Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Распределение разрывов решений некоторых задач. 1.1. Задача о распространении разрывов решений гиперболических систем непосредственно приводит к определению характери- СтНК. ПуСтЬ и(Х, с) — ОбсбщЕННОЕ раЗрЫВНОЕ РЕШЕНИЕ, а Ср(Х, Г)— такая функция, что и(х, 1) — ф(х, 1) — достаточно гладкая. Тогда ф(х, () и будет характеризовать поведение разрыва.
При достаточно малом с задача построения функций ф(х, /) может быть сведена к более простой задаче решения уравнения характеристик. Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение дси/дР=сз(х, с) Аи, с(х, Г) чьО, х=(х„..., х ), где и(х, /) удовлетворяет разрывным *) начальным условиям и(х, О) = р(х)/+(х), и,(х, О) =О, (1.1а) /+(х) =/(х) при /(х) >О; /+(х) =0 прн /(х) <О. Функции ф(х), /(х), с(х, /) предполагаются достаточно гладкими; кроме того, ф(х) — финитная функция с компактным носителем.
Характеристическое уравнение для (1.1) имеет вид (д5/д/)'=с'(х, а) (175)«. Положим 5(х, 0) =/(х). Чтобы выделить одну из ветвей решения характеристического уравнения, зададим д5/дс)с «=( — 1)»с(х,.О) (175„(х, /) ),,=( — 1)"с(х, О) (игаса/(х) $. Двум ветвям решения характеристического уравнения д5,/д/=( — 1) "Н(х, т75„, /), т=1, 2, Н(х, р, /) =с(х, с) )р), р=(р ° ° ° р ) ° соответствуют решения р'=Р" (/, х,), х"=Х" (/, х,) (»=1, 2) двух систем бихарактеристических уравнений: рс =( — 1) дН (к». р», с) дх» с хс =( — 1) »+с дН (х», р", с) с = 1, ..., и, (1.2) с д~» — =С вЂ” 1С'(лС*,р",с) я рл„Сс, р, «) „, с с удовлетворяющие начальным условиям (0) =хе, р»(0)=т7/(х ), хе (=— : О.
При достаточно малом /(/«кривые Х"(/, х.) при всевозможных х«еи1з и при фиксированном» образуют и-параметрическое семей- ство, причем д7(» 1' (1, х,)=бе1 ' ' ' О, Ос поскольку У" (О, х,) =1. Поэтому неявное уравнение Х"(с, х,) =х, х«янР, имеет не более одного решения х,=хе(х, 1) при всех 1(/,. Нетрудно видеть, что решение исходной задачи может быть представлено в виде полусуммы двух решений и(х, 1) = «) Здесь рассматривается слабый разрыв, т. е. разрыв производной. тз 1 = — (и, (х, с) + и,(х, 1) ) волнового уравнения, удовлетворяющих 2 начальным условиям и,(х, 0) =и,(х, 0) =ср(х)!+(х), с" (х, 0) = — — "е (х, 0) = с(х, 0) ~ нгад г (х) ~ У(х) 0 (с (х))чс (13) дг ' дС Еа) 11, $)0, 10, 1<0. Каждое нз решений и„и„как мы сейчас видим, отвечает одной нз ветвей 5 (х, с) решения характеристического уравнения. Прн высказанных предположениях имеет место следующее Предложение [19).
Решение и,(х, с) (чс=1, 2) задачи (1.1), (1.3) может быть представлено в виде н«,«,о> ««.ч«.м где Р" (х, с) — непрерывно дифференцируемая Функция. Следствие. Поскольку решение задачи (!.1), (1.1а) пред- ставимо в виде и (х, 1) = — ~ч!,' и„(х, г), ! то решение и(х, 1) непрерывно дифференцируемо вне суммы двух областей 0~~ =Х«(1, 12) (о=1, 2). Действительно, если хесей, то х, 6'-й; следовательно, ср(х„) О. 1.2. Рассмотрим теперь смешанную задачу. Пусть и(х, у, !) удовлетворяет линейному уравнению четвертого порядка л дс и — —" — 'Я ~ +а(х, у, 1) — +'!,' Ьс(», 1) —" О, дСЯ дх,'дУ* ' ' дх, дуе ' дх,'. с е с краевым условиям и!«,=и~„„=О н разрывным начальным условиям и~, =ф(х)!«(х)з)пу, и'~,, =О, где ср — фнннтная функция.
