Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 61
Текст из файла (страница 61)
9.3-2, с) или отыскивать решения по методу Фробениуса (см. также п. 9.3-8, а). Показатели рэ связаны с собственньв]и значениями )эе матрицы преобра- зования (аи,) п. 9.3-5,6 для одного обхода правильной особой точки г, соот2лв 1 ношением )(е = е (Ъ) Правильные особые точки на бесконечности (см. также пп. 7.2-1 и 7.6-3), г=оп называется правильной особой точкой уравне- ния (15), если преобразование 2= и (г)=и (= !=и (г), г (г/ ув — Лв — - = — 2Э лг лг' (9.3-!9) — 4 в ( 2гз Лг' (ге лй приводит к дифференциальному уравнению с правильной особой точкой г= =О.
В этом случае решение преобразованного уравнения можно получить, как поназано вьипе. (е] Обобщен не. Еелн г=г, не яеляетсн правильной особой точкой, причем фуннцнн ра (г] имеют полюсы е *=-гп то зсе же ноэнно нснзть решение в виде, енелогнчном (17], заменяя степенной рлд рнлон Лорана (и. 7.5-3] по положительным н отрицательным степеням (г — г,]. 9.3-7, Метовы ннтегральных преобразоэаннй. Если з линейном днфференцнзльном урзененнн (!] коэффициентами служат многээленн оа(г]=~ олег, то его ннтегрн.
л й резание прн еачзльпыз условиях в (0]=в(д чзетоупрошзетен прнмененнем преоб- ~Л з рззоез и е Лапласа, нзн е и. 9.4-5. Применен формулу л» й — 1 "]' '! =( '] а~ аЖ! (гн з1 — ~~ ~за 7 ' '7'(О+О], л ~л ел лз 7 О (9,3-20] 1 м (»1 дх, ш=Ае (9.3-29) ! 278 ГЛ. З. 0БЫКНОБЕННЫЕ днффе ЕНННАЛЬНЫЕ у АВНЕ)рпя ВЛ-6» ме1кко получить новое», может быть, более простое лиффвреиццвль»ав урввцв»»в Лл» цвобрвжецц» Я'(ш (л); в! решения. Балле об ие к»тегрхльцые преобрвхвхвц»я (табл, 6.6-0 могут быть яакоб»ь:м обрхзьм приме»вин в рввлн цых специаль»их случаях (см.
также п, !6.6-1 г . 1]. Ш 9.3-8. Линейные уравнения второго порядка (см, также пп, 15А-Э,с и 15.5-4). (а) Результаты обшей теории применимы, в частности, к линейным уравнениям второго порядка. Главный интерес представляет здесь однородное уравнение Щш дш [.ш== —,+а,(г) д +а,(г)ш=О. дх* Уравнение (21) равносильно уравнению ,— „~р (г) — ",~ + 4 (г) ш = О, р(г)=ехр) а, (г) дг, 4(г)=аа(г) р(г).
Если известно одно решение <а,(г) уравнения (21) нли (22), то общее реше- ние есть ш(г) =и, (г) ~С +С ~ (9.3-23) 1 (Ь) Разложение решения в ряд (см. также пп. 935, 936, 9.3-9 н 9.3-10). В важном частном случае уравнения второго порядка, пред. ставимого в виде (г г,)Х д*м ] (г г,)р,(г) дш.) р,(г)Ш=О, (9.324) где р, (г) и р, (г) аналптнчны в г=г„определяющее уравнение (18) сводится к рх+ )] [р, (г,) — 1]+ ра (г,) =О. (9Ш625) Вто уравнение имеет два корня. Корень р=р, с большей действительной час!ью приводит к решению вида ш=ш1 (г) == (г — 21) ~ ~'1 аа (г — г)) (9.3-26) ь =о Второй корень р., приводит к линейно независимому от ш,(г) решению подоб- ного вида, если р, не совпадает с р, или не отличается от него на цего" число.
