Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 16
Текст из файла (страница 16)
93 быми или, подробнее, неособыми относительно операции проекти. рования кривой Г на координатную ось параллельно оси р. Остальные точки назовем особыми. Пусть множество М особых точек конечно и особые точки та ковы, что при переходе через них производная а()/с(р вдоль Г меняет знак. Сопоставим каждой такой точке а~М единичный каса тельный вектор е„в направлении возрастания й()/йр (т.
е. в сторону положительного значения с(()/йр). Определим индекс пути 1[а', а*]~Г с началом в неособой точке а' и концом в неособой точке а' следующим образом; если путь проходит особую точку а в направлении вектора е„, то к индексу прибавляется 1; если в противоположном направлении — то вычи. тается 1. Индекс пути 1[я', сс'] обозначается символом 1пс11[а'„а'], Итак, индекс пути определен при некоторых огРаничениях на множество М и на точки а' и я*, выполняемых, когда кривая я путь находятся «в общем положении» [33]. Определим индекс произвольного пути на произвольной кривой Г, приведя ее и путь в общее положение малым поворотом осей по часовой стрелке.
Имеет место следукицее важное предложение, доказательство которого почти очевидно из наглядных сообра., жени й. Предложение. Индекс замкнутого пути (((икла), проходимого в направлении часовой стрелки, является инвариантом относительно диффеоморфизмов. Рассмотрим систему Гамильтона (/= Р= дн((),р,б .
— дн(с>,р,с) (1.1) др дч где Н((), р, Г) — достаточно гладкая функция. Пусть (()4(я), р'(а)) — несамопересекающаяся гладкая кривая в фазовой плоскости, Я(я, 1) =()(с), Р(а, с) =р(Г) — решение системы (1.1) с начальными.данными-()'(а),-р'(а), лежащими на-Г. Функции Я(а, т), Р(сс, 1) задают отображение и, кривой Г в некоторую кривую Г,: и,Г=Г,. Всякий путь 1[х', я*] переходит при этом в некоторый путь и,1[я', (х*] = 1, [я', а'] ~Г(.
Возникает вопрос — как выражается 1п()1([а', а'] чеРез 1пй1[я', я']? Чтобы ответить на него, напомним некоторые определения, относящиеся к решению системы (1.1). 1) Множество точек Я(а4, т) (0(т =Г) называется траекторией (путем) и обозначается Я(я') О, 1). 2) Точка Я(я4, т) на траектории с1(а'; О, 1) называется фокальной, если дЯ (я', т) /да'=О. 3) Пусть д'Н/др'>О. Индексом траектории Я(я'; О, Г) назовем число фокальных точек на полуинтервале 0«т(Г (так называемый индекс по Морсу [64]).
Имеет место следующее соотношение, которое решает вопрос об изменении индекса пути при отображении и,: 1пс11[сс', а']+1пб Я(я', О, с) =1пс(1,[а', а']+ 1пб Я(а() О, Г). (1.2) 94 Положим Н=р'/2+о(()), где и(()) — дважды дифференцируемая функция, тогда для достаточно малого с имеем Я(а, 1) ыр'(а) 4+()'(а), Р(а, Г) окр'((х) — о'(с)'(я) ) г, Произведем сначала деформацию Р =Р (я) с/ =Р (а)т+с/'(я), 0 =т =Е Обозначим образ кривой Г при этой деформации через Г,.
Теперь, оставляя ()=()( постоянным, произведем деформацию р=р'(а)— о'((/'(а) )т (0(т(1). Таким образом, Г; переходит в Г,. Но эта последняя деформация, очевидно, не меняет соотношения (1.2) между индексами. 2. Канонический оператор. Рассмотрим пространство Ея[Г, Н] функций с интегрируемым квадратом по мере с(я на кривой Г, со значениями в гильбертовом пространстве Н и пространство Ес[Гс(, Н] функций от х с интегрируемым квадратом на прямой — оо с'х(оо, со значениями в гильбертовом пространстве Н. Пусть А — неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор, причем спектр А содержит сколь угодно большие собственные числа.
