Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 56
Текст из файла (страница 56)
стянтсльяы; О (Г (зВ есть тогда дейстянтелькзя Функция от ! (В> Если юдин нз корней з уравнения О (з) =0 будет также «оряем урзвнеяия О, (з>=-0, то одни нля несколько !леноз разложения (2> исчезают. Вообще же в случае общих «арией мяогочлены О (з) н О, (з) имеют общие маожнтелк, кк которые их следует сокрят«гь. 8.4-5. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических фуниций: разложение на простейшие дроби.
Вместо применения формул разложения Хевисайда (2) можно воспользоваться разложением Г(з) =О, (з)//2 (з) на сумму простейших дробей методом, описанным в п. 1.7-4. Если /) (з) и Л, (з) не имеют совпадающих корней, то каждому действительному корню з»=а уравнения (> (з) =О отвечает т» простых дробей аида Ь, »« »щ з — а (с — а)т (» — а) щ» где т» — кратность корня з»=а. Каждой паре комплексно сопряженных кор. ней з>,=а чп ио Отвсчает т» проетых дробей вида с+ В« '+ вт» с, — , с, (з — а]' + и* Вз — а)' + ю']* ' ((з — а]* + 4>'1 где т» — кратность корней з»=а ч (ю,,е '[Г(з)) находится как сумма обратных преобразований Лапласа таких слагаемых (табл. 8,4-2).
8А-б. Разложения в ряды. Если функция Г(з) сложная или если Г(з) задана неявно, например, как решение дифференциального уравнения (п. 9.4-5), то иногда возможно находить е '[Г(з)), раскладывая Г(з) а сходящиеся ря ы яды и берн обратное преобразование Лапласа последовательных члеиоауяда. -! Этот процесс можно также применять для аппроксимации е [Г(з)). часто метод разложения а ряды опирается на следующую теорему.
Л сть ф нкцию Г (з) можно представить в полуплоскщти Ке з) о в виде у у ряда Г„(з)= Е [/ (!)] (В.)па! «=О! 1« 2! .-) 8.4 ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАЕА далее зсе интегралы ~ ~ /» (Л ] е оа' ат гуи(гг>лву>от и сгодится ряд О )/» (/) ] е оа'д!, Тогда ряд ~~ //, (/) сходитсл абсолютно >с функции /(!) »=-0 для всех ! (п. 4.6-!4, 5) и Х[/(/И=Я ~П /»(/)~= ~ 2'[/»(!))= ~Ч Г»(з)=Г() (о)о,),(844) 1„»=0 ] !'=0 »=0 8.4-7. Разложении по степеням !. Если изображевие ! (8) может быть ргачожеио в ряд по отрицателю!ым степеням з сходящийся при, з () г ) О, то при всех /) О ь ь» /(!)=Х (Г (зЛ Ь!+52!+ —, Р+ ...
+» ! + ... (8,4-6) 2) " М вЂ” И! (Ряд справа сходится при всех значениях !.) Разложение (8.4-5) часто можно получать как разложение Лорана (п. 7.5-3) а окрестности точки з=-со или, в случае рациональных алгебраических функ. ций тица рассмотренного в п. 8.4-4, простым делением.
есля я ь) арк !з! ) г предстзяляется схозящямся рядом сч с, с — / — !-- — — — [сч -(- — (2О + — (ж)*+ — (МИ +... и ) 0), (8,4-9> зс>гп(!13!35 »=о Ь 4 3 Ра«ЛО ° ИЯ ПО МНОГОЧЛЕ ЯМ ЛаГЕРРа ажл«Я фу„кцяя я (з) = О' Л (>И (а) о ) ес ЯЯ Я точке с=ах может быть Резложекк Я Яб олютно щцяй „ тспсякч хяя а) а; соответствующий ряд Тейлора сходится для ! х ~ <1, В частности, для а =О ячобрежснне /'(з) ма!к«о представить я еяде !» Г(з) (1 — «) кг г х = —, гг с з+ '/ ал " (л+ '/~! (сг) а ), (6,4-11 а ' > »=0 »=0 ГЛ.
В. ПРЕОВРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 254 где (З=О, 1, 2, ...). 1=0 н (-12) (8.4-14) п, если 1(1) непрерывна для (=а~0, Я [6» (1 — а) ) (1)] = с ") (а). (8.5.2) 1 со с( ) [ (() ~й е з З = 1; = О Г ( — А(З) ) 1 ! + (8.4-16) Если осло«ил и. З,«-6 сил»ил»отел, шс длл лс л1и гс«л О 1) О с,).з (1) 1(О=.О '(Р(»П=«-'12 ~ З.= О гДс ЬЗ (1) — ползиомы Лзг«РРз, опР«Деленные з и. 21.7.1, 8.4-9. Разложеимя в асимптотнчесхне ряды. Аппронснмацшо Я [[ П)] и Я 1[у(з)] иногда удается получить при помощи асимптотичссних ря;юв (п. 4.8-6, Ь).
