиц, которая, например, имеет место в квантовой теории молекул нли в теории столкновений.
Таким образом, дифференциальный оператор будет зависеть от двух систем переменных. Пусть переменные, при производных по которым стоит малый параметр (например, описывающий систему тяжелых частиц), имеют размерность и. Тогда в дифференциальном уравнении зависимость от остальных переменных мы можем записать в виде операторных коэффициентов, зависящих от выделенных переменных. Например, уравнение — — — — — — + п,(х,, х ) зр =;Хф, Аз дзф Аа кдз 2щ~ дх* 2щз ах~~ (1А) «) О супгестваванин классическога предела у спиновай полярнзапии см.
[64, 37, 66, 691. В настояпгей работе дано строгое доказательство этого факта, получена связь с операторам сдвига динамической системы и изучено поведение спина как вблизи фокусов, так и вдали ст инх. где т,»гп„мы представим в виде Аз дзф — — — +А (х ) ф"=Зов, 2азг дха где А (х, ) — оператор: Ьз дз А(х,) = — — — + о(х„х,), 2тз дхз зависящий от х, как от параметра. Оператор А(х,) неограничен. В случае, если п(х,, х,) ееС", мы можем сказать, что он переводит пространство [[раз [Щ функций от х, в [Ег","' [Щ. Таким образом, если рассмотреть счетно-нормированное пространство [[уз [[ц, то оче- видно, что оператор А (х,) переводит это пространство в себя. Функция зр(хм хз) может быть рассмотрена как функция от х, со значениями в пространстве [[Уз [[ч[ функций от х,.
В общем слу- 127 чае мы не будем конкретизировать счетно-нормированное пространство, в котором действуют операторные коэффициенты, но во всех приложениях это пространство есть пространство векторов, нормы которых принадлежат Ф'а Я ], где з — некоторое целое число.
Рассмотрим в качестве примера еще одну задачу дтп Г д д гй — + й — + — — о(ха, ха)1 = В(ха, х, г, Ь), (1.2) т1» »=Ф»(хн ха~ Ь). Предположим, что все заданные функции принадлежат С" по всем аргументам, а выражения а а -"л д' ааал ЬХ]( —,лл„*„»Л~ л;л ', П.а~ к»лп»,1-» а I ' а и / а8=а (1.4) Ьар (х,, хса 1, й) ~-цг, [3(а, С ].
Иначе говоря, найдется такое и', что если З~ (х„ха, 1, й) ен Ф', [ма, С,], фа (х„х„й) ен 1]7", Щ С,], то й»Р (ха, ха, 1, Ь) еБ ][Га (Ч Ж С»1, причем !1ш ла(М) = со, Мы здесь не выделяли переменных ! и х„прн производных по ко торым стоит малый параметр й. Однако мы можем рассматривать пространство ]]га' []аа, С,] как пространство В', []ч, С,] функций от х„г, Ь со значениями в пространстве Ф'а [Щ функций от х,. Таким образом ]Г~ Щ С»1 ~ ЪГ~ (й, Са, В'а [М]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
