Маслов - Асимптотические методы и теория возмущений - 1988 (947393), страница 4
Текст из файла (страница 4)
— Л! у)«1 1 1 11'+ 1 [[Х.— Чар ") См. зэмечаине. (3.6) 1т Замечание. Пусть Н вЂ” числовая прямая, В(х) и(х)-ьО при !х!-«.ее. Тогда а=а', и мы получим из (3.3) вша сопз1. На самом деле в этом случае ф(х) — е-"' . Таким образом, в этом примере значение константы в достигается. Для доказательства теоремы нам понадобится следующая лемма. Л е м м а 1.1.
Пусть д(х) енР(Е),, причем д(х) =О, Еу(х) 0 нри х~$. Тогда для любого е>0 найдется $„не зависящее от у и такое, что при $)$, (й — )*1У(х) ['~Ф вЂ” Ча(х)1= (3.6) Доказательство. Пусть Х вЂ” р-кратное собственное значение, ф[ (1 1, ..., р) — его собственные функции, а ф«„— остальные собственные функции оператора 1.. Докажем неравенство Пусть 1= (с.— Х)у и пусть Р» — резольвента оператора Х в точке Х (на подпространстве, ортогональном ф» (1=1, 2, ..., р)); имеем Р 18Р— У (8, ф,')'=~а — „'), "(8' 'К)ф'~ =Р 41= сс сс х ~~л ..+~.(~ — (~.о сР»е) с ~ ( Р»»1~е-е т, ', ~-~ь(с — Е (в,оь)~~ (фр,е.
7)' р» ).е е (ХЕ») В ХМ~К-е (ф»,. й* 1 л — ', ~- —,(и — Х и .о'). , » (Х вЂ” Х„)* (а — Е)е ~ 1»,„1©„ Отсюда следует (3.6). По условию имеем (а. ф»)*~ ~М1* (х * 1а1', 1 Ф вЂ” Ч8; Ф,)'~~~ф»5 ( .)(Х вЂ” ЦуР. 1 Отсюда и из (3.6) следует неравенство е О 18 (х)Рк18Р Я ~1 ф»~ с(х+ с сй +11 — чс1' „~, )1вс '*(,„',, — „„,1~- 1»„-»)аз-а 1 +,„,, 1(~ — х)кР Отсюда при $)$, получаем П8(х)Г~О»(е)ЦЮ( +03(е)ИŠ— ЛЛа Р + 1 ИГА — Чар. Следовательно, (сс — е) (1 — 0»(е))$9(х)$е~(Ое(е) +1)11(», Ъ)у~е. или (с1 — Ос (е))е1 8( с) 1е ~ ~(С вЂ” Х) фе.
Обозначив 0,(е) снова через е, получим утверждение леммы. Доказательство теоремы 1.1. Пусть ф(х) — дважды диффереицируемая скалярная функция, обращающаяся в нуль при х(ф. 18 Имеем 117 — Цф(х)ф(х)1®=1ф"ф+ 2ф'ф'1е=1ф ф)е+ + 4 (ф ф. ф'ф') + 4 1ф'ф'1'. (3-7) Очевидны тождества 2(ф ф* ф'ф') =.— ((ф"фТМЧ).
(3.8) — 1ф'ф'1е — 2(ф'ф"ф, ф')= а1ф'ф1е. Из (3,5), (3.8), (3.8') и (3.7) следует неравенство (с1 е)»$срф1е» 1ф"ф1е+ 2(1ф"ф']ф, ф) — 4а1ф'ф1е. Пусть теперь (3.9) )'х — 9, х)$, 0 х с.$. По индукции из неравенства (3.9) следует, что функция Фф=ссф"ф~е =~ (х — ~ ~фас(х е существует при любом а. При достаточно большом а)а„неравенство (3.9) принимает вид 16с(' (1 — е,) Ф (5Ф аю — 16аФ". Отсюда следует, что Ф (9) удовлетворяет неравенству БФ "ю — 16аФ" — 1бсР(1 — е,) ФЭвО. (3.10) Корни характеристического многочлена, соответствующего оператору, имеют вид за — 1с 64а~+ 80ссс (1 — с~) 5 ре — ~ — '.4оР (1 — ее).
5 Обозначим Р($) =Ф" — ф'Ф=Ф"+~ 6~'Ф. Тогда из (3.10) следует неравенство (Г- — 7*Г) ~О. (3.11) Умножим обе части неравенства на Р' и проинтегрируем с учетом равенств Р(оо) = Г'(оо) =0; получим (Р'(Ь))*Э:7 (Га))*. 19 О=((фтф, (Х вЂ” Чф) = — ((ф'РЧ» ф")+ ((( — Х)1фф'. ф'ф) =2(фф"ф, ф)+1фф'1е+(( — Цфф, фф).
