Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(а) Дифференциальное уравнение с частнымн производными г-го порядка есть функциональное уравнение вида дФ дФ дФ д'Ф Р («1, хм "., хи' Ф; д« ' д« '"'дт ' В«и ' "') =О, (10.1-1) включающее по меньшей мере одну частную производную г-го порядка от неизвестной функции Ф (х„х„..., к„) двух или боясе независимых переменных х,, х„..., х„. Функция Ф (11, хв, ...,х„), удовлетворя1ащая данному уравнению (1) в не. которой области точек («„хт, ..., х„), называется решением или интегралом диффсренциалыюго уравнения с частными производными. Общее решение (общий интеграл) данного уравнения г-го поряпкэ (1) содержит, как правило, лроизва«ьиыв функции.
Выделение частных интегралов производятся путем задания соответствующих дополнительных условий, т. е. условий, налагаемых иа функцию Ф и ) или ее производные, на кривой, поверхности и т. д. в пространстве точек (хг, хт, ..., х„) (краввыв условия, ии.*а«ьммв ус«ивия). Многие дифференциальные уравнения с частными производнымн допускают дополнительные решения (особые интегралы), которые не могут быть получены из общего интеграла нн при каком выборе произвольных функций (п. 10.2-1, с ). (Ь) Дифференциальное уравнение с частными производными называется однородным, если произведение аФ любой постоянной ст на решение Ф также является ре1пен нем. Дифференциальное уравнение (1) называется линейным, если Р— линейная функция от Ф и ее производных (см. также пп. 10.4-1 и 10.4-2».
(«1Снстемв днффереиииальим«уравнениЯ с чвстиммя иримзвадиммя. Условия сиемествостн. Система днффереиниильиы«урав- иьииЯ Р1(У«1 « ° - «я'П' а' ° -1ггг,„.)=-О и=1,Я,...) ЦО.1.г) дФ, !ол-з. 10.2 УРЛВНЕННЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКЛ гл, ю. урлвнення с члстнымн прфнзводнымн 10.2-!. — -1. 1, (хн «,> = о. дФ длз +1, (х»,.) =а дФ дкь Диффереицнруи, получим д'Ф д>, дх, дха длу дФ д>, дла дх, дхь' д(, д>, так что даинаи систеиа уравнений совместна, если — ' = — — . (д> Существование решен и й. Как дли обыкновенных днфференцнальнык авйеиий (й ЗЛ.Н, фактическое существование и единственность решений дла данного ффе и с частиыии пронаводиыни нли системы таких уравнений нффе енциального уравнении с ч с требуют окавательства в каждом л ждои случае, даже если условия соаиестности соблюдают Сн.
1!0.0). где приведен» некоторые теоремы существования. 10.1-3. Решение дифференциальных уравнений с частиымн производными,' разделение переменных (см, также пп. 10,4-2 — 10.4-9). Во многих важных случаях попытка найти решение в виде Ф=(В (х» хз °" «л)=(Р>(х!) 9'в (хз. хв °" хл) позволяет записать данное дифференциальное уравнение (1) в разделенной Неизвестные функция (р! (х!) н !ра(хз, хв, ..., хл) должны удовлетворять дифференциальным уравнениям Е, ~х» р» —,'„'-, —",„",, ...~=С, (10,1-4а) Гз (хз хз " хл' гре! — — =С (10.1-4Ь) где С вЂ” константа разделения, которая определяется в соответствии с заданными краевыми условиями или другимн присоединенными условиями. Заметим, что у авнение (4а) — обыкновенное дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции (р>(х!); для уравнения (4Ь) иногда возмо>кно повторение процесса разделения.
Разделение перемеаных с успехом применяется при решении многих линейных однородных уравнений с частными производнымн математической физики; иногда разделение становятся возможным после соответствующей замены переменных (в качестве примеров см. пп. 10.4-3 — 10.4-9), содержит несколько неизвестных функций 1( !. з -» л) з( г 3' '"' и)' " оз рди з ен иильлоз аразлениг (!) Зли систему дифференциальных арознелпй -"фф"Р'"ци""'"'д'ффтз'"ииальиыз аааанелий лзазоьь лорлдзо, принимал (2) мозно свести з сист мс «ффзрз"ци подзздащиз лрзиззздлис зо нозис лсизззсзьииз дтаилции (си. также п. с тема нфференцнальных уравнений (2) допускает решение , з.
тогда, когда задайнйе функции ; и н ровзаодные удоаьттворяют головкин совамст ности (условиим иитегрируеиости), которые гарантирую, д ф( р г, что иф( енцнрование двух нли более уравнений (2) приводит к совпадению пронзводимх высшего порядка от фунций ий Ф.. У иа совместности получаются исключением функций Фа р и их п онзаодных па последовательности уравнений, полу ьенных дифферениированием данных днфМР х нф„. енцнальиых уравнений сйстеиы (2). П р н и е р. Дава система 10.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 301 10.2-1.
НУравнення с двуми независимымн переменными. Геометрическая интерпретация (см, тзкже пп. 9.2-2 и 17.3-11). (а) Возьмем дифференциальное уравнение с частными производнымп первого порядка относательно неизвестной функции г=г(х, у): Е (х, у, г, р, д) = 0 (,р = — ', у =- —, Гр+ Ез Ф- О), (10,2-1) где данпая функция Г дважды непрерывно дифференцируема, н рас мотрим х, у, г как декартовы првмоугольные координаты. Тогда каждое решение г= =-г(х, у) уравнения (1) представляет поверхность (интегральную поверхность). Для любой интегральной поверхности, проходящей через фиксированную точку М (х, у, г), урзвненне касательной плоскости имеет вид г — г=р(Х вЂ” )+0(у — у), /р,у»9 где р н 0 связаны уравнением (1), в 1 котором х, у н г рассматриваются как псстоянные.