В противном случае линейно независимое от ы,(г) решение можст быть записано в виде ш = А ю, (г) )п (г — г,) + (г — г,)и' ~ Ьь (г — г,)а. (9.3-27) а=о Подставляя каждое из решений (26) или (27) в данное дифференциальное уравнение (24), получаем рекуррентные соотношения для коэффициентов. (с) Преобр азова иве переменных. Следующие преобразования могут иногда упростить данное дифференциальное уравнение (21) или прив~сти его к дифференциальному уравнению с известным решением.
1, Подстановка ш=юехр ~(р (г) дг дает в,. + [а, (г) + 2(р (г)] — ш+ [а, (г) + а, (г) 91 (г) + ф' (г) + <рз (г) ] Ш = О. (9.3-28) Надо попробовать вь.брать ф(г) так, чтобы получить более простое новое днффсренциальное уравнение; в частности, еыбор ф(г)мя Вз. ЛННЕННЫЕ дЙФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ урлянення 273 дю = — — „а, (г) исключает коэффициент при — -. Полходящая подстановка г= — г(г) также может дать некоторое упрощешю лнфферевциального уравнения.
2. Полстанониа преобразует уравнение (21) в дифференциальное уравнение первого порядка типа Рнккатн (п. 9.2-4, с), () ущестхьввцце рвшеццк ц его нули прц дейстццтельд Е е о и в р г у м е н т е. пусть к — дейст»»гель»ее пвремеццве. Од»вред»вг л»нвбнвв ди»)дюренчиилвхвв гр»внвнвв д'ш дш 1.м †, -1- а, <х) — .<- а, (х] ш = о (6.3-36) Р шв""в =м (х) в каждом интервале (а, Ь), вдв а (х) и а, (х) д д ц Л.'л люб Р ш'и"в вднвхнв»нв вцрвдввлвтв» ни»альт»ми,ни и„ц„ми ш ( люблю жв»гнил х л <в 61 ( ,в» в, вб чнтерввл <и ь) в »вцврв» м (х) Шо»рви дврх ли» инв нвхввисцммх рвшл»»д »вл)м жвюгцсл в <а, Ь! 9.3-9.
Гнпергеометрическое дифференциальное уравнение Гаусса н Р-уравнение Римана (см. также пп. 9.3-5 и 9.3-6). (а)К- Гипергеометрическое дифференциальное уравнение г (1 — г) — —,+ [с — (а+ Ь+!) г] — — — аЬШ =0 (9.3-31) имеет правильные особые точки г=со (с показателями 9=а, и=Ь), г=) (с показателями и=О, р.=с — а — Ь) и г=О (с показателямн 9=0, р.=! — с) и ие имеет других особых точек, Решения уравнения (31) содержат в качестве частных случаев многие элементарные функции н специальные функции, р!осмотренные в гл.
21. Разложение в рял вблизи г=г,=О дает гинергеометряческую функцию нида (17) при 9=0 и р=! — с с (а + и ф а' (ь -> и — ' ю ай+1= <в+ П Ф Ю (1,- м+ ь] "' Прн 11=0 получаем специальную Ш1пергеометрическу!о функцию — гинвргсол(етри 1еский ряд ш=-р(а, Ь; с; г)=!+ — г+ — (и+ ] ' г'+... (9.3-32) г 21 с(в+ П (с не голжно равняться нулю нлн левому отрица)ельнол(у числу). Этот ряд сходится абсолютно н равномерно пря (г,(1; сходнмость распространяется и на единичную окружность, если Кс(а+Ь вЂ” с) (О'), Рял (9.3-32) сволотся к геометрической прогрессии при а=1, Ь=с н к много»ленам Якши (и.
21,7-8),если а равно целому отрицательному числу. Ясно, что р(а, Ь; с; г) = = Р (Ь, а) с; 2). Второе (л»»вйцо цехваис»мвв) решение уравнения (31) может бмть получено сцвсазом, ухе»в»»им а ц. 3.3-3,Ь; а чхстхостц, гццергвомвтр»ческая Фуц»ццк втврвгв рода ф (в, Ь; в: х1 Р (а — с + 1) Г (Ь вЂ” с -1- Н Р (в !] 1-в — г в Р (а — с+ 1, Ь вЂ” в+ 1: 2 — в; х) (9.3-33] хвлхегсх решением урввцец»х, если с отлично вг целого числа.
