Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 65
Текст из файла (страница 65)
13.6-7). В частности, для системы (3) характеристическое уравнение есть ,'др дй' с'др дч др дй 1 (9.5-10) 1, ду дусе (ду ду ду дусо где все частные производные берутся в точке покоя (уе, уо). Дли УРавнениЯ втоРого поРЯДка У = — 1 (У, У) и точки покоЯ (Уе, Уз) (зца- 1 (уо уо)=0) характеристическое уравнение можно записать, не переходя к системе (3): С д) л сд) 1 зз — ! -с) 3 — ' — 1 =О. (ду со (аи )о Точка покоя системы (3) есть (см. рис, 9,5-2) — услюйчивьсй или неустойчивый узел, если оба корня з, и з, уравнения (10) действительны н соответственно отрицательны нли положительны, -седло, если зс н з действительны и имеют разные знаки, хс(1) =х;з. Зто значит, что малов изменение начальных Условий пс может вызвать больших изменений риигнич.
Устойчивш решение у; (1) пазыпатся аснмптотнческн устойчивым, если можно указать такое число г, что нз неравенств )хсе — ую ! < г будут следа. вать соотношения 1пп (х;(1) — у;(1);=0 (1=1, 2..., и). Асимптотис!секи устойчивое решение называется аснмптотически устойчивым в целом (впошю устойчивым), если с= — сщ т. е. если при любых нзчальных условиях хы решг!Ые х;(1) ус(1) прн 1 со.
В частности, зсе ргшгнил устойчивой системы линсйиыт диффср тйиальнзж уравнений с постоянными козффис(с!ела!ам!с асимптотичсски устой твы в ислам (зсе корни характеристического уравнения такой системы имеют отр!щательные действительные части, см. п. 9.4-4). (Ь) Устойчивость положения равновесия автономной системы. Пусть су, ,, †)!(у,, у, „, уп) (с = 1, 2, ..., и) (9.5-7) ЧЧ НГЛННГПГ!ЫГ т РАВНГННЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 9.5-9. 996 гл. в. Опыкнонпннып днффпрпнннйльнып урлвнш)ня йж-з. — Уетой«иаЫй ияи Я!УС>лайЧиЗЫй ФОКУС, ССЛИ З, И Зэ КОЫПЛЕКСНО СОПРЯ. жены и имеют соответственно отрицательную илн положительную действитель- ную часть. Если корни уравнения (10) чисто мнимы, то для линеаризованной системы точка покоя является цгял!Рож. Выяснение характера точки покоя данной не- линейной системы требует, как уже отмечалось, дополнительного исследования.
(с) Устойчив ость пер и охи ч ес к н х р е шеи и й. Устойчивость периоди- ческого решения д = д (!] - О, д - д (!> системы (3) зависит от устойчивости такого Р же решения линеэрнэованной системы абд СР др — = — — бд + — — бд, а дд дд гбд 50 30 (9.5-Н> — = — бд+ — б„', Ш дд дд нагорай удовлетворяют малые вариации (п. Н.4-1> бд, бд периодического решения.
(Здесь все частные производные берутсн в точке (д (!), д (!)).) Зто — система линей. вых дифференцнальаых уоавиений с периоднческймн коэффициентами, имеющими гог же период Т, что н данное решение; уравнении (1!> допускают дав линейно независимых решении вида бд=з,г (!), Од=5|э ((Н ба=ей!'Ью (!), Од = а>г за П1, (9.5 12> где Ь.й (!) — периодические функции, а ы Т Х= — '$ ~ и ф-~)) ад (9.5-13) О " " д =„ (!>, „' = д (г> пгрисщжгскае Ргшгяне дстсйчяае лри к< О и и!детей!паа при х) О; случай ь= О тре- бует дополнительного исследованаа.
