Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Это и означает выполнение принципа тождественности в общепринятой формулировке 120, 481. Другое ограничение, сказывающееся на начальных условиях, формулируется следующим образом* ). «Мы всегда будем требовать, чтобы при соответствующем предельном переходе результаты любых вычислений совпадали с классическими выражениями. Это требование выражает принцип соответствия Бора...» [481. Поясним, что означает термин «предельный переход». Пусть 1„ 1„и, 1,/1„К вЂ” постоянные: длина, время, скорость и потенциал, характерные для данной квантовой системы.
Предельный переход квантовомеханических величин в классические осуществляется при таком изменении этих параметров, когда безразмерная константа з — стремится к нулю. Это означает, что так называемая 1Ф'"е де-бройлевская длина волны й!(ти,) мала сравнительно с харак«) См. Ш и ф ф Л. Кваатовая механика.— М.: ИЛ; терной длиной системы. Остальные безразмерные параметры оро к=— оооо с Ч о ро Рассмотрим Ь-мерное многообразие х,=х,(а) (а= (а„..., сц), Ь( (л), вложенное в К".
Обобщение условия трансверсальйостй может быть представлено в виде дхо га) дхо (а) дхо (а). дхо (а) :О, '1,/ ('Ь, дао да да) да~ Ро(а) = )ххоо(и) ° (2Л) Удобнее рассматривать в фазовом пространстве о/=х, р=рх л-мер ное неособое дифференцируемое многообразие о/=о/(а), р=)оф(а) (и= (ао,..., а„)). Условие (2.1) можно переписать в виде дд др дд др — — — — — =О, 1,/(л, дао да - да дао (2.2) т. е. в любой локальной системе координат многообразия скобки Лагранжа равны нулю. Такое многообразие называется лагранжевым. Квантовый переход системы из состояния ор,(х) при 1=0 в состояние о)о,(х) при 1=т описывается формулой с,,(т) = ~ фо(«) К(х, $, т) ф,($)Ыхс$, (2.3) (с — скорость света, е — заряд, У, — характерный потенциал) не зависят от Ь и 1,. А поскольку Ь постоянно, то ч может стремиться к нулю лишь за счет увеличения 1, (или при одновременном стремлении У, и а, к оо, если еУ,— о,'гл).
Однако для удобства обычно полагают Ь-о-0 вместо ъ-+0 или 1;~ос. Таким образом, принцип соответствия может быть применен лишь к системам, которые содержат малый параметр Ь. Этим он отличается от принципа тождественности. Теперь разберемся, о какой задаче классической механики идет речь. Всякой конкретной квантовомеханической задаче, содержащей параметр Ь и имеющей физический смысл, соответствует в классической механике вполне определенная задача. Эта задача может быть поставлена как обычная вариационная: ищутся экстре- мали функционала с закрепленным правым концом и левым концом, трансверсальным к некоторому Ь-мерному (Ь(л) многообразию (в частности, при Ь=О левый конец закреплен).
Рассмотрим, например, уравнение Шредингера. Уравнениями Эйлера соответствующей ему классической вариационной задачи будут уравнения Ньютона доо рх;= — —, 1=1,...,л. дхо д К(х, з, т) — фундаментальное решение (функции Грина) уравнения Шредингера (1.6). Вероятность этого перехода равна ~с„(г) )'. Рещение задачи Коши для (1.6) получается из формулы (2.3), если положить ор,(х) =6(х — х'), что соответствует задаче с закрепленным правым концом.
Само фундаментальное решение можно получить из (2.3), если положить ор,(х) =6(х — $'), фо(х) =6(х — х'). Следовательно, фундаментальное решение описывает квантовый переход частицы из точки «=$' за время т в точку х=х', что соответствует вариационной задаче с закрепленными концами. Начальное лагранжево многообразие в этом случае имеет вид «=й' и представляет собой поверхность, расположенную параллельно координатной плоскости х=О. Начальному условию вида ор (х, 0) = ехр (/р,х/Ь) (ро= роо, ° ° ° р,. — константы) соответствует лагранжево многобразне р=р,.