Р" Пв (и -1- Ь вЂ” в) (! Р»Л у»лов»ц сходится ач есвх точкхх вд»цц о»ружчестц, кроме точки х 1, зв. ЛИНВННЫВ ЛНФФРРВНЦИДЛЬНЫР. УРДВНРНИЯ ГЛ 9. ОЬЫКНОВВННЫВ ДИФФВРВНЦИЬЛЬНЫЕ УРДВНВНИЯ 228[ Отметим следующие соотношении ( ) г ) (1); Р(аЬ; с; г> 1 Г (С) ~ а-1 (1 С-а-1 в [) Ь б[ [пе с'ь Пе д) О), (9.3 34) Г (и) Г (а — а) О ДФ аЬ вЂ” ="!'Р(а+1, Ьфн «4-1: Ы; — „-= — Ф(а+1: Ь+П с+П ) ( ; г, О.З-ЗЗ> Г (с) Г (с — а — Ь> [Не (д + Ь с) ( Ы (9.3-36) Г (а, Ь! с; 1> Г (с д> Г (с Ь> Р (а, Ь; с; г> (1 — г>с Г (с — а, с — Ь; с; г).
Приведем некоторые лниейиме преобравоваиия Р (,;; ) а, Ь; с; «) (полный перечень таких преобравоваиий приведен В [23,3)): — г ЬР Ь с — а с' г Р(а, и с; г> (1 — г> Р(а, с — Ь; с; — )=(1 — г) Р(Ь, с — а: с' !) (9 3-37> Р а, Ь; с; г) в полуплоскость Формулы (37) повеоляют аналитически продолжить (а, 1 — ' — [(1, т. е.
Пег (172, г — 1 Г(>Г(' — >,, Ь 4 Ь +, Г(с — а Г( — Ы +Ь ) Г(с-а — Ь -а — Ь4. ! 1 — г> (О.З.ЗЗ) + ( Г(а) Г(Ы [>агй(1 — г))(п; а-).Ь вЂ” сЫО, 4 1,:1 2, ). м ы 33; гипе геомет нческую фуикиию можно продолжить [1 2[ е также выявить характер ее ооон нруг (« — 1,'(1 с раеревом по отреэку [,, а т бениост» в точке г= !. Г(ЫГ(Ь вЂ” > ( >- Р( .
! — с+а; ! — Ь+а: — 7!+ Р (а, Ь: с; г) = Г (Ь Г (с д) — * «,) Г(с>Г(а — Ь> -ЬГ(ь 1 с ) Ь. ! д+Ь. (93.39> 13 +Г(а> à — Ы [(егя( — г))(п; а — Ьт-о, ! 1, 4 2 Формуле (39) по«валяет продолжить Р(а, Ь; с; «) во внешность единичной окртж.
ности г) 1 с разрезом по лучу [1, со), В табл. 9.3-2 приведенм дополнительные формулы. ся частным случаем (Ы Р-у р а в н е и и е Р и ы а и а. Уравнение (31) является час иы Р-уравнения Римана а м 71 — и-а' ! — р — В' ) — у — у'') а + аи' (», — гг) (гг — г„) (38' Р, — гт) (», — гн + УУ (гг — ) (гг — «.) ) " О, (ОЛ.(О1 + г — г, ) (г — г,> (г — гв (г — г,) которое имеет три регличьые правильные особ т бые очки: г =«, (с покавателями и, а'), х = «, (с покагателЯмн Р, Ь') н г = гг (с покавателЯмн У, У'П здесь и ->- а' .,- )3 -). р' -)- у )- у' = 1, Решение уравнения (4О) обоэиечнется так ( г, г, гг ю(г> — Р а В у г а' р' у' Одним ие решений служит функции — — а (г — г!) га — г г — «~~о(г — «г)ТР(а- )3-)-у, а- Г->-; 1- и — ав ,« — г«7 ~« — «,7 Это ешеиие своДитсЯ к (32) пРн ге=о, г,=со, «,=1 Р и = О.
