Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 45
Текст из файла (страница 45)
зво ными при некот~рых крее ых у~о~~~х Югельных уревнеявй с ч«стяымн пранзволнымн при ег о Важный честный случай, в котором и ° и г) О, ЧХР(г)=С, Р(' ЧФ ) Чтф ) О ряссметрнвеется в теория потенпнзле (п п. (6.6.!†(6,6-(0) (Ь) Если и каждой точке (г) пространства заданы функции Ч Г (г) = 4п Я (г); Ч х Г (г) = 4п 1 (г), (5.7-7) ф (6) определяют Г (г) и Ге(г), а следовательно, и Г (г), одно! ого Чв Г г =-О. звачио с точностью до такого слагаемого Го(г), для ко!орет е( )=- Ймеют место следующие формулы: л сп ава (скалярный и векторный потенциалы) предполагзются где интегралы справа (ск ние п оизво игся по всем существующими (см.
также п. 15.Б.5); интегрирование пр в д точкам (р) пространства. ГЛАВА 6 СИСТЕМЪ| КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ В глзве 6 дается описание сиалярных и веигорных функций точки (си. !'акже пп. 5Л-1 — 5.7-3) в криволинейных координатах (п. 6.2-1), Векторы будут разложены по направлениям координатных линий нли перпендикулярно и ним (пп. 6.3-1 — 6.3-3). Применение криволинейных координат у:(рощает многие задачи; например, иожно выбрать такую систему координат, чгобы на координатной поверхности рассматриваемая функции была посгояннов (пп. 6.4-3 и 16.4-1, с). Основное внимание в гл, 6 уделяется ортагоматьным системам координат (гп. 6.4-1 — Б.5-1), как наиболее важным для физкческпх приложений.
Представление нектарных соотношений в неортогоиальных иоординатах рассмотрено более подробно в тензорном анализе (гл. 16). 6.2. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ 6.2-1. Криволинейные координаты. Система криволинейных иоординат, заданная в области у трехмерного евклидового пространства, ставит в соответствие каясдой то~ке (х, у, г) упорядоченную тройку действател ных чисел л', х"', «л'), Криволинейные координаты х', хя, хз точки (х, у, г) аи (х', х*, лз) саязаны с ее прямоугольными декартовымн координатаыи х, у, г формулами х =х' (х у г), хе=хе (х, у, г), хз=хз(х, у, г), (Б 2.1) где функции (1) всюду в 1' одпозначны и вспрерывно дифферевцнруемы, б(х', х', х'! причем якобиаи ' ' чь О (допустимьм преобразования, см.
также пп, в(х, я. х) 4.5-6 и 16.1-2). ('.нстемв коариннвт х', х', х' будет а«корто«об (п. 3.(-2( во, вообще говор», не прямоугольной) в том н только в том случее, когда все уревненян (П лннейнм 6.2-2. Координатные поверхности и координатные линии. Условие х' = =.х((х, у„г)= сопз1 определяет координатную поверхность. Координатные поверхности, соответствующие различным значениям одной и той же координаты х', не пересекаются в у, две координатные поверхности, соответствующие различным координатам х', х), пересеиаются по координатной линии, соответствующей третьей координате х".
Каи(дая точка (х, у, г) =--(х', хь хз) из (г может быть представлена как точка пересечения трех координатнык поверхностей или трех координатных линий. 6.2-3. Элементы длины дуги и обьема (рис. 6,2-1; см, также пп. 6,4-3 и 17.3.3), (а) Элемент длины дуги йз между двумя «соседними» точками (х, у, г) = ==(х«, хе, хз) и (х-(-йх, у+йу, г+йг) ж(к!+Ух(, хз+йхя, хз+.йхт) задается г) анечка ), 2, 3 в обюнечеяинк Ю, хб Ы ие являются показателями ст пенн; см тзкые пп, (б,!.2 н (6.(-3. ЕЛ-(. е.з-!.
130 где 1,.= — ер с,= ', 1-1- —;1+— дг ду . дг )г г,, дг дх д.с с' = —.— !+ — — !+ — й дх дг дх дх ду дг 0=1, г, з(, 3 з з У, У 1=1 г=( 1=! г,э, дхэ) зн хг з (=У з з ду д.с' йг1 хэ) з з з дх — 11)( дх ~ч~( дг сг ! ! 1 ! 1=1 дк д»* д„г дх х ! 'дэ у + ,1, ,1 дх( У дх! (1=1, г, з(, д'„( дх! )г г (=! г=! 3 дх, МЕ(д г — я дх( ~~~( дх с=1 3 (=! 3 ду дгг г=! 3 . з 3 дг, Чкт дг' — — Р, дх' д~~; дг г 1 ( — ! гл. б. системы криволинеиных координат квадрата (иой дифференциальной формой з з йзз=йхз ~„.йуг-) йг'= ~э, ~ у(я(х', хг, ха)йх' йхе, (6.2-2) (=(е=! ((, (г= 1, 2, 3). Функции й е (х', хг, ха) — компоненты метрического тснэора (п. 16,7-!).
