Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 20
Текст из файла (страница 20)
° ) сР (Рм ..., Р», х»+и ..., х ))вйРС ... йР» х Х ИХ»+ ... С(Х»~е ( Ср» (а)йа а и стремится к нулю вне этой области (ср. гл. 2, и. 3 2 1). Обобщение понятия канонического оператора на случай, когда оператор А не является положительно определенным, и на случай, когда ср(а) есть вектор-функция со значениями в гильбертовом или счетно-нормированном пространстве, проводится совершенно аналогично тому, как это было сделано в одномерном случае.
Рассмотрим уравнение (1.13) гл. 1 при а,=О, а, 1, В=О, А 1/Ь. В частности, при ст (о„Н) оно совпадает с уравнением Паули (табл. 1, п. 6). Теорем а 3.3. Пусть решение ф(х, 1) (функция со значениями в В) уравнения (1.16) гл. 1 при а,=О, а,=1, В=О, А 1/Ь удовлетворяет.начальному условию ф (х, О) = Л3»а,'г.»~Р (а) У (а), Г = (с)е (а), Ре (аИ Я(а, С), Р(а, С), 5(сс, С) — решение системы Гамильтона Ц;=Нги Р;= — Н»п 5= — Н+ ~ — Р„ дО дрс с) (О) =д' (а), р (О) р'(а), 5(0) =О, Н(Ч,р С)=(р+А(Ч.С) 7 — Ф.(у.
С) ° Г,= Я (а, С), Р(а, С)), ЙЯ, С)=Се(о.,Я(Я, С)). Для интеграла от квадрата модуля вектор-функции ф(ро..., р„ х»+и ..х ) при начальных условиях, локализованных в окрест- ности точки х„справедливо следствие теоремы 3.2. Однако для интеграла от каждой компоненты вектора ф следствие выполняться не будет. Для уравнения Паули это означает, что классической частице соответствует некий вектор (спиновая ось), который меня- ется вдоль траектории по закону (., с =-р (с 1 с юс ~ . е о с) . ~, о~, О т.
е. спнновая поляризация имеет классический предел. и 2. Аснмптотнка решений релятивистских уравнений Рассмотрим уравнение (1.16) гл. 1 и предположим, что его коэффициенты принимают значения, приведенные в табл. 2 с 1-й по 4-ю строку (уравнения: волновое, Максвелла, Дирака, Клейна— Гордона — Фока). Таблица 2 се=поп»1 Дирвка вектора.
потеиц. 114 115 (уравнение Паули; см. табл. 1), ср(а) енС" и финитна, у(а) — еди- ничный бесконечно дифференцируемый вектор. Тогда м*,с-хвс:.и ~ч о)11»п~ .е,сл)сы. где а' — начальная точка на многообразии Г, у " ф,йЯ(ае 0 С)( ' 5(ао С) 2 Ь Волковое Максвелла Клейна— Гордона— Фока 0 св(х, С))0 Ф (х,С) потеи- циал св(х, С))0 0 0 0' А (х, С) = псе — соп»1 =А1(х, С), ... ", Ас(х, С) табл. 1 0 — (о, Й)— с — С(а, Е) В этом случае уравнение (1.16) гл.
1 можно переписать в виде < < — — [АФ (х, 1)1 — с» (х, 1) [(7 + [А А (х, 1))» + А»у»1 + 1 дс + 'Я Вз(х, 1) — +иИ(х, 1)»Р(х, 1) =О, (2.1) з дк» где ф(х, 1) — вектор-функция: ф(х, 1) = (ф„..., »р,), а коэффициенты принимают одно из четырех значений табл. 2. Характеристическое уравнение для (2.1) имеет вид ~дЯ <з — — Ф(х, Г)1 — с'(х, Г) ([75+А(х, Г))»+у») =О. (2.2) дг Двум ветвям решения этого уравнения (относительно д5/дг) д — Н (х»уВ 1) (2.3) ( — 1)" с(х, 1) р' р" +А(х, 1)<»+Т» системы бихарактеристическик урав- Н" (х, р", 1) = Ф (х, 1) + соответствуют две (ч=[, 2) некий дн" [е", р", б др» (2.4) '» дН" [~ч, р", 1] р» = 1=!, ...,н, де» Ч (Ч„..., У„), Р (Р„..., Р„), »=1, 2, л Н ~~, [т»Н»»» Пусть ц(0) =д'(а), р(0) =р'(а), В»(0) =О, Г(а»(а), р»(а)) — лагран- жево многообразие. Обозначим Я" (а, Г) у'(Г), Р" (о., 1) =р" (1), (2.5) 8" (а, 1) =з" (»), Г» =([г~(а, 1), Р (а, 1)).
Имеет место следующая Теорема 3.4. Пусть т"(а) (»» 1,2) — две лроизвольныв единичные бесконечно дифференцируемые вектор-функции, а ф" (а) (ч 1, 2) — произвольные финитные функции на Г со значениями* ) в Н. ») Можно также брать ф(а) со звзчеанямя з пространстве обобщеввых функд пай з Н.
Если А =1 —, то ф»[а) может быть равно обобщенной фуакаев ж дс б(ч), Е [ч), +.... 116 Существуют решения уравнения (2.1), которые могут быть представлены в виде .р»',а» с Я~ [а, О. 1! [ [ р» [а) + А [д» [а), 01 [»+ т» с [д» (а), 01 [[ р~ (а, 1) + А [Я~ [а, 1), 11 [»+ )л ) Е1 а [<Е»п,.~»р(,с с~»к(,ож]<ю<» 1 1». » ь у = — 5~ а», 1) — — 1п1[ [~ (сс», О, 1). л ' 2 Коэффициенты (зХз-матриц еи (а) ) для ф'(х, »), зависящие от 1 как от паРаметРа, могУт быть найдены после подстановки ф" (х, 1) в уравнение (2.1) и прнравннвания нулю коэффициентов при степенях )с,.