Огибающей семейства ка. сательных плоскостей является конус ра (конус Монжа). Касательная плоскость к любой интегральной поверхности ка. Глчазьии сается также конуса Моижа вдоль од- тыаса ной нз его образующих. Линии ва Хара за!зристичжщл интегральной поверхности, касающиеся паласа в каждой своей точке соответствующей образующей, вазыэа>отея характеристическими линиями или характеристиками.
у Вдоль характерно!пк выполняются со. отношения х дх да да Рис. !0.2-! Начальиан полоса и одна Г Р РР -;, чгс а р ' ч характеристическая полоса на инте. гральной поверхности. ! — «опус Мон- Последова~ельность значений (х, жа а точке Р, у, г, р, 0), как говорят, описывает плоский элемент, связывающий угловые коэффициенты р и 0 касательной плоскости с точкой (х, у, г). Данное уравнение (1) определяет поле плоских элементов (х, у, г, р, 0), касательных к конусам Монжа (рнс. 10.2-1) Если ГР и Еч Явно пе завиеят От р и д (квазилинзйнав уравнение первого >юрчдка), то каждый конус Монжа вырождается в прямую (ось Монжа). (Ь) Полосы и уравнения характеристик.
Совокупность дифференцируемых функций х=х(!), У=У(!), г=г(!), Р=р(!), 4=0(!) (10.2-2) представляет плоские элементы (точки и касательные плоскости) вдоль полосы рсгулнрной поверхности, если функции (2) удовлетворяют условию полосы да дх др ду Рой+У' Для данного уравнения с частвымн производными (1) каждая совокупность функций (2), удовлетворяющая системе обыкновенных дифференциальных уравнений ла Кй да дг =РГР+0ГЗ д! =Ер д( =Гв 1 (характеригтичзскив урав- нения связанные с урав (10 2 3) -= — (РГ,+Ех), да= — (0Ез-~-Г„) пением (1)), зоз 102. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА !Ом-з.
302 Гдл !О. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.2-2 описывает вместе с уравнением (1) характеристическую полосу. Характери стическая полоса касается конуса Моижа в каждой точке (х, у, г); соответ ствующая кривая х=х(1), у=у(!), г=г (() леа(ит на интегральной поверхности и является характеристикой.
Интгграль. ньм лаежрхности могут касшиься друг друга только вдоль характеристик. (с) Особые кнтсгралы (см. также пп.9.2.2,Ь, 10.1-2,а н!0.2-3,с). Решевня г = г (х, Ю уравяеня» ил полученные исключением р н д нз уравнений Р (», а, г, Р, д) О, — = О, — = О. др др (10.2-4) др дд явлшотся есобммн интегралами. Онн не удовлетворяют условию Рар Ф Рз ШО н не могут быть получены кз общего нвтеграче уравнения (!). 10.2-2. Задача с начальными условиями (задача Коши). Требуется найти решение г=г(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее начальным услааиям (граничным условиям типа Коши) х=х,(т), у=у,(т), г=го(т), р=ро(т), ц=уе(т), (10.2-5а) где р [хо (т) уо (т) го (т) Ро (т).
Оа (тИ=О дге дх, дге. а — = Ра д + 0~ 3! ! (10.2-55) В протненок случае задача имеет решение телека тогда, когда данные наказание усю енл (5) еписеывют «ороктернстнческую полосу; нри атон имеетгн бесчнсынное лножеатыа решений. )к прн постановке задачи можно была бы сначала считать заданной только началь- КУЮ КРИВУЮ Се. а ВЕЛНЧННЫ Ре Н де ОПРЕДЕЛНтЬ На ДВУХ СООГНОШЕвнй (55). ЕСЛН атн уравнеяня нмеют несколько решенкй, то крнвая Се может принадлежать разлнчным начальным полосам, дло каждой нз которых задача Копен решается отдельно. П р н м в р.
Найти решение урзвненнн Рд — г = О, удовлетворяющее начальным условиям; «е = 1. уе = т, ге = т* (т. е. найти нктегральную поверхность, лрокодящукг через заданную кривую), Система уравнений (3) имеет внд ах йу дг ар де ' ае ' ш ' ш ' ш — д, — =р, — =2рд=2х, — р, — =д. Ее решенае, нрввкмюощее прн Е 0 значення (хе, (ь, ге.
Ре. де): ае Р= нее, д дее, г гее, х д е +хе — дь У Рее .1-Уе — Р, Начальнме значения Ре н де связаны условкямя роде т' к де=2т, откуйа де =2т, Ре т/2. Следовахвльно, х 2т(е -1) + 1. у — (е -!)+т, г=т с аы 2 зги условия задают начальную полосу, т. е. точки и касательные плоскости к искомой интегральной поверхности вдоль регулярной кривой С; проекция Со нв плоскость Оху есть простая кривая (л. 3.1-13). Чтобы решить задачу Коши, надо найти ргшгние х=х(1, т), у=у(1, т), г=г((, т), р=р((, т), О5 у(й т) (!0,2-6) сисаюмы характеристических ураанемий (3), удоалгтаоряющгг начальным условиям (5) при (=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