уинцни рйе рас. а 3.1, Васмсаты кпордпкатаых яавпй, поверхностей в объема в системе крпвплв- псйпмх коердваат. (Ь) Шесть координатных поверхностей, соответствующих точкам (хг, х', ха) и (хг+йх', ха+с(хг, ха+йха) (рис. 6.2-!), ограничивают элемент объела (параллелепипеда) с((г = (,' У' г! йх( йхг йхэ, (6.2-3) д (хп 1', х'! где ') э д(х, у. г( )г4 бе! [и (хг, хв, ха)) ый см.
также пп. . 5.4-7, 6.4-3, с, 16.10-10). Система координат называется пра- 1 г ( т )г, если касательные векторы к коордннатлым линиям х, х, хз, ориентированные в сторону возрастания соответствующих рд ( коо инат (что л ет и ложительные направления координатных линий), обРазуют праинат, ля т айку (как и орты 1, ), й правой декартовой системы коорд ), Д ',хз = О. п аной системы координат якобиэн д(х, у, г)(д(х1,хг,хз)=)/у ) Оппсаввс всктарпмг аасмсптаа лввий и поверхиостей в крвволпасйпмх коордв- 6.3.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА 6.3-!. Координаты векторе н локальный (местмый) базис. В гл. 5 векторные функции точки ф очки были разложены по базису 1, 1, Ь системы декартовых координат; модуль и л и направление каждого вектора этого базиса одни и те же в каждой точке. с и Если векторная функции Г(г) описывается в криволинейных координатах х, х1, хг, хз, то удобнее применять локальный базис из векторов, «асате касательных к координатным линиям в каждой точке (х, х, х ) нли перпендикулярных к иим.
ак к иим. Токае базисные векторы сами являются аекторпаьки фуякциями точки. . В каждой системе криволинейных координат можно указать три способа выбора локального базиса (пп. 6.3.2 и 6.3-3). эз КРНВОлинеиные кООРдинАты ВекторА тзбхица Эд.! Соотношевия между базиснымн векторами и координатами векторов в различных локальных системах отсчета (а! са т тпав зггмдт ! ! к п асвт ра» шага пмг базиса зравоаппсйимх координат г', хк хч (Щ соотпошсапа мсмдт Я, Р, Я, физическими квордпкатамп Р, «оптравах' у' рпаитпымп аоардппатама я! п кпзарпзативчмп координатами я в системе крпаояппсйпыг коордапат х', х*, х'! !33 6.4-1.
(6 Зин з=) 3 ! Рй = У' — ", Р. (й = 1, 3, З), 1,) '! !'=1 3 3-Я вЂ” я Ч~т зх ( мы дх! е' х с' е,= —, (е'е'е'1 ' е' х е' ез= [е'е'е'! е' Х е' (е'е'е'1! (6.3-61 3 3 (6,3-7) (1, а = 1, 3, з). )=(й=) е, = е' = 1, = 1, Г (г) = Г (х', хз, хз) = = р!!1+ рз1з+ рз!3 (6.3.1) в каждой тачке (г) =(хз, хз, хз). Физические коордмнаты аврдзи. анния х ! ез (хь х', х') — ° (6 3'4) е! Х ез !е,езез!' Ез Х Ез ез (х тз кз) (е,е,ез) е, х е, е' (х', х*, я') — = —: = [е,е,ез)1 ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ Т а б л н н а 6 3-1 (ирэйэ !отис) 6.3-2. Физические координаты вектора. В качестве векторов локаяьно. го базиса в ка)идой точке (х', х', хз) = (г) выберем единичные векторы 1, ха, 3), ' ( 1, хз, хз), 1 (хз, хз, хз) касательные к координатным линиишязаи яы!ОЯ ХЗ Каж;(ая векторная функция Г (г) ==- Г (хз, хз, зз) мажет быль однозначно представлена в виде ия.
ловя х' р! = =у! (хз, хз, хз), рз= — рз(х1, хз, хз), (6.3-2! Рис. 6.3-1, Разложение вектора Р по сдннвч. ным векторам 1,, 1и 1и физические коордииа. Рзнв 3(Х, Х, Х вектора Г и локальные базисные то ы ! 1, з х" 1 1, ', з), 1 (х(, хз, хз) могут быть выражены пе- р, р, Г того же вектора и орты 1, 1, й и'юРедственно. чеРез кооРдинаты у х б 3! пр ямоугольной декартовой системы координат (см. табл. . - ). = — = — — — являются направляю- Заметнм, что функции: — .г — .
з п(ими косинусами орта ! г. 1 (т. е. 1-й координатной линии) по отношению н осям Ох, Оу, Ох (см. также рнс, 6.3-1). 6.3-3. Кеитравариантные и «оварнантные «оордииаты р, некто а. В начестве лэкааьвэго базиса можно также выбрать либо тройку векторов е, (х, к', х') им У язз!ы направлениыз по координатным линни, м, либо тройку векторов 64, СИСТЕМЫ О)зтОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНйт ПаПРЗЗЗЕННЫК ПерэснйиКУЯаРНО К КООРДНиатиЫМ ПОВЕРКНОСтЯМ, КажДМО К „Р (г) з!эзгсг быть эредсгавчен в одной из следующих форм: Р (г) = Р (хц х', х'1 —.— Ме, + Г*с, + !'зез = Г,е! -)- Я,е'-(-Я„е' и каа,йой,точке (г) = (хц хк х').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
