Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При этом можно будет следовать иь рльиомер гораатнроллть схоянмость послоловлтельнасти пропьлодкых т л и р о ьно в отк ыгоа области В условии теоремы Вейерштргсса последовательность (нл д) н н ря ) контурных интггралов ( ]» (г) йг, где контур С-коночной длш)ы и легкит в Р, сходится Е 1'рамгмгрно к ] 1 (г) йг. 7.3-5. Тео" ео„ема о максимулге модуля.
Абсотстног значение 1)(г)1 фунлцпи 1'(г), аналитичгской в открытои ограниченной области О, не л:сжгт достиоалщ максиму.эа ни в одной точке области Р, если только,г(г) нс конщиатла, гслн, кроме того, функция )(г) непрерывна в замкнутой области О и 1(г)). =.г)1 (ргниье, то 1'(г) ' г)! всюду внутри О прп условви, что ](г) =,.' сопл( уо Если функция /(г) при приведенных условвях не обращасгся в пугж в области Р, го н инни):ум ) (г] не может достигаться внутри области. эг 7А. МНОГОЗНАНИЕ!Е ФУИИНИИ 7А-1.
Ветви, Обобщгеннелг теории аналитических функций является ас- .ь ' п е вей,', [г),,л(г), ... многозначной функции )(г), которые опредется рас- сяются как однозначные непрсрывпыс функцвн в области их определения. токже п. 7.8-1). !лаждая ветвь принимает некоторое множество знзченнй ыу " ' л. 7А.-2. Точки разветвления и разрезы. (а) пуст~ многозначная фуикгшз ) (г) определена вс)оду в окрест ости 0 то . м г=а.
)сключая, быгь может, саму точку а. Тогда точкз а ) от о "и '. и '.* й разветвлеиия (точкой вегвлепкп) функции )(г), если,'' ' ) ости а, гд ой своей нствн к другол, когда переменная точка г опи лщ к) с г 0 замкнутую кривую вокруг гочки а, Если после т-крат»то обхо,г з ' р " дп н том жс вапрзвленнн лгы сг:ова впергы ь.риемся к г'рвоначальной ветви, то число лг — ! называетгя позядком т осли ](г) определснз н точкс разветвления, то зпачепие )(а) есть общее ; ля всех ветвей, полученных при указанном обходе.
('П р н ь ; Ф г(я У г имеет точку разветвлс)шя порядка 2 прп г =- 0; все трн ветви равны гушо в точке разветвления. Фун:гцвя 1))у г так)ке имеет; г а. п рядка при г=с; все трн ветви в этой точке не определены (см. п. 7.6-2, Ь) ) г( Если г=-а — точка разветнлсния порядка гп — 1, то функция Ф (С) =. =-](ь™-]-а) однозначнз в окрестности точки "=О; если эту окр .
с ~ гь нз т секторов лучамв агй~= — 2я]г1т (»=-О, 1, ..., т — 1), то знаясь* я , '*цни Ф(Г) в каждом пз таких секторов совпадают с соотлегству)ощими Сслгг, списывая кривую вокруг точки г=а сколько угоди р'х л п правлении, мы ка:кдый раз будем получать поные ветви, то ) а наз гвзется точкой разветвления бесконечпогз порядка нлн логарифыи- ,лссой точкой разветвления. (П р и м е р: ш= 1п г ври г.=- О.] и (очка г =-.сю есть точка разветвления фупкпип ](г), если начало коорди- г:ат есть точка разветвления для фуннцьи ) (1]г) (см.
(арыке п. 7.6-3). , ' у - сн Р тноо г]гулкг(ия Ф (ы) оучоыооуот и ооо я,оэно дг г(усть д.гл фуо. (ои г г об о ' Р ' ' ' =,г( ), одо г.— -аьв о хоохотго фоулод рооооиооонол ггорлдло» г ыги ог Оо) гглгооог ниль оорсох ог (о.. 7 а)) иои ногьо норд- -, г ( . ",З-:) ргы, ° и Ф ( ) огго.оотоугы и одоог о о оо д, о оьреоогою он оо:- Н .доолым об,ыом, ео.г ' о ) ' ' г= возложу). гггогхог) розог ггь.много оородхо гг ду:ь оо 1(гх '(ь.) омгею ноль оорядхо т —,з и.ги ооогоо лорггух т ори и =1( ь). (г' и слн очка а является точкой рззвегвлеггггя функцпн г(г!, то п се р„*",'(г, может иметь несколько различных групп ветвей, а гдКжс Воган, аивхннтсскне нлн нс аналнтв )ЕсКпЕ в тачке а н для кагоРых 7Л-1.