Если бы коэффнцнент а(х, у, 1) не зависел от у, т. е. а(х, у, с) =с(х, 1), то можно было бы применить метод разделения переменных. В этом случае замена и(х, у, 1) =о(х, Г) з1пу ярнводнла бы к уравнению е — = 'Я вЂ” о (1 + Ьсе (х, 8)) — с (х, Г) —, дС« дх*, ' ' дхс с с (1.4) где хе =хе (х, с), л.с*.ь«-«)Г2 сс;«сс.ч1„, с=с Х«(х«, г). Р (х«, 1),— решение системы хс=дН 'сдрс, рс= — дН«)дхс, с= 1, ...
„и, удовлетворяющее начальным условиям х(0) х„р(0) ='7)(х,), х, (х, с) — решение уравнений Х (х„с) =х, Р(х, у, с) — непрерыв- но днфференцнруемая функция. 1.3. Рассмотрим теперь другой пример, в котором разрыв рас- пространяется не по характеристикам, поннмаемым в обычном смысле. Пусть и(х, у, г, с) — решение задачи —" + (1 + сге) —" + ге — + хгеи = —" дг дх ду дгеду ' и(х, у, г, 0) =ср(х)0(у)е-"с, «) Напомним, что обычно уравнение характеристик определяется лишь членом, содержащим четвертую производную.
характервствкя которого удовлетворяют уравнению ( — ) =~ ( д" ) (1+Ь,*.(х, с)). с=с Но когда а(х, у, !) зависит от у, такой метод, разумеется, непрнме- нвм. Тем не менее н в этом случае, как мы увидим в дальнейшем, распространение разрыва решения и(х, у, с) определяется решенн- ем уравнения (1.4), которое мы будем считать характернстяче- скнм*). В гл. 4 будет приведена общая формула', определяющая распространение разрыва решений широкого класса задач, с по- мощью которой решение исходной задачи может быть представле- но в виде и= — (и«(х, у, с)+ и (х, у, с)), ! 2 дхх !Н и = 2Н (х, Р(х«(х, с)), с) ср(х«(х, с)) — ~~ яшух Р (х;,,с! ~!с 2«(х(ч.««« —,ц,«с «( е е м у' (хе ) + Р (х, у, 1), ер(х) — финитная бесконечно дифференцируемая функция.
В этом случае, как мы увидим ниже, решение может быть представлено в виде и(х, у, г, С) = <р ~х — С вЂ” —,~ 8 (У+ С] я Се Ч 4' ее я Се Се х ехр ( — — + (С Зп ( «С — — — — ~ ( + Р (х, у, г, ")е 4 4 6 С где Р(х, у, г, С) — непрерывная функция, Здесь разрыв распространяется вдоль поверхностей, определяе- мых уравнением яя +яя я я/, ъ~ я„, аС ах т ах которое естественно считать в данном случае характеристическим. 1.4, Аналогичную задачу мы поставим для более общих уравнений, несколько видоизменив условия иа разность и(х, С) — «р(х, С). Потребуем, чтобы некоторое число производных от этой разности принадлежало банахову пространству В (не обязательно пространству С). Рассмотрим задачу — — а'(х, С) — «+ Ь'(х, С) — =О, аСе ' ахе ' ауе (1.5) и(х, у, 0) = <р(х) 5 (у — у,), и~ (х, у, 0) = О, (1.5а) где коэффициенты уравнения достаточно гладкие (а*(х, С)+Ье(х, С)чьО), а функция яр(х) финитна и имеет компактный носитель й.
Требуется найти функции яр(х, у, С), для которых разность и(х, у, С) — чр(х, у, С) принадлежит Е,]11я]. Класс функций <р(х, у, С) может быть построен с помощью решений уравнения — =~ах(х, С)( — ) +Ь*(х, С)1 которое мы и назовем характеристическим. (Ниже будет дано общее определение характеристик.) Соответственно имеем систему Гамильтона р = —, х= — —, Н = (lаере+Ьь, ан ° (ан а« ' ар — = (Н вЂ” рНр]. я)Я ас Решения х(С), р(С)', З(С) при достаточно малых С(С, и при начальных условиях х(0) х„р(0) =О, З(0) =0 образуют однопараметрическое семейство. Обозначим, как и яеят прежде, х(С) =Х(С, х,), р(С) =Р(С, х,), З(С) З(Ся хя) ° При достаточно малых С~С.
