Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Решение задачи (1.6), (1.10) вне области Х(/, И) дифференцируемо в Е,[К"+"~Х(1, Я) Х [О, 1) ). Рассмотрим теперь пространство д'Щ"+') непрерывных функций от й (0(й(1) с интегрируемым квадратом по х и с нормой Ц Ы Ц = 3/ 5 $6 (х, й) $* И . 78 Оказывается, что функция Ф(1, х, й) в формуле (1.12) такова, что Ф(х, 1, й), — Ф(х, 1, й), ' ' (1=1, ..., н) принадлежат 1 дФ(х, М.
Ь) дК7 д; [ йа+! ) 2. Обобщенная задача о «распространении разрыва> для уравнения с операторным коэффициентом. Пусть функция и(1) со значениями в гнльбертовом пространстве Н удовлетворяет эволюционному уравнению (1.13) — =АиЯ, ки где А — неограниченный оператор 'в гнльбертовом пространстве, и Р(А"), Р(А ) плотны в Н (Н вЂ” любое целое число).
Предположим, что и (1) У Р (А «) Задача, аналогичная проблеме распространения разрыва решения гиперболического уравнения, заключается в том, чтобы построить такой элемент ие(1), что и(г) — и„(Ю)яР(А ). (1. 14) Обобщенным решением уравнения (1.13) будем называть непрерывный функционал на Р(А'~), удовлетворяюший условию (ш(/), д)=(и(1), А' л), (1.15) где йЕ= Р(А ), а и(1) удовлетворяет (1.13). Пусть 7в(1) — обобщенное решение уравнения (1.!3), определенное как функционал наР(А"~).
Задача о выделении его «сингулярной части> заключается в следующем. Требуется построить такую ОбсбщЕННуЮ фуНКцИЮ П7,(1), ЧтсбЫ раЗНОСтЬ ГЕ(1) — Шь(1) ПрниадЛЕ- жала Н. Очевидно, что, не уменьшая общности, мы можем ставить задаивать лишь классические решения ели — 1А — самосопряженный операкция, то очевидно, что ч у (1.14), (1.15) и рассматр ь(1) енР(А) уравнения (1.13).
Е тор, Е, — его спектральная фун и- ь)=1 ж~(0)= ! 3Ю -Хф ь$ = ~ валс(Е~и(/) + ~ е'~дЕ~и(0).+ ') е~'чьи (О). Х, С Ф Последний интеграл при любом конечном Х, принадлежит Р(А"), т. е. и(1) — ~ [еа~дЕь — е-~'дЕь[и(0) ~=1 Р (А ). Отсюда следует, что зта задача связана с задачей об асимптотике Е„при Ах~. 3. Класснфнкацня уравнений второго порядка. Общие свойства решений уравнений (1.1), (1.4), (1.6) могут служить основой для классификации широкого класса уравнений с операторными коэффициентами в гнльбертовом пространстве. Мы рассмотрим наиболее простой случай, охватывающий, однако, все уравнения квантовой механики. Рассмотрим пространство вектор-функций ор(х, 1) (х= (х„...
..., х„), ор (ор,(х, 1), ..., ор.(х, 1))) со значениями в гильбертовом пространстве Н. Пусть В,(х, 1) (1=1, ..., и), Я(х, 1) — ограниченные бесконечно дифференцируемые матрицы порядка г, зависящие от параметров х, 1, а„(х, 1) (я=1, 2, 3), Ь(х, 1) = (Ь,(х, 1), ..., Ь (х, 1) ) — заданные комплексные бесконечно дифференцируемые функции от х и 1 (Ь(х, 1) — вектор-функция) со значениями на действительной прямой, А — самосопряженный неограниченный оператор в гильбертовом пространстве Н, не зависящий от х и й Векторное в-мерное пространство мы обозначим через К'. Рассмотрим уравнение с а,(х, 1) — +!Аа,(х, о) — + А'а,(х, 1)+ дж ' до о + (7+ 1АЬ(х, Г))о+ ',~~~ Во(х, 1)+ (АИ(х, 1) ф (х, 1) =О.