7.4.5. 7.5 ИНТЕГРДЛЬНЫБ ТЕОРЕМЫ И РДЭЛО)КГНИЛ В РЯДЫ ГЛ. 7. ФУНКПИИ КОЫПЛБКСНОГО ПЕРЕМЕН!ГОГО эта точк .а !е является точкой разветвления. Каждая группа ветвей или отдельнал ветвь определяются выбором начального значения функции 7 (г) ( ( нк ии,'(г), см. п. 7,8-1). При обходе точки а ветви выбранной группы переходят друг в друга; все ветви этой группы имеют од но и то же значение в точке а, или они в пей не определены. Если в окрестности точки разветвленил г=а функция 7(г) имеет несколько разных групп ветвей, то говорят, что функция 1(г) имеет нзд точкой и разные точки разветвления.
Из рнмановой поверхности функции )(г) ( нм соответствуют разяые точки. Для каждой точки а функция 1(г) ыожет иметь не более счетного множества различных групп ветвей. П и . Фуннцця в = )г ! 4- 1««имеет четыре ветви В онрестнастн точны «= —.О эти г,т ,ется распадаются нэ две группы, по две ветви в нзжцай. ример. унн й. Ветви не знай группы ы знэченнеи в: = — ,,' ня объединяются значением в = 1, э ветви второй групп «-е нэждсй группы точка з †. — О является точной рэ' зветвнения ценного порядке. ы.
Лве ветви, обрэзуницие В окрестности точны « = ! ветви рэснэдэются натри груйцы. Лве ветви, рэ егери)те группу, объединяются услсвиеи 1 з )«1 — — — 1 (т д — от э ы =-он зля этш) г руаны точке « =1 служит точкой разветвления первого порядка. Вторая в третья группы, позтчэ!ощиесн нрн условии ", «) 1 —— 1, состоят кэждэя нз однсв .
эннлнтячесной в тсчне «= ! ветви, соответственно прннииэющей знзчеыня в, ,1=1« =1" и в' = — 1'2. Более сложные нрииеры сы. в (7.7). м (Ь) Отдельные однозначные ветви функции 1(г) определены в областях, ограниченных разрезами, которые явля!отея простыми кривыми, выбранными тзк, что ни одна замкиутал кривая, окружзющая точку разветвления, не лежит в области определения какой-либо однозначной ветви.
Выбор ветвей и разрезов для заданной функции 7(г) пе единствен, однако точки разветвления и число ветвей определлются еднпствевным образом. При меры. Для функций в =- )г г и в=!ц «разрезом может сл и ужить любая простая нривэя, соединяющая точки разветвления « = О и з = , р . р, =со, нэн иие, цонсжитель. иэя или отрицательная чэств действнтелыюй оси. нт в =1'1 — «' и в =Дгспц «рвзрезсы мажет служить любэя аресте» Лня фуннцяг в = — е, от езои действительной кривая, соединнющзя точки рэзветвнення — ! н 1, нэ~Рни р, р оси (цроходящнй через таяну « = О или через точку «=с«). для функций ю = 1«1+ «* и в =- дтс1к «рэзреэои мажет служьть, нварииер, отре- зан инныой оси.
соединяющий тачки рззветвленая — г и г. Все ветви мено«сечей она«ивич«сией фунячыи могут быть последовательно получены эиэлытическии продал» ениеи ее энеиентэ (ц. 7.5-!), 7Н-3. Римановы поверхности. Часто бывает полезно прелставить мпого- значную функцию как однозначную, определенную на римановой поверхности. Такая поверхность состоит из некоторого числа г-плоскостей, или члистов», соответствующих ветвям функции 1(г) и соединенных вдоль соответству)ощкм образом выбранных разрезов. О способах построения римановых поверхностей см. (7.2), (7.4). Заметим, что конструкция римановых понерхностей длл произвольных функций может быть весьма сложной и требовать болыпой изобретательности при построении Если функция ш=- 1(г) и ей обратнал обе многозначны, то г-плоскость и ш-плоскость можно заменить соответствующими римановыми поверхностями', при этом функция т=((г] будет определять взаимно однозначное соответст- вйе между точками обеих римаиовых поверхностей, исключая точки разветв- ления.
