Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 43
Текст из файла (страница 43)
-.'--й — ". В случае замквутой поверхности координаты и, и на позе об д т так, чтобы направление вектора»3(направление положительной нормали к поверхности, п. !7.3-2) было внешним по отиаиен Элемент площади поверхности в ~очке (и, о) определяется так: »5=!»5(=~ —,»Х — „~»». дг дг (5.4. 11) В час частности, при и=х, о=у, г=г(х. у) БА-Б.
Криволинейные (линейные) интегралы (см. также п 4 6 10) Д снрямлнсмой дуги С, заданной уравнением (4), скалярн , с алярные интегралы !* 92 (~5 * н!! а я . с с с 37 ~р(г) ° »г= ~ Рх (х, у, г)»х+Ру (х, у, г)»у+у (х, у, г)»г= С у... У, г г= (547) О»< ~(„,<х+„»у+. дз~ С С можно определить непосредственно как пределы с мм ы сумм тем же способом, что п..
-; однако более удобно подставить функции х(<), у(<), г(<); »х!»<, »у/сй»г!»< нз формул (4) в формулу (7) и интегрировать по < Подобным же обрезом онредеяяются н век!явные кэнзояннеен я е ныя ннтсгвзяьн )Ф(г>дг 1 )Ф(х,у, я>дх+! ) Ф(х, у, я>ду+Е)Ф<х, у, я>дз= с дг 1 д» Ф(г> —,— ш= )(Ф(х, у, г>--!+Ф(х, у, ю> — у>+Ф С 3> (х у з> в и гй Г <г>хдг= ~ Г <г>х-( и= дг и с С (дуля — Я до)4-1 ~ (Я дх — д дз)+К ~(Я дУ вЂ” Р Лх)= К и ЛО д» С 1(( — "- -'-я') ( -"й-,,'-,) за хо<71+> р — )К~)д<, <649> хд< Я ой 17! «.5, диюшпргнцидльнып опгрдторы ам.т зл-г.
!70 Гл. 5. Векторныя АнАлиз (Ь) В альпейшем предполагается, что площадь " ( .. - ) а ь," с(5 (п. 4.6-11) рассмад ти 8 с шеста ет; в этом случае формула (1О) определяет 4 Ь' Скаля ве тн е элемент с(5 почти всюду нв 5 (п. 4 6-1, ), калярпы )Ф(г)с(5 и ~Г(г).с($ п векторные поверхностные интегралы Ф (г) с(5 и ~ Г (г)Х((6 (5,4-14) от функци (г) и г, з да й Ф( ) Г( ), за анных на поверхности, могут быть определены непосредственно как пределы сумм так же, как в пп.
О бнее применить формулу (!О), чтобы выразить кажды поверх- днако удо постный интеграл через двойной интеграл по координат м и, ( п. 6А-З,Ь), Иногда в форь(улах (13) и (14) вместо одного знака интеграла пишут два, например ~ ~(г) () )~ Ф ( ) ((Я. Скалярный поверхностный интеграл ) Г (г) с(5 называется потоком вектора Г (г) через поверхност в хность 5. Заметим, что Г (х, у, г] ° с(5='!) Гг[я(у, г), у, г[ с(ус(г+ 5 +) ) Рр [л, у (х, г), г[ бх с(г+ ~~ Рг [х, у, г (х, у)) с(г ((у. (5 4- ! 5) В первом интеграле независимые переменные и=у, и=г, во втором иптегФормально к такому же результату приводит запись с(5=бр г 1+ и )+(( с( й, она требует специальных оговорок относительно смысла с(х, с(д, с(г. Об интегралы (см.
