Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 68
Текст из файла (страница 68)
кл' Р! Рм ° ° Ри) В! дк! (!'=1, 2, ..., и). (1072-32) Это должно иметь место для произвольной дважды дифференцируемой функции 6(хл, хл, ..., х„; рт, Рм ..., Рл). Преобразование (29) будет канонии чсским, если выражение В (Р» бх» — Р» дх») будет полным дифференциа»=1 лом для производящей функции Й = Й(х„ха." ха' Рм Ра."., Р,), т. е. (10.2-33) Ч. ! (Р» йх» — р» дх») =й Й ) »=1 (имеется в виду, ччлз Р» и х» выражены по формулам (31)). При соблюдении условия (33) функция 6(х! ха " хсд Р! Рв " Рл) получается из функции 6 путем подстановки вместо х; и Р! их выражений через х; и Р!.
Каноническое преобразование может быть выражено в терминах проиэводащей фУнкции Й (хл, х,, ..., х„; Рн Ре, ..., Р„); последнЯЯ часто эадаетсЯ как функция х; и х! илн Р; и Рн В частности, каждан дважды дифференци. ртемая функция Й= — Чг(х„кв, ..., х„; х,, хм ..., хл) определяет кзноническое преобразование такое, что Х л дяг др (Р» дк» вЂ” Р» !!х») =йЧг нлн Рг= вк.
к »=! ! (1=1, 2, ..., и); (10.2-34) формулы (31), пук!но от независимых переменных х; и х! пе- чтобы получить рейти к к; и Рн др! др» (34) следует, что — = — = †, Если записать соотношедк» дк! ' Иэ формулы ние (34) в виде (Р» йх»+х» дР») = й (Ч'+ В х»Р»), »=! дк; др» то получатся формулы — ==. Аналогично получаются еще две группы дк» др. ' формул дк! дк» др! дк» вЂ” — — л — == (1, »=1, 2, ..., и). дг» др! дп» дк ! Иногда такие квиоиичесиие преобрвеаввиия называют риивлвелтиь~ми1 в дальиейшем речь идет только о иих.
Более общие и»ионические преобразования рассмотрены в ивисе [Ы.э]. Отметим, что для рассмзтриваемого ианоничсского преобразования определитель матрицы Якоби Л =: 1, Каноиическве преобразования (3!) образчют группу (слг, также п. 12.2-8). Заданное дифференциальное уравнение первого порядка (27) с канониче.
скими ураввениял!и (29), новыми каноническими уравнениями (32) связано с дифференциальным уравнением 6(х,, х„..., х„; Р,, Ре, ..,, Рл) =О (Рг= — =, 1=1, 2, ..., п). (1072-35) д»; ' Решение г=г (хт, х,, ..., хл) преобразованного уравнения (35) связано с решением г=г (хт, хе, ..., хл) исходного уравнения (27) соотношением к=г — Й (х!. х! "° ° хл: Рл Рз "° Рл) (!0.2-38) Уравнения (3!) и (36) совместно составляют преобразование прикосно- вения (п. !072-5). (с) -к Ск об к и П у асса и а.
Данная пара дважды непрерывно диф[юрен- цируемых функций д (х,, х,, ..., к„; Р„Р,, ..., Рл), Л(х„кв, ...,хл[ Р„Р,, „., Рл) определяет скобку Пуассона [д, Л]= ~ (-,".Я-.',"„- —,",„). (10.2-37) » = ! Скобки Пуассона обладают следующими свонствами: []1, д]= — [д, й], [д, д]=0, [д, сопз[]=0, [д!+дм й]=[д! ]!]+[у ° 71! [длд ° й]=де[у Л[+д! [дм й[ [] [д й]!+[у [Л [[!+[А [[ дИ=О (пюждество Пуассона). Заметим, что из [[, у[=0, [[, Ь]=0 следует [д, А]=0. Дано преобразование (31) и пусть д (к„х,, ..., х„; Р,, Р,, ..., Рл)=д (х,, х„..., х„; Р„Р,, ..., Р„), й (Хт, Хв ° ° ° ха[ Рт, Рв °" Рл)4 й (К! Кв ка[ Рл Рв Ра) [д й[= ~, ~д- = =).
