Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 54
Текст из файла (страница 54)
~ с (в) ввсдв, если последний Зяс о, — 1со существует; в противном случае 11 (1) есть главное значение интеграла по Коши (п. 4.6-2с Ь). 8.2-3, Область онрсделения. Область определения аналнтячсской функп щ Г (в] = Х [1 (с]] (а ) ав] (8 2 3] обычно расширяется при помошч аналитического продолжения ( .
7.8- ! 7 во (пп. . - и .8-2) до полной в-плоскости, за исключением особых точек (см. п. 7.6-2), расположенных слева от прямой а=а,. Такое расширение области определения всегда подразумевается. 8.2-4. Достаточные условия существования преобразования Лапласа. Пре. обр завопив Лапласа ~ [1 (с)1, определенное формувосс (1], суи!ествуепс в смысле абсолютной сходсслсоспси (п. 8,2-2; със. также п. 4.9-3)с 1) длл а - О, если ] [1 (С) [ ау сухцествуе; о 3.3-2.
ВОР7, ГЛ. й ПРГОЕРАЗОЕАНИЕ ЛАПЛАСА 23О о ! г Е+ 1 х ) о ф Я' 4- О + гь й й и О о ]г гь [в О Е о О о 4 а ! О Ф 4 Ф Ф Ф Ф о О. о й й О. о Ф О о гч х гг о Ф 4" й о ю Ф г! и о о л х Ф о д й йо о. ФА .' о В о Ф «3 ь О Ф и ОО. ь, Фа Ф й' о о 'г х Ф о О и [ 8 й о В й о с щ г 4' й Й оо и й о й ][(1) ) й! существует, та о «$й О 4- а г с йл-7. Существованне о рат«ого .. след гт обргтгть вгп малое иа то, что существовггие предела (4) еще не носта ( ! Р з =е .! Сул)сствовагвг имело обратное преобра гаванне Лапласе.
П р и м е р! ' (з) =-с ! ного применения теоремы Обргще«ив. )л- [!' (зП АОл олжго быть проверено дла каж о о ч«ые на ле неабкодимыс) исказил длл са 4гопгагалил дующие теоремы дают дгстаточнис (на ле неа ко им с .Е'- [Р )] а и «меегп лсрлдак < — 1(п. 4,4.3), т е 1. Если Р(з) алоэ«тик«а длл аги са '[Р(зЦ сащсстагсг; сно нгпрсригнс д,гл гсет и,г() =- ! ! ! =-О[г ) при! со и сагтгсагстгающ аюте ющал абсцисса абсолютной скгдима сти есть а .
Згыетим. что а' «ри этик есгагилк фар«ага (4а) спраесдгига и 4[к(зП=О дт !х О 2) Пасть Р(*) =Е (Р (з), Р (г),, Р (з)), тасс чтг 4р (г, г, „„г аполитична отлсситсльло каждсса г), и р . ° =- =, =г =О, и г агни «агю дклг =-г =, .=г„=о, и РА (з) =3~ (], щ) (а~аа 1 3=1, 2...„лп тогда да — 4 [ни)] срщгстгаст и саатгетстевющге лрг р л гсбразогалие Ла«гаса имеет абсцисса абсолютной скодимасти. 8.2-8. Единственность нреобрааов б ааовавия Лапласа н его обращения. Прсабрадля каждой ' нкции [(), имею ! (!), щгй такое 3 ованис Лапласа (1) единственно для " фу ! (), о, двг нк! ии, (!) и [в (!), имеющие инок преобразование. Образно, вг фу ц л Лапласа, савпадшат для всех ~, за ис !)=! (!) длл всех (~О гдг абе функции а. ! оп еделнется единственным образом по претва мг ы и ль (п.
4.6-14);, ( =, л м ( . 4814 3))~~~вакф Е образованию Лапласа для почти всех ! ) (п,, д ие может иметь более одного обратного преобразования ап ного для всех ! ) О. к ни мог т иметь одинаковое преобразование Лапласа. Рвзлнчнме разрывпме функцгл могут иметь значенкп рнии аем о /(!) и ! = О ммеет пре ра об гаванне Лапласа 1!з независимо ог значени .