так)ке п. 4.6-!2). Если дана область Ч в трехмерном евклпдовом пространстве, то скалярный объемны( гр ~Ф(г) с(Ч=))) Ф(х, у, г) с(хс(ус(г (5.4-!6) и векторный объемный интеграл ~ Г (г) с(у=Я [Рг (х, У, г) 1+Ру (х, У, з) [+Р,(х, Го г) й) с(хо(У сэг (5 4 17) р р и в п. 4.6-1; могут быть определены как пределы сумм тем же способом, что они могут быть также выражены непосредственно через тройные интегралы по х, д, г.,О применении криволинейных координат см. пп. 6.2-3,Ь и 6.4.3,с. 5.5, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 5.5-1.
Г аднент, дивергенция и ротор; инвариантные определения. Граднр д еит скалярной функции точки Ф(г) =Ф (х, у, г) есть векторная функция точки, опредсляемая формулой ) Ф (гс) дз йгаб Ф (г) выЧФ им !цп (5,5-1) 5 О ) ду !', где (11 — сблгстэь содер)кащея точку (г), 51 — замкнутая поверхность, ограннчлвшо чзя область Гн 5 — наибольшее расстояние от точки (г) до точек.ион. рхнсстп 51. Д1мсргепцнн векторной функции точка Г (г) есть скалярная функция точки, определяемая формулой [дз Р(г,) 6)у Г (г) ь— ц Ч Г= 1;ш 5 5-0 [ др Ротор ве тор) ои ф)пкппи точки Г(г) есть веюпорнпя функция точки опредсляемэя формулои ) д5хр (г,) го1 Г (г) = Ч Х Г = 1пп (5.5-3) д-н )', 3 э меч»кис, В «вскдоя точке, сдс сущсствуст всксор ктвд Ф (г) Ро, ого модуль (5.5-4) рэвсн ив«больш«Я нрокэволноа но вэлрэвлснвю дФсдэ в этой точке, э его нэорввлсн1в овиэргст с нэлрэвлс11«см в ното1юм этэ нэнбольшвв нрокэводнэн достигается(j.5.5-5,с).
Пскторкыс линки нолв Ьсвд Ф олрслслнютс» уравнениями дг Хтш =. З дл: др: дг = —.; —: --. дФ дФ дФ (5.5-5) дг ' др ' дг' Лилии града иша, олрсдслвсмыс этим» урэвнскквмн, нсрпсндккулврвы к повеРх- но"эчм уровня (5.4-2). 5.5-2. Оператор Ч. В прямоугольных декартовых координатах линейный оператор Ч (иабла) определяется формулой Ч== — ! + — )+ — й. д . д д дл др дг Е:о применение к скалярным и векторным функциям точки формально соответствует яекоммутатнвной операции умнохсения иа вектор с декартовыми координатами д!дх, д)ду, д(дж д дг (5.5-7) (С Ч) Г= О др + О др др =(С ЧГ ) !+(С.ЧГя) )+(С.ЧГ») й ~ В таблице 5 5-! приведены правила действий с оператором Ч.
ЧФ (х, д, г) ив н йгаб Ф (х, у, г) = —. ! + — ) + —; й, дФ. дФ. дФ дг др др др, др Ч Г(г, Г, г) = — б!у Г (г, у, г)= — л+ — "+- — ', ЧХГ (г, у, г) шго1 Г (х, у. з) й д д ди дг Рр 5.5-З. з.з-з. зз ДНФФЕРЕН>п[АЛЬНЫЕ ОПГРАТОРИ 173 ГЛ. 5.
ВЕКТОРНЫН АНАЛИЗ 172 Т в б л и ц в 5.[-! Правила действий с оператором Ч (5.5-12) (5.5.[4а) (5.5-17) (5.5.18) правила повтор- (5.5-19) [в) Линейность (н = сапе[> Ч (Ф+Ч") ЧФ+ Чцй Ч [оФ) =и ЧФ: Ч. (Г+б)=Ч ° Г-';Ч ° б; Ч. (пГ> =от ЧХ(Р+б)=ЧХГ+и хо; ЧХ(ор) оо ну.