имеем ах (Е «,) ахе решение уравнения Х(С, х,) =х, единственно: х,=х,(х, С). Имеет место следующее Предложение. Решение и(х, у, С) задачи (1.5), (1.5а) при С(Се может быть пРедставлено в виде ~р (хе) сое (У вЂ” Уе) и(х,у, С) 2ЗМ хе) +Р(Х у С) ~ЛИ хе)) И хе) х=х,(х, С), где Р(х, у, С) в=Ее(й'] при любом фиксированном С(С,. С л е д с т в и е. Сужение решения задачи (1.5), (1.5а) на область 11е~й„где Яя=Х(С, И) Х ( — оь, ьь), принадлежит Е,]11Я'~,Яя].
1 5. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механи- ки — уравнение Шредингера — имеет внд СЬ вЂ” = — — "* Ьф+с(х, С) ~р, х=(х„..., х.); (1.5) вяр здесь Ь, )ь — константы (Ь вЂ” постоянная Планка, )е — масса ча- стицы), Предположим, что ер(х, С) удовлетворяет условию ер(х, 0) =б(х — х,).
(1.7) Если о(х, С) ограничена и в(х, С) еиС", то решение ф(х, С) в лю- бой момент С>О является бесконечно днфференцируемой функцией в каждой точке х. Однако как само решение ер(х, С) при фиксиро- ванном С, так и его производные по х не принадлежат Ее(йе]. Сле- довательно, задача о нахождении функции ер,(х, С), для которой разность ер(х, С) — ер,(х, С) дифференцируема в Ея(Г4е], нетриви- альна.
Мы наложим еще более ограничительные условия на разность ер(х, С) — ер,(х, С). Забегая вперед, заметим, что нам будет важна за- висимость решения уравнения Шредингера от параметра Ь, поэто- му мы будем считать ер функцией не только от х и С, но н от Ь: яр= ер(х, С, Ь). Предположим, что решение ер при каждом фиксирован- ном С принадлежит пространству Ее(й"+'] функций Р(х, Ь), с нормой (1.8) Функция г (х, й) = ~р (х) ехр ~ — / (х) ~ (1.9) финитна, если ~ренС (К"). Однако др/дхЩ/.,[й"+'). Решение уравнения (1.6), удовлетворяющее начальному условию ф(х, О, й) =г(х, й), (1.10) при г>0 также не будет дифференцируемо в ь,[К +'). Поэтому можно поставить задачу о построении функции ф,(х, 1, й), для ко- торой разность ф — ф, дифференцируема в А>[К"+').
Уравнением, по- зволяющим получить функцию ф,(х, 1, й), является уравнением Га- мильтона — Якоби — + — (р5)'+ с (х, 1) = О. дь 1 а~ зи Его характеристиками служат решения системы Гамильтона рх = р, р = — —, — = — — е (х, 1). до еБ р> (1.11) дх ~и 2а Поставим начальные условия х(0) =х„р(0) Ч/(х,), Е(0) =/(х,). Обозначим, как и ранее, х(1) =Х(1, х,), Р(1) =Р(1, ха) З(1)'=З(1> хь). При 1(1, решение уравнения Х(1, х,) =х для хеязпрр ~р=й един- ственно и якобнан 1 (~э хе) = <~~ Зхюг отличен от нуля. Предложение.
Решение задачи, (1.6), (1.9), (1.10) может бать представлено в виде еь.~.ь= ""' "' р1 — 'ль.~ь,а1-~->(,г.ь, ьб> 1 ~'И.* ( ° 6!) где Ф (х, /, й), — Ф (х, 1, й), ' ' нринадлезсши Е [К""'). "с Заметим, что оператор умножения на 1/й в Т.,[К"+') неограничен и в некотором смысле «равноправен» с оператором д/дх. Следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