(10.2-41) [х[, х»1=0, [р1, Р»]=0, О, если !фу, (г,у=1, 2, ..., п). (10.2-42) [х1, р»]= = (:... = ' Условия (42) необходимы и достал!очны дяя того, чтобы преобразование (31) было каноническим. »=1 (Первые два равенства означают, что функции д и Ь получены из функций д и Л путем замены переменных кн Р! через х1, Р! с помощью преобразования, обрат- ! ного к преобразованию (31).) Цапяог преобразование (31) есть каноническое преобразование тогда и талы!о тогдп, когда оио сохраилет скобли Пуассона, т. е.
если [д, Ь]=[у, Л] для всех дваксды пспрсрывио диффгргнцирусмых функций д, 7!. Любое каноническое преобрзэование (3!) удовлетворяет условиям З>О ГЛ. !О УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫЛ(И ПРОИЗВОДИЫЛ>И 10.2-7. 102 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯД!Кь 10.2-7. зи Если [у, й[ = 1, то функции у и й называются канонически сопряжеииымн; в частности, из (42) следует, что любая пара функций хю Ра(6=1, 2, ..., и) являетси канонически сопряженной.
Часто приходится рассматривать преобрлзованне вида (81), занисящее от параметра 2: х! =х; (1; х„хю ..., х„; Р„Рш ..., Рл), [) Р! =Р! (2! хы хг °" лл' Р! Рг ° ° Рл) Это преобразование будет каноническим (т. е. сохраняющим канонические уравнения (29), если соотношения (42) выполняются длн любого значения ! (см. п. 10.2-7, с)). Отметим, что если х! н р! являются функциями параметра (, так что совокупность каноничесних уравнений (29) удовлетворяется, то для каждой ДиффеРенцнРУемой фУнкции >(!! х„ хг, ..., х„; Р„, Рг,..., Рл) имеем: ~=[[, О[+ж (10.2-44) В частности, из — =0 и [1, 6[=0 следует, что 7= сопз(. д> д! 16.2-7. Уравнение Гамильтона — Якоби. Решение канонических уравнений.
(а) Важным приложением теории уравнений с частными производными перпого порядка является решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут быть записаны как канонические уравнения, связанные с дифференциальным уравнением специального вида р+Н(х, хл, хз, ..., х„; р„рг, ..., Рл)=0, (!0.2-45) (Р=-д-'! р;=д — ', !'=-1, 2, ..., л) (уравнение Гамильтона — Якоби). дг дг. дх' ' дх! ' Заметим, что уравнение содержит п+1 независимых переменных х и хп Из уравнений (29) следует, что дх,'й(=1! Ото можно записать как х=-! (приниман х=О для 1=0)! 2п канонических уравнений (29) для х; н р> имеют вид !) дл; д — — Н((, хл, лг "° хл Р! Рг " Рл) др! (10.2-46) >Р! д — = — — Н(1, х,, хм ..,, х„; р,, р,, ..., Рл) (1,=.1, 2, ..., и).
Система обыкновенных дифя[жренциальных уравнений, нмегощая приведен. ную форму (46), играет важную роль в вариацнонном исчислении (и. !!. 6-8), а также в аналитической динамике и оптике. Если удалось нанти и-параметрическое реиггние г=Ф(г, х„хг, ..., хлз а,, аг, ..., ал) (10. 2-47) длф уравнения Гоми.чыпонп — Якоби (45), для которого де1 [ 1.—,60, то ргше> дл>доа ! !иг х;=х;((], р;=р;(!) (1=1, 2, ..., и) системы 2п обыкновенных диффмрелЧпальлых уравнений (46) получается из гоотноишний — Ф((, хл, хю ..., х„; ал, аг, ..., ал)=-[)! (1=.1, 2, ..., л), (10.2-18) юа; где а* и [>! суть 2п постоя»»ьы интегрирования; после отыскания фуплцип х>((, ал, аг шл [>!.