Из (3.8) в силу условия (3.1) при достаточно большом $ следует неравенство (3.8') т. е (3.12) (3.13) получаем Отсюда в силу г"'($) <О имеем г (5) се-тг, Ф "+ ~ 5 ~ 'Ф «се-", и, значит, в силу неравенств Ф" (5) ) О, Ф ($) )О имеем Ф Ц) «с,е-тг Отсюда в силу неравенства ~1ф1й с(х«ФЯ вЂ” 1) а «О ~1ф1гнйх «с (з) е-~ =сг(е) е-'"тг-гтз, Отсюда в силу (3.13) ( 1 ф~гв йх «с (зг) е-г(4-сот Нетрудно Убедиться на примере обыкновенного диффер ль :ного оператора, что эта оценка достигается при з,=О.
Итак, доказана Теор е м а 1.2. Для собственных функций оператора Е справедлива теорема 1.1, причем зт=й и является точной константой. 5 5. Основная оценка для собственных функций Рассмотрим самосопряженный оператор ~=А(т)) — +В(тих), 1А(т))1«1, н теорема доказана. $4. Оператор первого порядка Изложенный метод может быть применен также для оценки собственных функций самосопряженных операторов первого порядка по х вида ь = А — + В (х), х~К, лз где !!А!1«1, В(х) коммутнрует с х; в частности, для собственных функций стационарного уравнения Дирака '). Пусть Л вЂ” собственное значение, ф — соответствующая собствен- ная функция оператора Е, ф~Сг и равна нулю прн х<$; тогда !' А — + В (х) — Л| фф (х) = Атр'тр, оя т. е.
)Š— Л1фф(х) Аф'ф. В силу леммы 1.1 для достаточно большо- го $)$; (й — з)'ЬртрГ«1!Аф'фГ«!!ф'фГ. Аналогично предыдущему, полагая (х — з)", х) $, О, х<$, и Ф(5) =арф!Р при достаточно большом и'= п.„получаем Ф" г )4(й — е,)'Ф. Аналогично (3.12) имеем Ф ($) «сге 'т'"св1. «) Если в уравнении Дирака (3, 47) козффлпкепты пе зависят от Г, то с помошыо замспы ф е'г'ф мы прядем к стапкопарпому уравнению Дярака для фуакппп ф. ло коэффициенты которого зависят от некоторого параметра т1. Напомним, что если уяЬг(Н) обращается в нуль и гу=О при х«$, то в силу леммы 2.1 для заданного з)0 существует такое 5„не зависящее от д, что при $=~$, выполняется неравенство (й — е)з1у1з « ~ (ь' — Л) д 1з.
(5.1) Фиксируем 5. для данного оператора ь. Положим хт = ($,) т, где () 1 — любое число. Совершим перенос начала координат в точку х«т. Рассмотрим в новой системе координат у х — хч функцию ф (у 5) — ~(У Л" Р ~~Уз. О, уг) 5г. Пусть $ «хт — $«; тогда нз х $, следует х«х," — $, т. е. (х — х~)г)5г; значит, у')5*. Следовательно, ф(у, х)=0 при х<$,. Оператор А = А (т1) — + В (т), х) ол в новой системе координат будет иметь вид ~=А(т)) — + В(т1, у+,). Пусть и(у) ~Н при условии ~у~ «хт — $« удовлетворяет уравнению А(т1) — + В(т1, у+ хт') и=Ли. Очевидно, что неравенство (5.1) выполняется для функции у ф(у,$)и(у), поскольку прн х<5, имеем у О и Ьд=О.
Таким 21 образом, Обозначим (й — е)' Ц дри Ца ~(Ц 1~„'и Ц'. Ф Щ = Ц (ри Ца = ~ (еа — уа)) Ц и (у) Цй йу. Нетрудно убедиться, что Положив 1/и 0(е), получим Л вЂ” 1/ (й — 0,(е))'Ф ( — Ф" — "— 'Ф'( — 'Ф, 4 $ 4 поскольку Ф')О и $~0. Отсюда, обозначив 0,(е) снова через е, имеем Ф'Ф" ~4(й — е)'ФФ', — (Ф') ) 4 (й — е)а,— Фа. Ж2 Проинтегрировав от О до ф, получим Ф')~2(й — е) Ф, или — 1п Ф Эа 2 (й — е). а$ Проинтегрировав это неравенство от а 1 до ф, получим 1п — ) 2 (й — е) ($ — а), Ф Я) Ф (а) Ф($) >в*"-'><' Ю(а). т.
