Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

е. число нулей .7(а/,т)=йе1 дО(",.' ) р О( (1. дае После подстановки выражения (3.4) в волновое уравнение и приравиивания нулю коэффициентов при степенях Й, получим, что ~р [а~(х, 1), 1] удовлетворяют уравнениям 1А, ~% с(а1. О! Гр-ру-1) [ «10( /, О, Г] ' дг «10( !,О, г1 ' ~л а(„г о)]/! !1 ь 1~ ™м где ц,Г,— оператор Д'Ламбера в «криволинейных» координатах а', 1. Пусть д 8 (т); тогда Совершенно аналогичное утверждение справедливо относительно ф'1(х, 1). Отсюда получается решение задачи (1.1) — (1.2) гл.

1 в целом в случае, когда точка (х, г) не является фокальной. Если точка (х, 1) — фокальная, то асимптотика решения по теореме 3.3 представляется в виде интеграла такой кратности, каков 119 й е ~ехр ( — — '" у'~ ехрф7[а'(х, 1)] — ~ О (т)1 = ( — 1) О [т — [[а/(х, г)]] при у~ четном, ти» !)-!т!-~)Уз 1п[т — ~[а/(х, 1)] ~ при у! нечетном. дЯ«(а, 1) дефект (порядок минус ранг) матрицы в точке (х, 1) даг Рассмотрим здесь случай, когда многообразие Г, находится в общем положении и дефект равен 1. Пусть задано волновое уравнение с коэффициентом, не зависящим от времени.

Предположим, что носитель 1«функции у(се) столь мал, что его образ К«принадлежит только одной карте атласа М. Пусть ф(х, 0) =«р(х) ехр (1«о[(х)) и с*(х) ~ атаб1(х) )*=сопз1. Пусть р„х„..., х — локальные координаты канонической карты. Обозначим через р, значение импульса р' в центральной точке карты. Асимптотика при и-~со функции «в'(х, 1) имеет вид а ~та«а У««о « ~ дР«дхе,, дх У2 '(") ) р (Р') 'р(«е) ~ д а 7«-в х с ' (а) ехр (1«о) (а)) ехр (йо (х, — Х, (а, 1)) Р1) «2Р1 -[- О (11.[/ «о), где «х=«х(ро х„..., х .

1) находится из уравнений Р =Р («х 1) * х,="Щ(«х, 1), п)1)2, — ° е — — е функция Р(р,) =1 при Р, — — ( р, ~<р, + —, Р(р,) =0 при р«~рг+е, р,~р,— е и является достаточно гладкой, у — число в а«),(и, т) нулей бе11 вдоль полуинтервала 0 с.т(1. д«е/ В двумерном случае, например, при наших условиях ранг мат1а0 ( ° 11 рицы не может быть меньше 1. Поэтому любая фокальд«ег ная точка выражается с помощью одномерного интеграла. Например, если проекция многообразия особенностей на плоскость (каустика) имеет вид неособой главной кривой, х=*х' †проекц центра карты, то оси х« и х, направлены соответственно по касательной и нормали к кривой в точке х'.

Интеграл в этом случае можно упростить: разлагая подынтегральное выражение по степеням е, мы придем к сумме функции Эйри и ее производной. 120 8 4. Система уравнений теории упругости Рассмотрим систему уравнений теории упругости: (Л + 1«) йга«1 йч и + 1««Лй+ ига«1 (Л «11ч и) + 2В йга«1 )« = р —, и(и, и„и,), где Л=Л(х))0, 1«=р(х))0, х=(х„х„х.) (коэффициенты Лама); р=р(х) (плотность среды) — заданные функции х, принадлежащие С", ~=[ п1= —, —,„+ — „' — тензор деформации.

Характеристический многочлен имеет четыре действительных корня. Им соответствуют следующие характеристические уравненяя [30, 48): дла — =( — 1) ~/ — "~йга«1 5, ~, о=1, 2, а1 р ала — '=( — 1) ~/ ~ ~йгаб5г), о=1, 2. д1 р Зтн уравнения в свою очередь определяют системы уравнений би- характеристик: а а — =( — 1) аВ(хг) — „, о=1, 2, р=1, 2, 1=1, 2,3, дхв а а рв ~рв1 а — в =( — 1)ам йгаб ав(хв)! Рв ~, д« = а а а а а а а а хв=(хв«хвм хв«).

Рв=(Рв Рв«рв«) )/ ~ при р=1, ав(х) = — при р=2. Пусть Гва — некоторое трехмерное лагранжево многообразие в шестимерном фазовом пространстве: Гв (хв(«е). Рв). Положим в выписанной системе Гамильтона хав(0)=хв(а) Рв(0)=Рв(с«) 121 и обозначим, как обычно, хв(г) =хе (г, а), рд~(1) = Рз(г, а), Газо=(хвв(1, сс), Ра(1 а)) образ лагранжева многообразия Г~в при свиге вдоль решений си. стемы Гамильтона, отвечающей функции эв. Т е о р е м а 3.5.