[>з>" Ои) функции Р; находятся подстановкой х; в ссотиошения р;=дФ)дх! (1= 1, 2... л) (см. также и. 10.2-4, »). 1) Остагащееся «апоннческое уравнение есть др>д! = — дм>дг, их! дЯ д! ОР! ' В этом случае выражение дл! дН вЂ” — — (1=1, э, ..., л>. и! дг! (!ОЛ-40> л л Рьдхь — нш — у! Ра дх! — нлб = ип г=>' (1О. 2-50) должна быть полным днффарегщиалам пронззадящеи функции и у, хь хь ., х . РЬ РЬ ..., Рл). В Чаетаа.
Гн, ПУСТЬ ! = !. ТаГДа КаНГДаа ДважДЫ ДнфРЕРЕЗЦНРУЕыаа дчЧ для котзроб бе! ~ . ~ О. дк,.дха 1 фу«кцля Р=-Чг((, кь хь, л ! хь х,, л определяет канонвческое преобразование такое, чта д'Р— оцг Р,= — Р, - — —. (! = ! дл . ' дх. г Н=О+ — ". д! ' (Ю.2-51> Иногда возможно тач вызрать это преобразавазно, чта Н уже не зависит яана от х. (преобразование к цчслиыгял» лерг»зн»эгм л ): гагдэ саотаетствуюа(не уравнения (40) г интегрируются непосредственна; Р. = сопз1.
г (с) Твори н воз м у же в и 0. Дано Решение И1) уравнения Гзмилшанэ— ЯКабн (45); ПРОИЗВОДЯЩаа ФУНКЦИЯ ЧГ=Ф У, Хь Хь ..., Х; Хь Хь ..., Х ) ОПРЕДЕ»аст наноннчегкае пр.образование (5!>, даю.цее пасто»нные зла!ения преа5разавливым пера. ыенным х.=о! Р = — 5! (! 1,2,...,л>, (ш.2-5й Как взиазаио в п.
!0.2 7,а ги уравнении (57) дают решение х,. =х (г>, Р(=Р,.О> кано! ' е' ннческоа системы (461. данное решение «неаазмущенпаа каншпглеског системы (4ь> часто позволяет ре.нить аааааические уравнения дх дк г!! дл! где >( = Н (г, хг, х г ...; хн: Рг. Рзг " ' Рл) + -Ь ЕО! (г, КЬ ХЛ,, Х„; РЬ РМ ..., Рл> др! дп Ш дк! — — Ц=1, 2, (10.2-55> н г,ч, — малый дано»натальина член (зазнрщенкп т, е. эффект малого отклонения тела ь иззесиаа ыезаинае).
Применение извастнога решеивя (47> для незазыущеанаго» уран. иення Гамильтона — Якоби (45> внадвг новые переменные х,, Р «аноинческнми преа5ра! зеваниями (51) с пранзводящеа функциеа Чг= Ф (!г хг, кз, ..., х; «ь хы ..., х ). теперь уравнения (45) заменены уравненнямм (55>; х. и Р. уже ие явля!отса по.
1 г' сгоаапыын н удовлетворяют преобразованным каноническим уравнениям и х! дН. др,. дй — =в — 1, — г= — г=! 6=>,г,...,л>, (10.2-54> Ш др! ' Ш дх! кзгаРые, возможно, легче оешитьг чем ДаинУю снстемУ (55). Если записать х! о;+г Х! (!)г Р! — б! Рв Р! (1> (1-1, 2, ..., и), поправки е Х! (!), е Р; (!) к константам (52! производят соответствующие поправки к решениям аевазмуа!синов системы (46>. (Ь> П р и и е н е н н е к а н а и н ч е с к н х п р е о 6 р а з о в а н и а (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