(1.16) о 1 После подстановки ор=ехр((А5(х, 1)), приравняв нулю коэффициент при А', получим уравнение, которое назовем характеристическим: а,(х, 1)1 — 1 +аз(х, 1) — — ао(х, 1)+(75+Ь(х, 1))о=0. (1.17) ~ д~ / ' ' ' д~ ' Если корни характеристического многочлена и (г(ро) = Ро+ а Ро 'Я(р + Ьо)о — ао (1.18) о о действительны при любых р„..., роо х, то будем говорить, что уравнение (1.16) волнового типа; если чисто мнимы — туннельного типа; если в некоторой области действительны, а в оставшейся чисто мнимы — смешанного типа.
Остальные типы уравнений мы рассматривать не будем. 4. Преобразование типа Фурье для абстрактных функций. Введем понятие импульсного представления (р-представления), Если оператор А неотрицательно определен, переход к импульсному представлению совершается при помощи унитарного оператора ФА. ф(р)= Флф(х)= о, ~ г ~оолф(й)ах (1.19) 80 Обратно, оо р — Ао~о ф(х) =Фолдер(р) = ~ го А,~(р) с)р о.ц~о/о О Если оператор А неотрнцательно определен, то оо ( ~)о/о в ф(х) — Фолф(р) — „, ) гоо Я(р)с(р о (1.20) (1.21) Пусть оператор А не является знакоопределенным.
Разложим пространство Н на сумму Н= Н+ 1-Н- таких подпространств, что сужение оператора А на Н+ есть неотрицательно определенный оператор, который мы обозначим через А+, а сужение оператора — А на Н- есть неотрицательно определенный оператор; обозначим его через А . Пусть ор(р) — функция со значениями в Н. Положим ф (Р) = Ф (Р) + Ч (р), Ф' (Р) ~= Н', Ф (р) = Н- при е ратор о Т==г"'~оА ~г-'А 'дх. о Таким образом, оператор Т существует как оператор в действительном банаховом пространстве. Обозначив Т=ТА, определим преобразование типа Фурье формулами (1.19), (1.20) для функций со значениями в В.
Можно также рассматривать оператор А, для которого — А обладает перечисленными выше свойствами. В атом случае в качестве преобразования типа Фурье введем формулу (1.21). 81 Тогда по определению ФАф(р)=ФА+ф (Р) + ФА-ф (р). (1.22) АНаЛОГИЧНО ОПрЕдЕЛяЕтСя ОПЕратОр Фол Введем теперь аналогичный оператор в пространстве функций от х со значениями в банаховом пространстве В. Рассмотрим оператор А с всюду плотной областью определения Р(А). Пусть (1+еА)-' и А-' существуют н определены всюду в В, ч м 1((1(-еА)-Ч(1 при е)0 н е чисто мнимом. Рассмотрим опеТ= — =г 'ояоА ( г'Ао*г(Х, ЗадаННЫй На Р(А).
ЭтОт ОПЕ- у й,) о ратор обладает следующими свойствамн (см. гл. 6, $1): а) Т*-А на Р(А); б) Т Т, где Т вЂ” комплексно сопряженный оператор, б. Инварнантность типа уравнения относительно перехода к р-представлению. Тип уравнения (1.16) инвариантен относительно перехода к р-представлению с помощью преобразования ФА. В самом деле, после подстановки е'"зс"" в уравнение (1.16), записанное в р-представлении (т.
е. в уравнение для функции ср(р, 1) ), мы вновь получим (приравняв коэффициент при А' нулю) уравнение Гамильтона — Якоби / дЯ дЮ ас(х, () ~ — 1! + аз(х, () — — аз(х, г)+ [р+Ь(х, с) [с=О, дг дС где 5=5(р, !), х»=д5/др». 6. Уравнения волновой механики и оптики. Приведем таблицу специальных значений коэффициентов уравнения (1.16), при которых получаются уравнения волновой механики и оптики. Заметим, что большая часть конкретных применений развиваемой далее теории относится именно к этим уравнениям. Нетрудно проверить, что все онн принадлежат волновому типу в смысле проведенной перед этим классификации. Здесь Е=Е»(х, 1) — электрическое поле, Ф,=Ф,(х, с) — скалярный потенциал, А„=А„(х, !) ((с=1, 2, 3) — компоненты векторного потенциала, е=е(х, !), (с=(с(х, 1) — диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, с — скорость света в пустоте, пс — масса частицы, е †зар, Ь вЂ” постоянная Планка, ос — матрица Паули второго порядка: оз = (пзь озз» озз) «с=~ ~, «« =[ ~, пзз=~ а, а — матрицы Дирака четвертого порядка [631: сс = (сс„а, а )с й = (о;, оз, оз), аз=, аз= Если а,=аз=О, Ь=О, В,=О, 1« =О, то мы имеем уравнение Гельм- гольца.