3 э и е ч в н и е. Рниэиевз цоверхность для иеяогенной аналитической фуннцяи (гон ченисй аналитическим ноедонжеииеи, и. 7.5-1) будет связной; тэнны образам, ивог — -!. , несмотря нв энэнити~насть нэждсй ветви, ~ге является ново«энной энэннтичесвей функцией, = !и е«эсцэ эю- 4( Б е сложный арниер пренстэвняет иногознэ шзя функция в = !и е, рэсцэдэюеле щ эяся нэ бе невечное множество различных однозначных ветвей =э+ 2, ...). Этэ фуияция не имеет точен рэзветвлевия. )(- 2Б5 7.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ 7.5-1.
Интегральные теоремы. Пусть 7 (г) — функция, аналитическая в некоторой обчисти, С' — замкнутый контур, принадлежащий этой области вместе со зоей внутреаностью В, и г-любая точка нз О. Тогда '1 7 (Б) ль=О (интегральная теорема Кои!и), (7.5-1) С г (~) =2П! 1 г= Ль (интегральная формула Коши), ! г 1(1) С С С (7.5-2) Рис. 7.5-1 иллюстрирует применение интегральной теоремы Коши к многосвязной области (см. таюкс ~. 7.7-!).
Равенства (2) выражают функцию С ((г) и ее пронззодвые через граничные гу значения ((г), В частности, Интегральная теорема Коши обобщается на тот случай, когдз на контуре С функция ) (г) перестает быть Рнс, 7.5-1. Теорема Коши для ивогосвязной абнэстн (ан. 7.2-4 и 7 5-!). Обнэсть О огрэннчеиз внешнни контуРом С и внутренниин нонтурэын С„ Сь ... ..., С),; направления абхедэ нонтурсв увезены нэ рисунке: аналитической, оставаясь непрерывной; если функция )(г) аналитична в одно- связной области !) и непрерывна в замкнутой области б, то интеграл (!), взятый по ее границе С, равен нулю.
г ч,И) й х. Интеграл вида „вЂ” 1 —., - Л", где ) 7(ИЛ(= Е ) 7(1) аф С С С вЂ замкнут или незаыкнутый контур и (р(1) †функц, непрерывная на контуре С, называется интеграла.н типа Ко!ии. Интеграл типа Коши представляет функцию Е (г), аналитическую в каждой области, ие содержащей точек контура С. При этом Гт' (г) = ч: И) О свойствах и приложениях интегралов типа Коши см.
2п! ((; — з) С (7.!), гл. 3, й 3. 4( Если функдия )(г) непрерывна з односвятиой области В и раегнщгио (1) имеет место для любого замкнутого контора С, лежащего в О, то ! (2) — аналитическая 5 этой области (теорслга Мадера). Всюду в этой книге, исключая специальные утвержлення, применимые и многозначным функциям, речь идет только об однозначных аналитических функциях или об однозначных ветвях аналитических функций (сч.
п. 7.8-1). 76 НУЛИ И НЗОЛИРОВАННЫГ. ОСОБ!НГ ТОЧКИ 207 206 ГЛ. 7. ФУНКШН! КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (7,5-4) 7(г)= ~ ай(г )ь' где а = --!' '(а) = г 765 й=Ц " 2п(, И вЂ” о) +' и К' — окрухиюсть,' г — а ! =г'. 1-(ан больший круг Кс (! г — а ' нО гс), все внутренние точки которого лежат внутри области, в которой 7(г) апэп:)тична, является кругом сходчыости стегенього ряда (4); гС есть радиус сходпмостн (и. 4.10-2, а]. 1(анбо.)се важные разложения функций в степенные ряды приведены в п. 21.2- , 21.2-12. (Ь) Если М (г') — верхняя граница 1! (г) ' на К', то )ая (=- —, , 'Рт (а) ' ' ( (иеразенстеа Коши).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