Существуют решения йо (а=1, 2) уравнения упругости, имеющие следующий вид: Р, (сс, 1), (о (Х (' 0) л.ги,я гдв оро, (а)~С" (а=1, 2) — двв произвольныв финитныв функции на Г со значениями в Н, а о'= — — 1и11~ о — А ) (ны — т.ооо~ о о=о о(а',ооо 1 Пусть и'(сх, 1) и т'(а, Г) — единичные векторы в трехмерном пространстве, ортогональные между собой и ортогональные вектору Яо (а, 1). Существуют решения уравнения упругости, имеющие следующий вид: тоо,~~ ио = — Кл,г",и сРо (а) ' х [! р[Х (а, 01 ~"(,о-)('" ' ", ~.,о~ ооо о- (. > ~[('" ' ".

° ~.,о)оо~. о где о о = — — 1 о![,В) — А ) (ню — т оооо,), о о о о[соо,ас) а ор~~С" (а=1, 2) — любые фннитные бесконечно дифференцируемые функции со значениями в Н. д Обычно оператор А =1 —, а ор(а) — некоторая «разрывная» дт функция т (например, т+, б(т), 5(т) и т. д.), умноженная на финитную бесконечно дифференцнруемую функцию а со значениями на 122 прямой.

Линейная комбинация решений ис в силу произвольности оо функции сро (о=1, 2, в=1, 2) может удовлетворить произвольным начальным условиям вида й(х, О) = Кл'.г„л,оро (а), — (х, 0) = Кл',гг,.в,ор, (а). 2 5. Стационарный случай Пусть выполнено условие (3.3). Если мы положим А = о —, то . а М можно будет записать волновое уравнение в виде с* (х) Ьср — Аоор = О. (5.1) Это также волновое уравнение по нашей классификации.

Если положить А=во, то мы придем к уравнению Гельмгольца. Переход от д [ — к оператору умножения на св совершается с помощью преобд( разования Фурье. Поскольку в физике постановка задачи для уравнения Гельмгольца восходит всегда к постановке задачи Коши для волнового уравнения, естественно говорить о решении уравнения Гельмгольца, нндуцированном решением данной задачи Коши для волнового уравнения. Аналогичная ситуация имеет место для стационарного и нестационарного уравнений Шредингера. Таким образом, формально можно определить решение ор(х, св) уравнения (5.1) при А=св, индуцированное задачей (1.1), (1.2) гл. 1, как преобразование Фурье по 1 (0(1«оо) от решения и(х, 2) задачи (1.1), (1.2) гл.

1 как от обобщенной функции 1, принадлежащей некоторому пространству обобщенных функций К. Пространство К при этом определяется поведением функции и(х, 1) при г- со. Тогда асимптотическое разложение и(х, г) по степеням 1с, перейдет в асимптотическое разложение решения ор(х, св) как обобщенной функции оо пространства А' (по степеням 1/св). Не уточняя пространство К н пространства основных функций, мы можем сформулировать очевидное следствие из (2.6): о[о(х, со) =с(х) К„'.г о( ) +Ф(х, св), с[к (а)1 где Ф(х, св) такова, что ооФ(х, св) принадлежит данному пространству обобщенных функций тТ. В точках, не являющихся фокальными, мы можем использовать формулу (3.4).

Однако при 1- оо число й' может, вообще говоря, стремиться к со. Поэтому для улучшения сходнмости ряда добавим 1 М под знак суммы член(1 — ~.От этого первый член асимптоти- 1 [- Ао ~ ки не изменяется. Тогда преобразование Фурье по 8 первого члена 123 для функции Грина в нефокальных точках будет иметь вид [) '»е » . е» »*» —— ь гать (5.2) »»$ '~,' '' )) ),»е» ',»»»(»е —,) ею 0 (х, $) = с (х) 'Я ь=е Асимптотика здесь ищется по двум параметрам одновременно: Ь вЂ” »-О, Ь вЂ” »-оо, (5.4) причем так, что ЬЬ вЂ” »-сопз(. В случае, когда п(х) растет как полином, такая асимптотнка совпадает с аснмптотикой по одному параметру: Ь вЂ” »-оо. 124 где Я(а, е) — решение системы дс е(щ () =Ри Рг=— 1=1, ...,и, Р(а, О) =а, Я(а, 0) =$, )а)*=с'Я), а а"=а'(х, $), ("=(»(х, $) находятся из уравнения Х(а~~, 5, 1») х.

По-видимому, эта аснмптотика справедлива и в случае, когда с-*(х) =Š— о(х), и мы имеем стационарное уравнение Шредингера (уравнение смешанного типа). На примерах можно показать, что полюса функции (5.2) (т. е. точки Е= Е„', в которых ряд (5.2) рао ходится) и вычеты в этих точках определяют (приближенно) не только собственные значения и собственные функции уравнения Шредингера, как это следовало бы ожидать, но и так называемые квазистационарные уровни н резонансные точки (ср. [241). Эта формула может быть получена другим методом, который дает более точную оценку. Кроме того» можно написать также и аснмптотику функции Грина в фокальных точках.

В настоящей ра- боте мы, однако, не будем этого делать, поскольку это требует до- полнительных конструкций. Формула (5.2), точнее ее аналог для граничной задачи первого рода, является обобщением известного метода «отражений», при- меняемого при построении функций Грина для прямоугольника. Задача о коротковолновом аснмптотическом разложении реше- ния уравнения (5.1), когда с '(х) =Š— о (х), эквивалентна задаче о квазиклассической асимптотике решения задачи на собственные функции оператора Шредингера Ь* — — Аер + о (х) ер = )»ьер, х = (х„..., х„), (5.3) ~ р й.=1.

Характеристики

Список файлов книги