8.3. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ОПЕРАНИЯМИ НАД ОРИГИНАЛАМИ И ИЗОБРАЖЕНИЯМИ 8.3-1. Таблица соответствия операций. Табл. . - д р абл. 8.3-1 содержат некоторые а ие соответствие между операциями иад оригиналами Е ( ) братва Яти ~~цзеыы енения и еобразонаиия Лапласа (операционного исчиси опе ациями над их изображениями пения, основанного на употреблении прео разоваиия 8.3-2. П еобразования Лапласа периодических функций и про Р о игиналон на синус или косинус. п. 4.2-'2, Ь) и Е !'(!) †периодическ функция с периодом Т (п. . -', ) (а) ели !' ( Х([(!))=%,~ [(!)е мй (о~о). (8.3-1) 1 — г ал в и азой части равенстве есть целан функцвп (п. 7,й-й), Замеча не. знптогра разо чвс так что Уэ [! (!П не имеет Особенностей длл конечнык з, за иа минной оси.
м о о Ф и й ч Фц л Ф Ю е и й и гг о и м а О гт о« и Ф о ° гз ДФ гг, о о. й о с л Ф Ф Ф ! н Ф О о Ч Ф 3 а о о. о ь 3 3 СОО ПГТСТЕИЕ ЩЕЛДУ ОПСРА141(я)(И и - 5 о «о ю «ой Ф о о Ли а 4 йя о О,Х* Й«$ й « Фжи =Л ой о, йч о зз соответствие между оперлиияыи З.З-2. 232 ТЛ. В ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА р д еская ф)ннция(п ( 2 г ь) с периадай т /(!-)- т =- — /(!) ) и ! 1/ и) (д! сутестеует, та О 5 и а Т!2 Я У (1П = ~ / (1) е Ю ) фе — ет!2 Х а а с 1а > О), (з.з-и и Ф (с) Если /(1) — антиперводическая уик ин, икцин, псла»нигпеленал длл О<!< Тр.
и функ- гн С 55 и и а и Ф о сн а ! Рз прн /(1) >О, фл и) = д при /(1> (О, а а а 5 5 а 5 гн (с / (!) при / (1) > О, — /и) прн /(и <О, .Т» ( р, (1)) = Сн» вЂ” Е; П (!>) ег е (з.з-е> (е) П е б или косин () р абразаванве произведений оригинал и и у с. Если Г (з) — лрсабраэааание Лапласа длл ! (/), та ав иа синус Ж (/ (/) яп ы!! -21 (р (з — !ы) — Г (3+!О))), Х (/ (П саз го/! =- — (Е (з — 1(а) + Г (з+ !ы)!. ! (8.3-8) 8.
- )(. .З-З . Преобразование произведения (теорема о свертке). Пусть р> (3) = Я ((1 (!)! (а > а(), Гз (з) =Я [)е (/)! (а > аз). (а> О) 5 ( » м н с О и а х (с ) Я (ф д>) = Т!! Я (/ У)) (а> О>. функция Ф (1) а (д) Если / (1) — антипериадическая е ПОЛУНЕНа Е ОЕЕУттан Е ЕС ЕФЛЛЛМЛЕНап. т. Е. р д ая функция, паленттеленал длл О ( ! < Т/2, и Тогда с лн 8 А ч- на — Г) (г) Рз (з — г) дг н — !а» а,( — Гв (г) Р, (з — г) дг (Л > от), (8.3-6) з) (/1 (П/5(!))= (Л > аз) (8.3Л) « й с О а й м а н й 55. 5 м и )лп з Р (з) =-/ (0+0). й й й а. о е х 5 с (8.3-8) (8.3.9) (25 5" а ой ас й й,л Ф с ми «а ам 3 ай Фа Зс с ам а йи и ва мс Е а а й аФ аан Оиа с а с к й 5 Ф а ая й а 5 аа 5 й ив » ме Ф а нй й Ф Ф Фа Ф а й йс аа о$ Оа й е м с(с Ф и и в ю о й м 5 с я й о са й ие ое аа сй Ф 55 х й х Фа ав Ф 5- са а м р„а Фо й хс Ф м и и а.