П р и м е р. Дифймренцнальное уравнение Ван дер Поли г'д дн —,+д — Р(1 — д*> — =о (и>о> дд гл (9.5-14) имеет устойчнвый предельный цикл в окрестности приближенно периодического решении д=д (О ю2 со«1; д =д 90 ю — 2а>п ! и Л = — и [1-(-О (ин (см, также п. 955) Р Р 9.5-5. Приближенный метод Крылова н Боголюбова.
(а) Первое приближение. Эквивалентная регулярнза- ц и я. Решение дифференциального уравнения вида дп +ыу+р((у, ф)=0, (о 5 15) где р †мал постоянная, так что последний член представляет малое нелинейное возмущение, ищут в виде у = г (7) соз (р (!). (9.5-16) Пренебрегая ошибкой порядка рз, находим «амплитуду» г (!) и «полную фазу» !Р(!) из дифференциальных уравнений первого порядка 2п уг и г г г! зло! ) — ((гааз)ь,— гшз>п Л) Ип ЛДЛ= '11(г) 2 ) (9.5-17) ф = о) -1- †,„", $ ! (г соз Л, — гш 9[п Л) соз Л с(Л = )г а, (7).
О При данном начальном значении г(0)=го решение дкаизалгмтяого линсйнага диффгргициалзнога уравнения г,",5+аз(го) — „"+аа(го) у=О (9,5.!8) зппрокснч!!Руст Решение данного дифференциального уран я (Рй) кой порядка рз. Для периодического решения типа предельного цнкчз (п. 9.5-3, Ь) приближенная амплитуда г! находится из а (г ) =О, а круговая 11 С!— частота приближенно равна ))газ(гс). Этот предельный цикл устойчив, если дп, де, ~ ) О, и иеустойчии, если — — ' >г, ~ О.
Для самовозбуждеиия из состояния покоя доли(но быть а, (0) (О. аа"о первое приближение представляет интерес в связи с нелинейными колебаниями. В таких случаях эквнвэлентпое линейное дифференциальное уравнение (1а) дает то же накопление н рассеяние энергии по циклу, 4то и данное аеланейное уравнение (15>. Поэтому эквивалентное линейное уравнение молгет применяться в исследованиях явления нелинейного резонанса.
(Ы У л у ч ш е н в ос п е р а ос п р и б л и же н н е. Улучшенное приближение аер ° ваго порядка дается формулоц д= !(!) соха(0+ —, — -1- гэи (ой (г) сов эф(!) 4-Рй !г) з(п йф П)) (, (9.5.19> где г(О н г (!) определяются из уравнений (17), а 2п ! (г сов Л, — гы а>п Л) сот ЬЬ гь (а=о, 2, 3,...), О 2а ! (г сов ь, — газ>ах> з>п вй СЛ (й = 2, 3, ...). о ! а (г> = 1 З п (Зэ — 1) (9.5.29) 1 Рз(> п(з — !) г еа!72 д - =- — ( 1 — — 1; г (!) (9.5-2!) 1 -1- — г „(е — 1) 4 При г = гь = 2 имеется устойчивый предельный цикл, Все коэффициенты (20) исчезают.
за исключением Ри улучшевное первое приближение есть д= ('>сел('-(-а.> — И'3,' '>па(! (-Ф,). (9.5-22) Приближение Крмлова — Боголюбова (!9> есть улучшение более простого метода Ван дер Поля, который строил приближения вида д а О) сотен-(-Ь (!) з)па!. Метод Крылова — Боголюбова может быть распространен на случай периодической внешней нагрузки в правой части диФференциального уравнения Нб) (нелинейнме вынужденные колебания, субгэрмоническнй резонанс>. 9.5-5. Интеграл живых сна.