При А=«а имеем уравнение туннельного типа с чисто мни- мыми характеристиками: если сделать замену 5-~(5', то мы полу- чим действительные решения для 5'. Характеристическую систему для уравнения, определяющего 5', будем называть бихарактеристи- ческой для данного туннельного уравнения. Уравнение (1.4) получается из (1.16), если положить ! ас=, аз=О, ' (х. 0 Ьз (х, б дз пз = А= — —, «сз(х С) дуз ' а остальные коэффициенты уравнения (1.16) принять равными нулю.
82 Начальные данные для уравнений 2 и 3 табл. 1 (уравнения Максвелла и Дирака) не являются произвольными; они удовлетворяют определенным соотношениям, обладающим свойством инвариантности, т. е. если они выполнены в начальный момент, то решение уравнений будет удовлетворять им в любой момент времени. Пусть Е(х 0)=Ез(х), Н(х, 0) =Но(х) — (х, 0) =Е,(х), — (х,О) =Н,(х) начальные условия для уравнения Максвелла. Указанные соотношения имеют вид «[!чеЕ =О, «1!ч(зй.=О, (1.23а) — Ез=го1Йз, — Йз — — — го1Ез.
с с Пусть решение ср(х, () уравнений Дирака удовлетворяет условиям ф(х, 0) = ф.(х), — Р(х.О) = ф. (х). (1.23б) Соотношения, наложенные на эти условия, имеют вид »(с — фз + — Ф (х, 0) сРз = — с(с [ а, (1ига«( сРз — — Афз)) + «псас»Рз, с (1.24) "=Г'-Л '=~'Л ме того, может условие (т. е. й'= 1, А= «а) и(х, 0) = «р(х) е' '«*> Поскольку соотношения (1 23) и (1.24) инвариантны и выполняются в любой момент времени с, то можно записать уравнения. Дирака и Максвелла, как это принято, в виде системы уравнений первого порядка. При этом условия (1.23а) можно наложить непосредственно на решения уравнения (1.23б). Заметим, что скалярное волновое уравнение и уравнение Максвелла вообще не зависят от оператора А. Тем не менее начальное условие может зависеть от оператора А.
Действительно, в первом примере (1.1) начальное условие (!.2) может быть представлено в виде а и (х, 0) = «р(х) 1+ (х) = ср (х) [$ + 1(х)[з=з = ф(х) [е ~Ц'[1 Таким образом, здесь и(х 0) =з-»"с«*'д, где А=с —,'й'=5+. Кро. д дй ' быть поставлено «осциллирующее» начальное Во всех рассмотренных примерах начальные условия зависят от ,1 специальным образом. Мы увидим в следующем параграфе, что специальный вид начальных условий не-случаен.
Он продиктован самой физической постановкой задачи. б 2. Постановка задачи Коши для уравнений квантовой механики Квантовая механика, как известно, основывается на целом ряде физических принципов. Не будем касаться тех, которые постулируют связь математического аппарата с экспериментом. Не будем касаться также и правил, служащих для написания уравнений.
Весь известный математический аппарат квантовой механики может бысть построен на основе нескольких эволюционных (нестационарных) уравнений в частных производных, приведенных в табл. 1. Поэтому, чтобы аксиоматизнровать математическую теорию квантовой механики, надо еще знать, каким условиям должны удовлетворять начальные значения решений этих уравнений. Итак, мы сформулируем лишь те постулаты квантовой механики, которые могут быть использованы для определения вида начальных условий. Такими постулатами являются принцип тождественности частиц и принцип соответствия квантовой и классической механики. Им удовлетворяют далеко не все решения уравнений, отвечающие произвольным начальным данным, принадлежащим Ь,. Сформулируем аксиому, которой может быть заменен принцип тождественности.
Пусть уравнение Шредингера зависит от двух троек переменных (х„у„х,) и (х„у„г,) так, что при перестановке индексов уравнение не изменяется. Тогда начальное условие при перестановке индексов может изменить только знак. Нетрудно доказать, что решение уравнения будет обладать этим свойством не только в начальный момент, но и в любой момент времени 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