Нас будут интересовать значения функций из Е,[Г, Н] лишь с областью определения в фактор-пространстве Б=Е,[Г, Н]/Е)(А)ПЕ)(й/йа). Рассмотрим случай, когда кривая Г взаимно однозначно проектируется на ось (). Таким образом, из уравнения ()=()(х) находим а=а(с)). Обозначим через Ктл",г линейный оператор, определенный на финитных бесконечно дифференцируемых функциях (Р(а), ()>енЕ,[Г, Н]: (КА,г()>) (х) = КА гч(((с) = 44(«> =(4 )~ — '"' ( ' ° 4((4] »Ч(4( (4>>), О З> да а4 д> я где т — константа, не зависящая от а, а' — точка на кривой Г. Пусть теперь кривая Г не проектируется взаимно однозначно на прямую с/, но зато взаимно однозначно проектируется на прямую р.
Таким образом, из р=р(а) следует а=а(р). В этом случае обозначим через Ктл',г оператор, действующий на (р(а) следующим образом: а)р) 4( — 41444( («а»44, о.4> а4 где т — константа, сх' — точка на Г, в которой дд(сс)/с(а=О.
Р[нтеграл берется по отрезку, на котором ф[а(р) 1 отлична от нуля. Если х лежит вне отрезка сс осн д, на который проектируется носитель ф(сс), то (Кл',гф) (х) ~ О. (1.4') в) Если их несколько, то можно взять любую из них. Теперь рассмотрим произвольную кривую Г описанного типа. По кроем ее конечным числом открытых интервалов Я' так, чтобы н каждом интервале 11с либо с[д(сс)/с/схчьО для всех точек интервала, либо с[р(сс)/с[схчьО для всех его точек, а с(д(сс)/с[о, обращается в нуль в некоторой точке.
Области первого типа назовем неособымн; области второго типа — особыми. В неособой области зададим в качестве локальных координат с/; в особой области — р. Обозначнм через Й,' неособую область й~ с введенными в ней координатами д (неособая локальная карта), а через Я1~ — особую область Р' с введенными в ней координатами р ((л,' — особая локальная карта).
Пусть йс — совокупность всех особых карт, вз ', — совокупность всех неособых карт. Одну нз точек а'ен1з', в которой Ид(а)/ /с(сс=О, назовем центральной точкой особой карты в). Возьмем про нзвольнУю точкУ схС'ен12в' н назовем ее центРальной точкой каРты. Совокупность карт (з(, 1)в образует атлас ЗЮ кривой. Сопоставим действительное число т центральной точке одной нз карт атласа ав; эту точку назовем начальной н обозначим а'. Пусть носитель )с функции фенС" лежит в области Ж Определим действие канонического оператора на функцию ф(а) формулой (1.3), если йа — неособая, н формулой (1.4), если 1з' — особая, положив в этих формулаху=у' — 1пс[1[сс', сс'[, где т' — не завя- 2 сящее от / число, сс' — центральная точка карты, 1[ х', а'1 — некоторый путь нз а' в сх'.
В общем случае можно определить канонический оператор с помошью разложения еднницй по локальным картам. Обозначим через е'(сс) (1=1, ..., Ас) разложение единицы, отвечающее покрытию (Й') компакта Д. Это означает, что е'(я) удо- Ф влетворяет условиям: 1) есенС" н е'=О вне й', 2) ~~~', ес(сс) =1 если з а~Я. Для фнннтной функции ф(а) имеем ф(сх) = ',~ е*(сх)ф(сх). Нос=в снтель каждого члена суммы принадлежит лишь одной локальнон карте, поэтому на каждой функции е*(сх)ф(сс) (1=1, ..., Ж) канонический оператор определен выше. Отсюда в силу линейности получим общий внд канонического оператора, действуюшего на фннитную функцию ф(а).
