Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 64
Текст из файла (страница 64)
также п. 946, а). Частот- А„(в) ные характеристини Н(йв) и сиязыва1от комплексные амплитуды, пред- О «ы) ставляющие синусоидальные внеп)нне нагрузки, и установившиеся решения с одной и той же частотой ю. В частности, абсолютная величина и аргумент частотной характеристики гвязьшаеолз амллетуди и фазы синусоид на входе и выходе: если 7(Г) й-В з<п (юн+5), у(!) =А шп (ш(+а), то ~НН ),=',, ЕН«.)=- — [) (9.4-32) Для схемы, представленной на рис. 9.4-1, амплитудные характеристики ) Н (!в) ~ псремно)каются, а фазовые характеристики агу Н (!в) складыеаютси. (с) Соотношения между передаточными функциями, частотными характеристиками и функпиями Грина (см. также п, 9,4-3 н теоремы о свертках в табл, 8,3-1).
Передаточная функция Н (ь) есть преобразование Лапласа от асимметрической функции йь(()< Н (з) = ~ » (1) е 41 йй (9.4-33)., о л '~, [Ьг» в<-,';+а;ь) у,=о »=-1 Ц=1, 2, ..., и), (9.4.35) в которой обе матрицы [а<ь) и [Ьуь] симметричны, положительно определены (и. 13.5-2) и таковы, что характеристическое уравнение (9) имеет 2л различных НЕНУЛЕВЫХ снега 1ШИЧЫХ КОРНЕЙ -1- (В,, гв иох, ..., гя НЕ„° ТаКИЕ а ПаР КОРНЕЙ соответствуют свободзын синусондальным колебаниям с н собствеииымн частотами "1 х л 2ц' 2Н' ''' 2л' Для данной системы (35) можно ввести нормальные координаты У, У, ...
1 1 ..., Уа с помощью линейного пРеобРазованиЯ уй= ~ 1»»у» (»=1, 2, ..., а) [9. 4-36) »=1 с такими коэффициентами <ь», чтобы привести одновременно обе матрицы [а н [Ь;»[ к дмагональному виду (пп. !3.5-5 и 14.8-7); преобразованная система /ь будет иметь простой внд: в у» — „+в»у»=0 (»=1, 2, ..., л).
(9.4-37) Получающиеся здесь свободные сннусондальные (собственные) колебания у»=А» мп (в»<+а») (»=1, 2, „, л) (9А-38) не влияют одно иа другое (разъединены). Нормальные координаты могут е непосредственное физическое истолкование. Пример. Дли системы '('Вз Л 1 еи — = — юлр -а <В* — В И х в'ва х — — влв,— а <вх — вд лг* НЬРЫЛЛЬНЫих ХЬОРДИЦатаив ХЬЛХЮтез У,=В,-(-ию 'Е,=В,— Вл ПРи ИаЧЬЛЬИЫХ техььиЛХ <в, лвл Вг 1, ах=а. — = — =О ири <=Е урльнецни для зори*льных координат ву в< зху; - "(юл -<- 2а*) у, вр дают У, =Сох юла У, = с ) ~[ ф за'(, и следовательно, [Г юх -<- 2а" — ю )г влл + 2"х + ве в — — [уз -ь уе) = сох 1 соз гл )Гюх+2ах — в [ггв[+ зал+ ы вл = - - (у) — ух) = 1<с ь < в<о 2 Частотная характерисн<ика Н(ив) есть преобразование Фурье от симметрической функции »[01 Н(йв)= ) й(()е (в<Ай Формулы (33) и (34) указывают возможность получения функций»4 (() и» (Г) как обращений преобразований Лапласа илн Фурье для рациональных функций.
9.4-3. Нормальные координаты н собственные колебания. (а) Сноба д и ы е кол е ба ни я. Малые незатухающие колебания механических нли электрических систем часто описываются системой л линейных дифференциальных уравнений второго порядка 9. 5.5. 9.5 НЕЛИНЕ(ИНЫЕ У!'АВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯЛКА ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ При а" Кюз (слабая сиязь) зтк решения опнсыиаюг тзк начызеемое язленае резонанса (Ы Вынужденные колеба. н н я Соотсегстзую1ная задача о с ь нуждеиных кочебзииях (Э, ~„4-о(,,) «Л=! э=! .. и! может быть решена н принпипе методом и.