с а н 5 й й а й а ю а ' ои с х 5- с. с и е 3! х В обеих формулах следует считать, чта Ке5>а а; з я 'Обр»жение праичве и : едения /1(!)/5(1) — аналитическая функния в полупласкастл /из-4. предельные теоремы. если р(з) — лр абраэаааниг лапласа для '(!) и Х !/' (!)! гущетлвуст, лга /:али, кроме того, сущсстауст предел /'(!) лри / Оз, та )нп ср(з) )нп /(П 5 Ш 1 а» ")тек ю к фун цн»о кввыввют еще «функциеа 5 зеркелыла сАвин т и у ы и полувалввмв». ГЛ. 8.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 8.4-1. АБЛНЦЫ ПРЕОБРАЗО Таблвца 84-! 233 Таблица преобвазований Лап!лев (а, 8 и с — различные постоянные) Р (5) ) (е> (е) 0> 1)5 !Е'55 л-1 (я — ! )! ! 1 "пе !,е5 (я=1,2,...) 2 )г(7п 2еееее Нз 5 — (и + Н ) (я = 1, 2...,) 1 ° З 5... Ия-.)>утс »-1 — И) о> Р (а> 5» ! 5 — а ое ( ае (5 — й) 5 ! я (5 — й)" — (*) 6> Р (ы й)» — е тай (й — 1)! !б е»-1 а> (и ы) !2 (5 — О) (5 — Ь) (ае — ьсы) 1 а( Э 13 (5 — а) (5 — Ю (Ь вЂ” с) с + (с — а) е + (а — 5> ссг ае ы !4 !5 (5 — «) (5 — 5) (5 — с) ! 5' 4 а' (й — 5) (Ь вЂ” с) (с — й) 1 — пп а( а 16 СО5 ОЕ 5 -1- й 1 5 — й" 1 — 515 а( О 5 з* — й* !8 сь ае ! з (з'+ а') ! 1 — (! — сО5 йб аз 12 (8.4-23) 1 — (а! — Ып а() о' ы(ы !. а) 1 где ! а)-1 (5 — 5 )»О (5) (] 1)! (От» !)! гз) ( ) 5 = 5» 1 — (5>п йе — й! сО5 а!) зйа 21 (55 ! Оз)а 8.4.
ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА 8.4-1. Таблицы преобразования Лапласа. Табяицы р р и еоб аэования Лапласа имеются во многих справочникнх, на!)ример, [8,2) [ . 1. 8,71. В табл, 8.4-1 и приведены наиболее часто встречающиеся преобразова!еня 8 4, 4 о 8.4-2. Вычисление обратных преобразований Лапласа.
В пп. описываются различные приемы отыскания оригина .,'( ], ла,' ((], соответствующего заданному изображению Е (5) (см. также пп, 9.3-7, 9.4-3 и 10.3-2). [Р '(5 ] за анее неизвестно, то результаты, 3 а м е ч а н и е Если существование Х [ М>] р полученные применением теоремы обращения (8.2.4), должны быть проверены Особая осторожность река асндуется при применении разложения н рпды для полукое е и веке схоцяще св ! [Р! Ь -видимому, непосредственное асимптотичес нл д е азложення могут не привести к правильном> реэультз у, ( ) т, если Г 5 и )(е ие удовлетэое б ,ые) условия для справедливости раэложсння Некоторые достаточные (но ие необходимые) условя чаях, г е екция ) ра сны в пп 8 4-6 — 8 4.2.
Бо многих случаях, где еру.екцеея ра в ряд с 1Р(5П и введены в пп. подозревается как [ (5)], то м "' 'У- !;;];,".";. 1 [Р (5)], зто может быть проверено подстановкой з ис од д фи я Р 5) может 4ереициальпое уравнение; поэтому поэтому эвристический леетод отыскания .Л> [ ( ) оказаться весьча полезным. 8,4-3. П не контурного интегрирования. Значение контурного иатернменен грала ( . -, часто уд 8.2-4) ается получить прн помощи теоремы о вычета ( 7.7-3) н леммы Жордана (п. 7.7-3, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