Пусть 1(х) — совокупность номеров всех карт атласа М, котоые содержат множество пересечений прямой д=х с отрезком )зс-Г. ОтРезок Р~Г покРываетсЯ конечным числом каРт 11', ..., Ял атласа ЗЮ. В общем случае канонический оператор Ктл,г имеет внд Ктлагф (а) = и"т ~ [ ехр [ — — ' [пс[1 [ав, ам[) х Ьу'Едл1 1- С 2 " ' ~ (сз [ —" ~ ю / ' *а [л 1 ли) в ~ м ~- па4,аип + ехр ~ — — 1пс11 [ав, ст/) 1= 1 е'лазе1 [я(р)) х (жс м~(" а[ — л ) оса[и мал) . п.в) Па*,амц а=в где /[й, сс") — некоторые пути нз сс' в сс'.
3 а меча вне. Если à — неограниченная кривая А=1//т, то заменяя в формуле (1.5) ф(а) на $(а, /с) ф(сс), где $(а, /з) — функцяя-регулярнзатор, равная единице с точностью до 0(/т") в любой ограниченной области н достаточно быстро стремящаяся к нулю прн а-в.са (например, $(сс, /с)=ехр( — а*е-"в)), пРиходим к тому, что ряды в (1.5) сходятся для любой ограниченной функции ф(а). Нетрудно убедиться, что для определенного таким образом канонического оператора справедливы (прн некоторых ограничениях) в любой ограниченной области все сформулнрованные ниже теоремы. Аналогично н в многомерном случае.
3. Инвнрнантность канонического оператора. Пусть кривая Г незамкнута. Тогда канонический оператор Ктл,г не зависит от вида атласа н от способа разбиения еднннцъг, т. е.'выражения Ктл",и ф(х) для различных атласов н разбиений единицы отличаются лишь на функции вида К1л",г Р(сс), где Рея[) (А) Щ) (д/дсс). Подразумевается, что точка сса прн новом разбиении осталась начальной точкой атласа, а значит, осталась центральной точкой некоторой карты.
Если же точка а=сс' не осталась прн новом разбиении центральной точкой карты, а стала принадлежать карте с центральной а точкон а„то в качестве начальной точки нового атласа должна быть взята какая-либо другая точка, например схь Тогда прежний канонический оператор прн новом разбиении равен (в 5) Ктл'",г, где у = у — —" 1пс[1 [кв, сх',) + А [~ р с[с/. 2 Паха 1 Если кривая Г замкнута, то канонический оператор Кл,г не зависит от способа разбиения единицы, но зависит, вообще говоря, 4 в. и. маслов (1.6) (1.7) Я(х) =- Х вЂ” о(х), ~ у'йх( оо, где Яе=С, Я(-~ оо) = — оо. рассмотрим в фазовой плоскости р, д кривую р*/2 — (е(Ч) =О. Известно, что собственные значения ч=ч„задачи (1.7) — (1.8) бу- дут удовлетворять условию (1.6) [18, 41). Рассмотрим уравнение Шредингера — — + о [х) ф= — 34~, ~ ф-'йх ( оо, 2Н где о~С", о(-~со) =оо.
Предложение. Пусть Г„=[у„(а), р„(а)) — последователь- ность. замкнутых кривых, удовлетворяющих уравнениям Фл лпл эч (чп) рл Н вЂ” "=р (а), — "= —, — "+ч(д„)=Е„, оа Ыа дч„2Н где ń— множество (зависящее от Ь), определяемое условием ф р йо = 2я(п + — ~ Ь. Существует (зависящий от Ь) набор собственных значений Х Х„ уравнения (1.8) такой, что 2 „— Е = О (Ь ), [)[) — К ),ь, „° ! [)„= О (Ь), (1.8) где )[)„— собственные функции, отвечающие Х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