е Поскольку 1' Ци(у)Ца йу(~ (уа — а*))Ци(у)1ан йу, а+1 -а $ 3 ) (у' — Еа)~Ци(у)Цанйу~$~~ Ци(у)Цанйу, -е -е то при $(хат — $, имеем поскольку ф-1"~с(Ь, е) в-""-"'. 22 ~ Ци(у)Цнайу)$ ~Ф(е)) Га"еУ~Ф-~><г- аФ(а)а ~с(а, е)еа(г.лапь-ы ~ Ци(у)~$ йу, Ь=а — 1, Переходя к координатам х и обозначая 2е снова через е, получаем кт+ь а кто а Ци(х)Цййх(са(Ь, е)г аьа-а)г ~ Ци(х)Ц$~йх. кт-ь кт-ф а а Положим ф- хт — ь., тогда ктаь акт ф ~ ЦиЦййх (с (Ь, е)в ' ~ ~ Ци(х)~н йх~( кт-ь га ° ат (с,(Ь, е)е ~ а ~ Ци(х)Цййх. (5.2) аа 1(онстанта с,(Ь, е) = сд(Ь, е) в'к'а ие зависит от т.
Таким образом, неравенство (5.2) выполняется при любом 7-к 1. Полагая 1и (ч/2) 1и ка мы приходим к следующему утверждению. Л е м м а 1.2. Пусть а) — некоторый параметр, а)>О и пусть и(х) енН при х(т) удовлетворяет уравнению А(а)) — + В(т), х)и =Хи, ЦА (а))Цн (1. Тогда для любого а>О и е > О найдется таков С(а, е), что им+а п ЦиЦЦайХ(С(а, Е)Е-4~1-ааИГ)ЦиЦййХ. ($.3) и/и-а а (Заметим, что и(х), нообще говоря, может и не принадлежать 1.1(Н).) ф 6.
Две леммы абстрактной теории возмущений Докажем теперь две нужные для дальнейшего леммы (см. (71). Л е м м а 1.3. Пусть А — самосопряясвнньдй оператор в гильбертовом пространстве Н. Пусть )д — некоторая точка на вещественной прямой, й — расстояние от )д до спектра оператора А. Тогда для любого деяР (А) справедливо неравенство й))йП(Ц (А — )д)д)). (6.1) Доказательство. Если )д принадлежит спектру оператора А, то й=О и неравенство (6.1) очевидно.
Пусть )д не принадлежит 23 спектру оператора А. Тогда неравенство (6.1) следует непосредственно из известного неравенства !()(А — )с) -'(!»1/Н (см. [39)). Действительно, обозначив / (А — )с)д, получаем !!И !!(А — )с) 'Н» [(А — )с) '[В» — „М» — [(А — )сМ. Л е м м а 1А. Пусть Х,— некоторая изолированная точка спектра сомосопрязсенного оператора А, ̄— оставшийся спектр (т.
е. ̄— мносссества, равное спектру а, из которого выброшено однв точка Х Х,) и пусть дь — расстояние от точки )а до множество М„„ Пусть Рь — проекционный оператор на надпространство собственных функций, соответствующих точке Х,. Тогда для уй.0(А) справедливо неравенство А,(! (1 — Р„) у(!» (! (А — )с) у(!. (6.2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Ортогональное дополнение к надпространству собственных функций, соответствующих Ха, инвариантно относительно оператора А. Поэтому неравенство (6.2), записанное для этого ортогонального дополнения, будет иметь внд !НА — р)- (1 — Р,.Ц!!» — '1(1 — Р,,)/!!, тН. еа.
Поэтому, положив /=(А — )с)п, получим (поскольку Р,„коммутирует с А) [(1 — Р ) ~[=!!(1 — Р ) (А — р) '/!! [(А — ) '(1 — Рсч) /[» ( ' /(1 Р,/сА «)а, 1 =.а ~ '6, А. В с. Теория возмущений оператора первого порядка Лемм а 1.6. Пусть и — решение уравнения [Х, — Х! и = А (т!() — + В (т), х) и -1- о (т), х) и — Хи = О, где операторы В(т), х), о(т), х) коммутируют с х, ((А(т)) (!»1, удовлетворчющее условию ~1ирсс(х»се'а, где с=с(е) не зависит от т) а при любом е>0, и пусть о(т),х) =0 при !х[' т), с( — расстояние от точки Х до предельного спектра оператора 1.,: У4 А(т)) ф +В(оих) с(с. Тогда тт/аси ц ~.
!и!ус»с(а,е)е «'-а)ч, а)0; ч/а 2) найдется такое собственное значение )с оператора Ь, что с (а) е г('"а)ч а) [р — Х!» (!а) ч/а р Гч/а 6) ! и — '~~ „~' (и, фси)н<х [тР'„~ с(х» — '' е-е(ааа)ч с с Ь с где с(а — расстояние ат точки )с до остального спектра Е., тРи (с' 1, ..., р) — ортонормировонный базис собственного надпространства оператора /., отвечающего тачке М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