Дийференцнальное уравнение аида (9.5-23) представлакнцсе заачнгельный интерес в динамике, может быть прнведеяо к уравневио иервого порядка умножением на гд)Ю н интегрированием; (.() -, д! ) = 2 ) ! 60 ад + сь ф с. 'Г'2)'!(У>да+ С, (9.5-24) (9.5-25) П р и и е р. В случае дифференциального уравнени» Ваа дер Поля (14> уравнении (17) дают ГЛ. В, ОЕЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕ1П1Я Е.Е-1, 9.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПФАФФА 9.6-1, Дифференциальные уравнения Пфаффа (см. также пп. 3,1-!6 к 17.2-2). Дифференциальное уравнение Пфаффа Р(х, у, г)ах+11(х, у, г)йу+)7(х, у, г)йг=О (9.6-1) с непрерывно дифферениируемыми коэффициентами Р, О, )7 может быть истолковайо геометрически как условие артогональности интегральных кривыл (" касательным вектором (йх, йу, йг)) заданному полю направлений (, (), )7). Чтобы найти интегральную кривую, лежащую на произвольной (регулярной) поверхности (9.6.2) 7(х, у, г) = О, надо решить обыкновенное дифференциальное уравнение, получа1ошееся прн исключении г м йг нз уравнения (1) и й»(х, у, г)=0 При этоы интегральные кривые будут описываться двумя уравнениями ! (х, у, г) =О, д(х, у, г, С) =О, где С вЂ” постоянная интегрирования.
9.6-2, Вполне интегрируемый случай (см. также п. 9.2-4). Дифференциальное уравнение Пфаффа (1) вполне ннтегрнруемо, если существует икшвврируюи!ий множитель )с= И (х, у, г) такой, что р(Р й«+Ойу+)7 йг) есть полный дифференциал й1р (х, у, г); это имеет место тогда и только тогда, когда (9.6-3) В этом случае каждая линия на нмтегральной поверхности ~р(х, у, г)=С, (9.6-4) ортогональной семейству кривых, описываемых системой в« ву и« Р 41 П (9. 6-6) является интегральной кривой. Отсюда следует, что решения, найденные методом п.
9.6-1 по подходящим образом выбранному семейству поверхностей (обычно плоскостей) 7(х, у, г)ен 7(х, у, г; Х)=0, (9.6-6) лежат на некоторой интегральной поверхности (4), получающейся путем исключения Х из решения»(х, у, г; )с) =О, й (х, у, г, С; Л) =О (мевюд Майера). Друго д той метод нахождения интегральной поверхности (4)! считая г лосшаяняым, находят решение обыкновенного дифференциального уравнен ия Р йхц- О ау=О в виде и (х, у, г) — К=О. Тогда интегральная поверхность опнсывается уравнением 1р(х, у, г) пни (х, у, г) — ф(г)=С, (9.6-7) где ф(г) — решение обыкновенного дифференциального уравнения, получающегося путем исключения х н у нз (9.6.8) Заметим, что общее значение отношения в (8) есть упомянутый интегрирую.
ший множитель )ь (х, у, г). 11рили«веичя в термодинамике. адивбитнческое условие бе=а имеет вий 111, иктегрирумжам мяожителем служит УТ, где Т вЂ” ибсв«ммяи«твмлвримури, бе/~ — 1иол. нма1 лйфференцнал ввтрвиии, ГЛАВА 10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.1. ВВЕДЕНИЕ И ОБЗОР 10.1.!. Вводные замечаигя. Пункты 10.2-1 — 10.2-7 посвящены дифференциальным уравиеиияч с частными производными первого порядка и их геометрической интерпретапии и включают элементы теории Гамильтона — Якоби канонических уравнений. В пп. 10.3-1 — 10.3-4 изучаются характеристики и краевые задачи дли гипербояическнх, параболических и эллиптических уравнений второго порядка. В пп.
10.4-! — 10.6-4 представлены решения наиболее важных линейных дифференциальных уравнений математической физики (уравнение теплопроводности, волновое уравнение и т. д.) с звристическоч точки зрения и простеишпе применения метода интегральных преобразований. Более усложненная теория линейных краевых задач и проблемы собственных значений оцисываются в гл. !5. 10.1-2. Дифференциальные уравнения с частнымн аронзводнымн (см. также п. 9.1.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