Условию, не зависящему от Ь, соответствует многообразие р=О. С помощью принципа соответствия Бор получил квантование классической механики, которое, как оказалось, дает лишь первый член асимптотики при ЬоО решения истинного квантового уравнения Шредингера (1.6). Квантование Шредингера заключалось в том, что он поставил в соответствие классическому импульсу оператор — 1Ьд/дх, энергии Š— оператор Гид/д1, сопоставив тем самым уравнению Гамильтона — Якоби линейное уравнение в частных производных второго порядка, Квантование, таким образом, тесно связано с принципом соответствия; в приведенной выше формулировке Шиффа это есть понятие, обратное квантованию.
Квантование .ставит в соответствие классическому объекту квантовый.обьо ект, зависящий от Ь, а принцип соответствия требует, чтобы результаты вычисления имели классический предел при Ь-~0. Естественно, что принцип соответствия был призван «помогать квантовать>. Оказывается, однако, что для произвольного решения уравнения Шредингера принцип соответствия, вообще говоря, не выполняется. Например, пусть ор(х, 1) — решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее начальному условию ор(х, О) =ор(х)е"~м; тогда среднее значение импульса, равное (см.
(481) — ') оР(«,о) 1Ь вЂ” ор (х, 1)о1«, дх будет стремиться к еоо при Ь-о-О. Значит, чтобы удовлетворить принципу соответствия, нужно прежде всего проквантовать начальное условие для уравнений Ньютона — условие трансверсальности, т. е. каждому лагранжеву многообразию поставить в соответствие векторную функцию от х и Ь вЂ” начальное условие для решения урав- нения Шредингера (иначе говоря, проквантовать скобки Лагранжа (2.2) ). И лишь после этого доказать принцип соответствия.
Итак, задача заключается в том, чтобы найти класс К функций от х и /г, удовлетворяющий следующим условиям: 1) Аснмптотичность. Две функции от х и п из К считаются экви. валентными, если их разность стремится к нулю при /г-ь.О в среднем (т. е. по норме в Е.,[й" 1). 2) Выполнение принципа соответствия. Если в начальный мо мент решение принадлежит классу К, то в любой момент выполняется принцип соответствия, т. е. все квантовомеханические величн.
ны, имеющие физический смысл, переходят при /г — ~-0 в классические. 3) Инвариантность. Если в начальный момент решение ф(х, 0) принадлежит классу К, то и в любой фиксированный момент оно принадлежит этому же классу. 4) Полнота. Каждому многообразию х,=х,(сс), х, х,(а), удовлетворяющему условию (2.2), соответствует функция ф,~К Квантовомехвнические величины, отвечающие решению ф(х, г) уравнения (1.6) с условием ф(х, 0) =гр„сходятся при й- 0 к классическим величинам, отвечающим задаче х= — дг/Зх', хг(0) =хег(а), х~(а) = рм(а): (2.4) Таким образом, для наших целей достаточно провести квантование скобок Лагранжа в квазиклассическом приближении — приближении старой квантовой механики Бора. Забегая вперед, заметим, что условия квантования скобок Лагранжа будут совпадать с условиями Бора — Зоммерфельда старой квантовой теории в случае, когда лагранжево многообразие является инвариантным относительно динамической системы (2.4). Свойство асимптотичности для класса К мы заменим более , сильным условием, учитывающим г.жравиоправность» .
оператора .. умножения на 1//г и оператора дифференцирования по х. Рассмотрим в /.э[14"+'1 область Р— пересечение областей определения оператора умножения на 1//г и оператора дифференцирования по х. Область Р незамкнута в норме /.,[К"+'). Отождествим элементы из Е,[1с"+'1, разность между которыми принадлежит Р. Полученное пространство (фактор-пространство')) обозначим через 5=Ьэ/Р.
Требование асимптотичности будет выполнено, если класс К принадлежит 5. В дальнейшем мы будем записывать равенство в пространстве 5 в виде /,~/„ т. е. с точностью до элемента, принадлежащего Р. Так, ф(х, Е)-~фе(х, Е). Задача о построении инвариантного класса функций может быть поставлена и для задачи о разрывах скалярного волнового *) Пространство Е,(м" 1 есть группа по сложению, 1У вЂ” его подгруппа. Пусть Еэ/Π— клясс смежности в Е, по подгруппе Ет. Совокупность классов смежности и является фундаментальным множеством элементов линейного пространства 3. Фактор-пространства Ее/О незамкнуто. 88 уравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