Ы.а-(0 путем разложении инеш. ней нагрузки 7. (а по сабе«не ньым Фуик- 1 пням. Обычно более удобен оператор. ный метод и. 9.4-5. 9.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА (9.5-3) 9.5-1. Вводные замечания. В пп. 9.5.2 — 9,5-5 вводится общая терминология и наиболее простой метод приближенного решения из теории нелинейных колебаний. Для дальнейшего изучения рекомендуются (9.6), )9.7]. Многие методы решения тесно связаны со специфическими прило)кениями Метод возмущений из и (02-7,с час о применяется для упрощения нелинейных задач, особенно з небесной механике. Численные методы решения см пп.
20.7-4 и 20.7.5 9.5-2. Представление иа фаэовой плоскости. Грайшческнй метод решения (см. также и. 9.2-2). Дифференциальное уравнение второго порядка '-л',э=Ф У, У) (95-!) равносильна системе уравнений первого порядка +! +йд д -! -3 Рнс. 9.5-(, Изоклниы, напразлення поля и л« ', лу — =У! — (=1((, У, гд) некоторые решения днфференпнального ураз- кт(- ',— 952 и пения ( -) '!« — ! «з « Общее решение у=у((), «=У(7) нню Ван е Поля урааисиий (() Н.ЧИ (2) Мажет бмтл еоогзетстзующего ура»нению Ван дер Поля п е валено геометрически семей- и(з «.( и (! «а) ством ориентированных фазовых траекторий на фаэовой плосностн где — =«, и = !. Показ — Показана лишь правая Оуу.
Такое представление поде'- полунлоскость. нее нсего в тоы случае, когда данная функция ((, у, ,*(7,, ) не содержит явно независимого перел(енного !. В этом случае система (2) относится к системам вида Я=У(у, у); ф=()(У, у) (автономная система) и фазовые траектории удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка зу ОНА «) (9. 5-4) к«7'(ю «) которое кзждой точке (у, у) ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой. Получающееся поле направлений («изображение» дифференциального уравнения ца фазовой плоскости) позволяет сделзть набросок у(у) и отсюда у (!) па заданным начальныл! значениям у и у; можно начать с построения геометрического места точек постоянного наклона ду(ду = т (изоклнн, рис.
9.5-!). 9.5-3. Особые точки н предельные циклы (см. также п. 9.5-4), (а) Обыкновенные и особые точки фазовой плоскости. Точка (у, у) фазоной плоскости системы (3) называется обыкновенной точкой, если Р(у, у) и !'.) (у, у) дифферевцируемы н не обращаются одновременно в нуль; через каждую абмкновсямуга точку проходит гдимстигиния фпзааая траектория. Точка (уо, уо) называется особой точкой, сели (уо уо)=О) Ю(уо уо)=О. (9.5.5) Особые точки классифицируются по характеру фазовых траекторий в нх с) д! Рис. 9.5-2. Фззоаые траектории з окрестности особых точек шести гг«поз (пп. 9.5-5 н 9.5-4). о) усгойчиаый узел; ц иеустойчнный узел; с) устой«иный Фокус; Л) иеусгойчнзый Фокус; «) седло; !) Пентр.
окрестности; наиболее важные типы особых точек изображены на рис. 9.5-2. Физически особые тачки есть пшчки покоя (равновесия), допускаю)цпе устойчивые илн неусгойчиаые положения равновесия у= — у, (п. 9.5-4). ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИффЕРЕНЦИАЛЬПЫЕ УРАВНЕН1(Я 9.5.4. (Ь) Периодические решения и предельные циклы. Пернодические решения у=у(1) соответствуют замкнутым фазовым траекторкян, н обратно.
Замкнутая фазовая траектория С называется предельным циклов:, если она имеет окреспюсть из обыкновенных точек, в которой все фазанье траектории спнралевидно приближаются к С (устойчивый предельнын цикл) а) Рис, 9.5-3 а) Устойчивый предельный цикл, заключающий неустойчивую особую тонну в па»зле. «Мятное» сзмовозбуждеиие колебаний прв произвольно малых начальных значениях у н у. Ы Устойчивый предельный цинл, заключающий устойчивую особую точку в начале и неустойчивый пры(ельиый цикл (поназанный пуиитирем). Жесткое самовоз- буждение колебаний при начальных значениях вие неустойчивого цикла нли удаляются от С (неустойчивый предельный цикл) или приближаются к С с одной стороны и удаляются от нее с другой (полуустойчнвый предельны й цикл).
Примеры см. пп. 9.5-4, с и 9.5-5 (см. также рис. 9.5-3). (с) Индекс Пуанкаре и теоремы Бенднксоиа. Во многих прпложеяаях п редставляет интерес существование предельных циклов (устойчнвых колебания). В дополнение к аналитическому критерию и, 9.5-4 полезна иногда следующая теорь я. с Индексом замкнутой «ризой С, состоящей из обмкновеннмх точек фазовой плоскости, называется число полных оборотов вектора, задающего направление поля, прн обходе точкой (у, у) контура С.
Индексом изолированной особой точки Р называется индекс любой замкнутой кривой, охватывающей точку Р и ие содержащей другах особых точек, При этом: 1 Индекс зал!кнутов кривой С равен сумлсе индексов всех (нзотпроваепых) особых точек, лежак(их внутри С; если внутри С все точки обыкновенныс, то ее индекс равен нулю. 2. Индекс узла, фокуса нлн центра равен ц нндеис седла равен — 1 (см, рнс, 9.5-2). 3 индекс любой фазовой траенторнн раасн ц следовательно, прсдсюнмп ки«л должен содержать по «райней мере сани особую то«ку помимо ссд.ы (рис. др дй Внутри, побой облатки физо«ей п.юскости, где — — -(-.-г сохраняет зван, сущ«ст. ду до «уют замснутмс фа»овмс траектории (первая тсср«ми Бсндиксона).
Траектория, котс. роя о тпстся «китри огоонп«снпед области и не лрибшжаепил ки к наной оса сй тс нс при О «с оз, либо я«лютея зама«несси, сиас пспмптоти«секи приближаюпск к сикеспс. Рой вникнут«а траектории («торна пмерелсп Б ндиксоиа). 9.5-4. )! Устойчивость решений по Ляпунову*) (см. также пп. 13.6-5 — 13.6-7).
(а) Решение у;=у;(1) (1=1, 2, ..., л) системы обьпсновенных дифференциальных уравнений вида ;сс =11(1' Ут Уз "» Уп) (1=1, 2, ..., и), (9тйб) соответствующее начальным условиям ус (1о)=усы называется устойчивым по Ляпунову, если для любого е) 0 можно найти такое 6=-6(г)) О, что нз систеыы неравенств (хю — усз ! < 6 будут следоват! неравенства )х;(1) — у;(1) (< и дла всех 1)со, гДе х;(1) — Решение, опРеделЯемое начальными Условнймв Теория устойчивости по Липунову изложена во многих руководствах; сн., на при р, 19.11, !9'51, 9.«.
НЕЛННЕПНЫЕ УРЛВ(4ЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА — авслалолиая систсиа дкффсренцнадысых уравнений (все функции 11 пе зависят явно от 1) и (уы, усщ ..., Уп„) — какая-либо ее точка покоя, т. е. сс (У!о Узе ° ° ° Ус!в) =0 (1= 1, 2, ..., л). Тривиальное «равновесное» ржиснис ус(1)=усе (1=1 2 "» и) соаспвесссссс!вуюсс(се даииай псочкс лакал, яздяетсл исилттотически устойчивых.
сглл лиигаризоаанлал система (система первого приближения) н ду; ж) 1 д),щ ш '-,7„((ди ) (уй — Уао) (с =1, 2, ..., и) (9.5-8) 5=1 устойчива (все частные производные берутся в исследуемой точке покоя (ую усв "., Уло)). Это имеет место тогда, когда все корни з характеристического уравнения йе! ~ -'-! — 56' ~=0 !/ д1.) сд ((дуй Се й.! (9.5-9) имеют отрицательные действительные части. Тривиальное решение будет неустойчивым, если урапнение (9) ил!ест хотя бы один корень с положительной действительнол частью; если нет корней с положительной действительной частью, но среди корней есть чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