Такая процедура возможна в силу теоремы 3.4. Элементарным образом может быть найдено решение ф(х, 1) уравнения (2.1) как линейная комбинация ~Р с,ф"(х,1) указанных » 1 решений ф"(х, 1), удовлетворяющее начальным условиям вида »р(х, 0)=К~я'.ге,ф(а)г(а), — "Р (х, 0)=0 (при произвольных ограниченных зХз-матрицах ев(а)), нли ф(х, 0)=О, — (х, 0)= Ктл'г я»ф(а)т(а) дф та (прн произвольных ограниченных зХз-матрнцах еч(а)).
В пространстве 5 (т. е. в нулевом приближении по )с,) в первом случае, например, нужно положить ф'(а) =Ф(аз(а),0)+( — 'Ц с(цз(с»),0) у'<рз(а)+А(цз(а),0)<з+Тз н взять полусумму решений ф" (х, Г) (т=1, 2). 3 3. Примеры и следствия Если Н=»'.»[1, со) — пространство функций от о», а А — оператор умножения на оз, то поставленная задача в случае уравнений, волнового и Максвелла, является задачей о коротковолновой асимптотике решений этих уравнений. В частности, когда Г, при 1 0 есть плоскость р р„ параллельная координатной плоскости ц, то решение ф'(х,г) соответствует случаю, когда в начальный момент имеется плоская волна импульса р,.
Подробно физический смысл такой постановки и связь ее с приближением геометрической оптики изложены в 5-м издании книги Куранта и Гильберта з). Там речь идет о постановке и решении задачи в малом, т. е. при таких ») Курант Р.. Гвльберт Д. Методы математической физики.— М.— Лл Гостсзаздзт, 1951. 117 Г ь1„при которых бихарактернстикн не пересекаются и якобиан РХ/Рх, не обращается в нуль (ср. и. 1 й 1 гл.
1). Из (2.6) следует переход от волновой оптики к геометрической в целом. В частности, для ф(х, Г) справедливо утверждение, анало-. гичное $1, и. 1. Получается также, что поляризация решения уравнения Максвелла имеет коротковолновый предел, а значит, может наблюдаться в геометрооптическом приближении. Каждому геометрооптическому лучу нужно поставить в соответствие вектор е(Г), который меняется вдоль луча. Для электрического поля Е вектор е имеет вид е =]'ц/зи, для магнитного Н е„=~з/ии, где и — единичный вектор, удовлетворяющий уравнению (ср. [52, 37]) — "" = — (иягай1пп) р(а, г), (3.1) п где п=с~рв.
Эта формула справедлива для любого времени Г. Таким образом, наличие фокальных точек не сказывается на классической поляризации: поляризация не меняется при переходе через фокальные точки. Аналогичное утверждение справедливо и относительно поляризации спина уравнения Дирака (см.
[6.63]). Два решения ф'(х,Г) (т !, 2) в уравнении Дирака соответствуют электрону и познтрону [45, 47]. Начальные условия уравнения Днрака удовлетворяют соотношениям (1.24) п. 6 $ 1 гл. 1. Эти соотношения накладывают ограничения на векторы ~ (а) (т=1,2) в формуле (2.6). Именно, оказывается, что вектор г (а) является нуль-вектором характеристической матрицы С =( 1)'~(су3,+сА) +- "./в — '~' а„[с — — еА») + а«гиР, (3.2)" г дЯ »= где 1 †единичн матрица. Ранг матрицы С" равен 2, поэтому существуют два линейно независимых вектора г; (1= 1, 2), которые она переводит в нуль.
Система векторов г,' (1=1, 2, т=1, 2) образует базис в четырехмерном векторном пространстве, поэтому любое решение уравнения Дирака, удовлетворяющее начальному условию ф (х, 0) = т.а' = К,!„,г,~р(а), можно представить в виде линейной комбинации выражений (2.6), если положить в этой формуле гт=г„(~=1,2, 1 1,2). Рассмотрим решение ф'(х, г) волнового уравнения, удовлетворяющее начальному условию ф(х, О)=~р(х)ехр'(!А/(х))я, А=!в дт й — обобщенная функция.
!18 Пусть начальное многообразие Г= [й=а, р=йгай [(а)) Удовлетворяет соотношению [р'(а) ~*с'(а, 0) =сопз1. (3.3) Пусть плоскость д=х пересекается с Г, только в неособых точках. Тогда число этих точек конечно. Иначе говоря, точка (х, 1) не является фокальной, и уравнение Я(а, Г) =х имеет конечное число решений а", ..., а». Поскольку они зависят от х, Г, будем писать а'(х, Ф) (1 -1(й). В силу (2.6) решение ф'(х, 1) имеет вид ф' (х, 1) = с (х, г) 'Я <р [а! (х, 1)] с ' [а! (х, Г), 0] х х йе1 ~ [а!(х, 1), 1] йе ехр — т +!А[[а!(х, 1)] х 2 Р 1+ ~~~~ <р [а!(Х, Г), Г] К™п й', (3.4) а 1 где Т' — индекс по Морсу пути Я («1', О, Г), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