[Ь> действия с произведениями Ч (ФЧЧ = Чг ЧФ + Ф т>иг> Ч(Г б) (Г.ч)б+(б Ч)Р+ГХГЧХО)+бХ(Чхги Ч ° (Фг) Ф Ч ° Р + (ЧФ) ° Г; ч ° [гхб>=б ° чхг — г ° чх б; (б ° Ч) Фг = Г (б . ЧФ) + Ф (б ° Ч) Г; Ч х [Фг) = Фч х Р + ЧФ х Р: Ч к (Ркб> = (б Ч) Р— (Г ° Ч) б-,'-Р (Ч ° б) — б(ч ° РХ (О Ч) Г = — 1[7 х (Р и б) + Ч (Г б) — Р (Ч б> + б (Ч . Р)— [б 2 — гх(чхсн — б х (чхгН ннн, са ержзщне ЧФ. Ч.Р и Чхр, не згвнсят ат Ззметвм, чта векторные соотношению сад р выбора системы «аардинзт. Выражение аперзц Ч нйч,ч н х вр каардннет см. з гл.
б н п. >З [О-т. 6.5-3. Полны диффер н й ффе е цнал, полная пронзводнан н производная по пай иффе енцнал г(ф скалярной функции точки Ф (г), соответствующий перемещению точки [(г ю[(г(+г(у)+[(2, есть уф дфб ( дФ[(у ( дФ 1[2 [(г йгзб ф ([(г Ч) ф дг (см.. ' лф>д( ф нк, ци ф(г) вдоль кривой г=г (() есть . также п. 4.5-3,а). (Ь) Полная производная у скорость изменения функции Ф(г) по отношению к параметру 1, когдз г изменяется как функция от 1 (см.
также табл. 4.5-2,а): УФ дФ дг дФ Лу дФ сг !'Уг (5.5-9) д[ дг л[ + да 37 + дг л[ (д[ где г=г(1) или г=кЯ, у=-у((), ггм ((). Зз мече и не. Если фуннцня Ф явно зависит ат 1, т. е = г,, то (5.5. > 0> с) П оичводиая по направлению г(Ф([(з от скалярной функции точки Ф(г) ф и по отношению к величине перемещения з точ- есть око ость изменения функции по о б н авления, Если направление задзноеднничным в век- Ы нап являющими косинусами соз а выб анного направления, ТО ОМ Пс— н Ссзаг [+Сев ау!+С[ИЯ С Н Р савау, совах (п. ', °, а, т ( .
3.1.8, а), то производная по атому направлению равна — — .+ —. Сова + — созаг=(п Ч)ф; (5.5-11) гй дг "' ду' У дг [[Ф!г(з есть полная производная от функции Ф(г) по длине дуги з кривой, касакнцейся вектора ц =[(г/[(з. (б) Пачный дифференциал, полная производная и производная по направ. лснию ог векторной функции точки Г (г) определщотся аналогично; (г(г ' Ч! Гг>+ ([(г ° Ч) Г 1.> ([(г .
Ч)Г = [[Гг 1+[[Еу )-[-[(Гг й Сй ' ! "= ( д[ ' Ч) Рл 1+ ~11 ° Ч1 Гу ! [- (,—, . Ч) Г й лг = —" 1+ — У)+ — 'й, д1 щ ("'Ч)Г=(п'Ч)Г'+( Ч)Гу)+(и Ч)Г й= у г = — >+ — )+ — й и=- — . уз дг дг р з дные «ысюнх порядков по напрззгенню Ряд тейлора Произ мулами порядка л от функций Ф и Г па нгпрввленню еднннчкага вектора н определяют ф ,[л лл — Ф[г)=(» Ч)иФ(г) и — лр(г)=(Я Ч)лу(г) ,[зл (5.5-! 3) Если рзссмгтрнвеемме нные ряды схадятсн, то (см, также п.
4.>о.б) Ф (г+ Ьг) Ф (г)+ (Ьг ° Ч)Ф(г)+ — (Ьг Ч)г Ф (г)+... = ! 2! (Ьг Ч = г ' > Ф(г) