Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 60
Текст из файла (страница 60)
') Заметим, что эта теорема неприменима к любому множеству г — ! раз иепре- РЫЗИО ХИфмфЕРЕйЦИРУЕИМХ ФУИНЦИй Ва 95) ОИИ ДвижИЫ бЫтЬ РЭШЕИИНМИ ПОДХОДЯЩЕГО дифференциального уравнения (2), козффициеитм которого удовлетворяют условиям, сформулированным э п. 9.3-1. е.з.з. 93 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 273 (Ь) В случае действительных переменных з цех и в =-: в (х) частное решение неоднородного уравнения(1) часто бывает удобнее представить в виде ь в =- [ 6 (х, 5) 1(а) !Гй (а < х < Ь), (9.3-8) п где С (х, $) есть функции Грина (и. 9.4-3), дающая «фундаментальное» решение.
Прн этом общее решение уравнения (1) есть ь и! = [ С (х, и) ) (с) йь + ~'„ Аь ва (х), и Ь=( (9.3-7) где вг(к) — линейно независимые решения уравнения (2), а Ал — произвольные постоянные, определяемые по начальным нлн краевым условкям. Функцию Грина С(х, х) можно выразить через любые г линейно независимых решений ва (х) однородного уравнения (2) г С (х, $) = — В С), ф) ва (х) 6 (х — 5), ! (В ь (9.3-8) гзе С;(к) получаются нз уравнений (5), а С(() — единичная функция, определенная в и.
21.9-1 [6(1) = ) ! 1, если () О.у »2ля лииейнык дифференциальных урааиеиий порядка г =-2 оби(ее ршиенпе дается фррл!улой (4) или (7), где С; (х) = —— ! (к) в, (к) а, (х) в (з) ю'„(х) — вз (х) ге; (х) ! (к) в, (х) п„(х] в (х)в; (») — в (х) в; (к) ' и, И) в (1) в' (») — в (1) в» (1) (9.3-9) (с) )( В то время как общее решение (7), получающееся с помощью функции Грина (8), есть только другой способ записи формулы (4), часто оказываетсл аозможнь!м построить функцию Грина 6 (х, $) так, чтобы чагп(нос решение (5) удовлетворяло определенным начальным или краевым условиям.
Есян краевые условия линейны н однородны относительно в (х) н ее производных, то нскомзя функция Грина С(х, 9) должна удовлетворять следующим условиям; !. С(х, ",) прк фиксированном значении 5 является непрерывной функцией от х н удовлетворяет заданным однородным краевьп! условиям. '2. Производные до г-го порядка включительно от С(х, 5) по х непрерывны для х С [а, Ь], за исключением точки х= 9: в этой точке непрерывны производные до (г — 2)-го порядка, а (г — 1)-я произ. водная имеет разрыв первого рода со скачком дг 1с! дг !С! ! — — — — (а < Ь < Ь).
(9.3-10) дзг ! к=1+О дхг ! к=1 — о и, (1) 3. Г(к, $) как функция от х всюду в [а, Ь[, за исключением точки хим 9, удовлетворяет уравнению !. С (х, 9) = О (х =й е). (9.3-! П Функцию Грина 6 (х, $) можно определкть условием ЕС (х, 9) =— = 6 (х — $), где 6 (() — функции Днрака, определенная в и. 21,9-2, 9.3-5. Т а блица 9.3-1 (лроделзкекас) а (», 5) (х $) б (5, х1(х ш Ц Интервал (а, Ы Дифференциальное урваяенме )й п(п Краевые условии )о а =- О 6 =1 (Ь 1с очв лх' .
=1(х) - - (х - й - х$ 4-1) 1 2 < !) „ (!) = о а= — 1 Ь=! 1 — — (х — $)5— 4 1 1 ') — — (х — Ы вЂ”вЂ” 2 е в ( — 1) = в (1) в ( — 1) =ну (!1 1 х-5 — — г 2 в йоиечиа а ( — со, со) а'гв йх' — — — в=) И) а = — со Ь = со ! Ып йх ып Ь (1 — Е) йшпь а=о Ь 1 <О)- П)=О За 51 в — !. )гзв = / (х) соз Ь (х — Е (- !) в( — И=в<И в' ( — 1) =-и' (!) а= — 1 Ь=! 2Ь |пй ьагэ =1(х) Лгв Ягз 4Ь ГЛ. 9.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.3-3. Отсюда следует, что Ь М (х, 5) = 0 (х:ш 5) н ) (.6 (к, 5) йа = 1. (9"О-1 )а) а Существование и свойства таких функций Грина рассматриваются с олее б обшей точки зрения в я, 13.3-1; см. также п. 9.4-3. В табл. 9.3-1 приведены функции Грина для некоторых краевых задач. таблица 931 !функции (рина для линейных краевых задач ь Ка д я приведенная ниже краевая задача имеет решени~ в (х! =) а Формула (9.3-7) позволяет получить решенме при других начальныл или краевых уело. виях (см, также пп. 9.3-3, 9.4.3, )ОЛ-2, !5.45, 15.5-1).
Решения для других интервалов (а, Ы получаются иэ табличных с помощью лйнейного преобразования координат. ') Это есть обобщткал функция Ганка в смысле п. 15.5.1,Ь; она не удовлетворяет уравнению (9.3-19). 9.3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕ1П!Я 9.3-4. Пряведеиие деукточечиых краевых аадач к задачам Коши.
Общая теория краевых задач и задач о собствениык значениях, включающая и обыкновенные дйфереициальиые уравнения, рассмотрена в пп. с 15Л-1 по 15.5-2 (см, также и. 9.3-3), связи с методамн численного решения часто бывает полезен следующий прием.
Если дано линейное дифференциальное уравнение г-го порядка ьв = 1 (г) с г краевыми условиями, наложеинмми на н5(г) и ее производные в двух точкак г = а, г = Ь, то Решение задачи записывается в инде г в = в (г) + й а), в), (г) й=) где функции вй (г) находится из (г+ 1)-й задачи Кеши) Ьвэ (г) =) ( ) ПРи в(Л (а) = О (1 = О, 1, ..., г 1), !.в,) г) =О прн в (а) = <~ (О<(щь — !)<П=о, 1, „,.— 11 фа-»Ь) Подставляя аадаи яме краеоыэ условия в общее решение (12а), полу вют систему г уравнений с г неизвестными «озффнциеитами а, Ь' Пр и меч ание. Если краевая задача нг хингана, например.
я'в д — =7(г, в, в') пРн в(а)=ва, в(ы =во, (9.3-13) то часто можно вычислить значения в (Ы длн даук или трех выбранных значений неизвестного начального услови» в' (а) н затем испраеигь значение в' (а) г помощью интерполяции. 9.3-3. Линейные дифференцикчьные уравнения в комплексной области. Тейлоровские разложения решения н влияние особенностей. (а) Линейное дифференциальное уравнение !г —,+а,(г),, +...+а,(г) ш=((г) имеет аналитическое реиение в ш (г) в каждой регулярной точке г, где функции ай (г) и 1(г) аналитичлы.
Если шпи функции однозначны и если 9.3. ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 277 н.э-7, 276 ГЛ. 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ область В односеязна и состоит только из регулярныг точек, то заданныс начальные зчачения и(г ), и' (г), ..., и" 1'(ге) е любой точке ге (и В опрсдглюот единслюенное решение и (г) е В. Чтобы получить это решение в виде ряда Тейлора (см. также п. надо подставять 1 и(г)=и(г„)+и'(г,)(г — г,)+ —,и" (го)(г — г,)г+... (9.3.14) 1 7 (2) =7'(г )+7' (ге) (2 — ге)+П( (гз) (г ге) +''' ' 1 а„(г) а„(ге) +а], (го) (г — ге)+П аа (2е) (2 ге) + " в данное дифференциальное уравнение; сравнение коэффициентов получающихся степенных рядов даст ресуррентные соогпношеиия для неизвестных коэффициентов —,и «'(г) (й=г, г+1, ...).
(ЗначениЯ пРоизводных ил' (го) длЯ Й=О, 1, ..., г — 1 заданы в виде начальных условий.) Ряды (14) сходятся абсолютно и РавномеРно в каждом кРУге !г — го((Р, ле щ Р, лежащем в В. (Ъ) А а еское продолжение любого решения и(г) линейного диффен лятич ренциального уравнения вокруг особых точек одного или несколь эффйиентов аь(г) даст, вообще говоря, различные ветви некоторого многозначного решения (см, также пп. 7.4-2, 7.6-2, 7.8-!). В о тн, полный обгод вокруг особой точки преобрззует фундаментальную систему решений гз (г], в (г], °, в (г] однородного н й д фф р чаете с лн е ного нффе енцнельного УРзэненнЯ е новУю ФУнДзненэ.альнУю системУ в!(г], г( ], ° ° ° , в г ° ° °, в (г]. Этн дее фунлзнентзльные системы обнззтельво связаны незырожд нн е ы» лннейнын преобрзэо.
ззннем г в. (г]= ~ о. в„(г] (1- 1,2, ..., г], э ]а Л й=] собственные значения мзтрнцы (о(а) (и. 134.2] не зависят от частного выбора фундэнентзльной системы в! (г], вг (г], ° ° °, г (2]. 9.3-6 ]( Решение однородных уравнений путем разложения в ряд в окрестности правильной особой точки. (а) Особая точка г= г, одного или нескольких коэффициентов ае(г) называется изолированной особой точкой однородного линейного дифференциальнога уравнения "+а! (г) — "в+... +а, (2) и=о, (9.3-15) Лгг бгг если в некоторой ее окрестности нет других особых точек, Изолированная особая точка г= г, называется правильной (слабо особой), если, все коэффициенты аа (г) имеют в этой точке полюсы порядка не выше й, т. е.
а„(г) = ь, где все ра (г) аналитичны в некоторой окрестности Вэ точки г('). (, „]ь где все ра В этом случае уравнение (15) можно записать в виде л" 1в (г — г,)" "— + (г — 2,)г 1 р, (г) — +... 1 г ...+(г — г,]р, 1(г) ---(-р,(г)и=О. (9.3-16) '1 ЕСЛИ НЕНОтОРЫЕ Л (г] НМЕЮт НУЛИ Е ТОЧКЕ гп тО ЕООтнЕтстзУЮЩНЕ «Озффпцнентм ла и] будут иметь полном порядка меньшего чем а] онн и у д а мог т зже бмть'- регулернйнн фувнцнянн е онресгноетн точке го Остальные изолированные особые точки называются существенно особыми.
Если г=г, есть лраеильная осооая точка (или регулярная точка), пю однородное линейное дифференциальное уравнение (15) допускает решение лида и=(г — г,)н ~ ае (г — г,)". а=о Если р — не целое число, то (г — г,)н означает какую-либо однозначную ветвь многозначной функции, регулярную в комплексной плоскости с разре- зом вдоль некоторого луча, выходящего из точки г, (см.
и. 7.4-2). Показа- тель Р должен удовлетворять алгебраическому уравнению степени г — опре- деляющему уравнению Р(Р— !) ... (Р— г+1)+Р (Р— 1) ... (Р— г+2) Р,(г )+... ... + Рр,,(г,)+р,(г)=О. (93!8) Коэффициент ао чь О может быть выбран произвольно, остальные коэф- фициенты аь определяются последовательно яэ рскуррентных соотношений, получающихся при подстановке ряда (17) в уравнение (15) или (16). Ряды в (17) сходятся абсолютно и равномерно в каждом круге (г — г,(~)7, лежа- щем в В,. Различные коРни Р=РН Рв ..., 1(г опРеделающего УРавненин (18) дают линейно независимые решения (17) данного дифференциального уравнения, за исключением тех случаев, когда некоторые из них отличаются на целое число. В таких случаях, а также в случае равных корней определяющего уравнения можно использовать известные решения для понижения порядка данного дифференциального уравнения (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