о(а) Аснмптотнческое рааложен ие изображения. Пусть р(з) =я[[(()] и оригинал ](1) может бь(ть разложен е окрестности тоти 1=0 а абсолютно слодлщийсл ряд вида [(1) ~ с)!Аг' ( — 1()ю(Л«( ... Оэ). (8.4-13) 1=6 Тогда Р(з) имеет ари з со асимптотическое разложение Ъ~ Г (А(ь ) Р (з) У с( ,'1+1 ;=о Р справа формально получается почленным переходом из ряда (13) яд сп ава путем преобразования Лзпласа. (Ц Асимптотическое разложение оригинала. Пусть г (з) = Я [[(Е)] (а) ао) и еылолияются следующие услоеил 1) р (з) ил(сгт лишь изалираванныс особые тш(ки — полюсы и алгебраические точки разггглзлгния, 2) р (з) е лолуплоскости ((е з ( 0 стремится к нулю нри , '61 со, 3) число особых точек з=зз с наибольшей дгйстаитсльиои частью конечно (2=1, 2, ..., !) и ризложгиие р(з) г окрсс(алости каждой а«окой (почки дагтсл рядом С(") (З вЂ” Зз) ' ( — А(ь ( Х» ) ( А(М С ...
СО), (8,4.15) с( 5 — за )=о Тогда оригинал )(П илыгт ари ! со асимптотическое пргдстивлсние где — =О, если Лз)=, (з) = О, 1, 2, ... з С ий частный тип асимптотического разложения важен в связи ледующи с решением некоторых дифференциальных уравнсвий с части мн р ы п онзвод. ными (п, 10.5-2) 66. ФОРМАЛЬНОЕ ПРЕОВРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 255 Если функцию Р(з) в окрестности точки з=0 можно разложить в сходящийся ряд вида Г (з)=-. (а,+а,з А+азз+а»6 1'+ ...)=-- ~~ «ауз(1, (8.4-17) 1=0 а все остальные особые точки г" (з) (если они имеются) расположены в полу- плоскости ((ез(0, то оригинал [(Л имеет при 1 со асимптотическое представление [(7) аз+ Л„( — 1))аз1«1 '.У.(-., 11 (8.4.18) 1=-0 [При переходе от фориулы (16) к формуле (!8) учтено „,',, = — '„"'Г(!+Я,) Более тонкие достаточные условия для справедливости асимптотичесхих разложений приведены в [8.31.
8,5. ФОРМАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ИМПУЛЬСНЫХ ФУНКПИЙ (а) Заметим, что в формуле (8.4-13) и в аналогичных разложениях в риды обратное преобрааоваиие Лапласа отдельных слагаемых, равных а, аз 1*, аз, аз 1', ... „строго говоря, не существует, так как зги функции не стремятся к нулю при з — со. Бо многих приложениях члены такого вида могут появляться под знаком суммы или интеграла, несмотря на то, что сама сумма или интеграл имеют обратное преобразование Лапласа. (Ь) Еони применить преобразование Лапласа (8.2-1) к определениям импульсных функций 6(1) и 6. (7) 1) и их «производных» (пп. 9-4-3 и 21.9), то получим формально«г результаты: В' [6 (О] = '/з, Ж [6 (!)] = 1, Я [6; (7)] = ж у [6„.
(7)] зз ) ,У [6 (( — а)]=- о [6+ (1 — а)]=л-оз (а ) О), ~ (8,5.!) .~[6' ' П вЂ” а)]=,У]6(з) (! — а)]=с л'зз (а~0, («=1 2 ) Равенства (!) и (2) употребляются во многих приложениях, хотя нельзя забывать, что зти соотношения не имеют строгого математического смысла. Новые результаты, полученные применением равенств (1) и (2), должны всегда проверяться с точки зрения законности математических действий *) (см. также п. 8.2-7 и 21.9-2, а). ') ОДиостороииза импУльснаЯ фузкциз 6, (1) более поДхоДит ДлЯ потРеб зл з связи с односторонним иреобразозаиием Лапласа, чем симметрическая импульсная фузиция 6 и). «) В нзсюхщзс время большое разлитие получила теории «обобщенных» функции, зхлюзающая з себя затронутые здесь вопросы (см. 16,61, 116.61, 121,6!).
88 ДРУГИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 8.8-1. Б.в -з. 256 ГЛ 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ч 1- и и и а я ы и ч и сь О ь о ы ч Л,1ЧНП= ] «-г(аф(0 о (8.6.5) КаРн в т. Кари 8.6. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 8.6-1. Вводные замечания. Преобразование Лапласе (8.2-!) есть функциональное а еобразоганиг, связывзющее .точки» Е(з) в пространстве изображений с «точхами» 1(() в пространстве оригиналов (см.
та жс п . Р 15.2-7). Табл. 8.6-1 и пп. 8.6-2 — 8.6-4 знакомят с нехо!орыми другими функциональны»~и преобразованиями (см. также п. 4.11-5). 8.6-2. Двустороннее преобрвзоввиие Лапласа. (а) Двустороннее преобразование Лввлзсй ХВ У (!)1 = $ [(1) г-Ы й = Х [[ (7): 3]+Х [[ ( — !); — 3], (8 6-1) есть заманчивое обобщение преобразования Лаплвса, применимое, подобно преобразованию Фурье (пп. 4 11-3 — 4.11-7), к задачзм„где участвуют значения [(1) для (СО. Х [7'(1); з] сходится абсолютно тогда и только тогда, когда оба интеграла Х]1'(1)1 з] и Х[7( — (); — з] аб«а.(юа!но схадшчсл, так что оолзсть абсолютной сходпмости, если она существует, есть лагоса в з-плоскости, определенная двумя збсциссами абсолютной сходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