В = а, у = О: а' = ) — с, ()' Ь, Таблица 932 Дополнительные формулы для гипергеометрнчеекнд функций 1. формулы приведения Гаусса. с Р (и, Ь вЂ” 1; Ы г> — с Р (а — 1, Ь; с; г) ). (а — Ь г Г (о, Ь; с + 1; «> = О с (а — Ь) Г (а, Ь; с; г> — а (с — Ь> Р (а .)- 1, Ь; с -). 1; г) + + Ь (с — а> Г (а, Ь -!- 1; с -!- ); «> .= О с (с .). 1> [Г (и, ь! с; г) — Г (а, ь; с -). 1; гн — аьг Р (а -)- 1, ь + и с Р (о, Ь; с; г> — (с — а> Р (а, Ь 4- 1: с + 1; г> — а (1 — г) Р (а + 1, Ь + Н с Р (а, Ь; с; г> .).
(ь — с> Р (а + 1, ь; с -). и г> — ь (! — г) Р (а -4- 1, Ь -)- н с(с — Ьг — а) Р (а, Ь; с; «) — с(с — а) Г (а — 1, Ь; с; г] .). -). аЬг (1 — г> Р (а + 1, Ь + 1; с (с — аг — Ь) Р (а, Ь; ы г> — с (с — Ы Г (а, Ь вЂ” и с; «> -). ->- аьг П вЂ” г> Р (а-)-1, Ь.) ср(д, Ь( о«) — ср(а, Ь 4;П с; г>+а«Р(а+1, Ь+1: с Р (а, Ь; с; г> — с Р (а + 1, Ь: и «) + Ьг Р (а + 1, Ь ). 1; с [а — (с — Ь] г) Р (а, Ь! с; г> — ас (1 — г) Р (а -).
1, Ь; с; г) -)- .(.(с — а)(с — Ы г Г (а, Ь; с+2, «> = — О с+1; г)=О с -). 1; г) = О с4- 1: «1 =О «+1; г, =О с -)- 1; г) = О с+1; г>=О с -I- П г) = О '[Ь вЂ” (с — а)г!Р(а, ь:с: г> — ьс(1 — г>Г(а, ь ) 1 с)г> -)- (с — а) (с — Ь> г Г (а, Ь; с -)- 1; г> = о си+1)[Г(а, Ь; и г> — Р(а, Ь-)-1; с.,'- П *Н >.
+ а (с — Ь> г Р (а сг 1, Ь 4. Н с -)- 2; г> == О с (с -)- 1) [Р (а, ь; с; г) — Р (а .(- 1, ь! с -)- 1! г)) -)- -)- Ь (с — и) г Г (а + 1, Ь + 1; с -)- 2: г> =- О сГ(Ц Ь; с; г> — (с — ЫГ(а. Ь, с+1; г> — ЬР(а, о+ П с+ П г)=О ср (а, Ь. с: г) — (с — а> Г (а, Ь; с+ 1; ю — а Г (а+ 1, Ь; г+ 1; г> = — О 2. Разные формулы. ()фг> Р(а, а+ —,— Ь; 34 —; г ! Р>а, Ь; 2Ь; 2 ' 2 7 [ ' (1+«)сг (1 ->- г! Р (2а, 2а ->- 1 — с; с; Ы = Р ! а, а + —,—; с; га 1 4« 2 ' ' (1 + «)' ' Р! а, Ь; а + Ь -,'- - Ч ЫП' О ) = Р ( 2а, 23; а + Ь ->- и; 4>П' — >, 1и (1 .)- х> = х Р (), 71 1 3 ггсгв4«=«Р~ ! . х) >2' 2' 2' (-' — 1: —; — х'3, 2' ' 2' 3. Выражение некоторых элементарных функций через гипергеометричеекне (си, также таблицу 21.7.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
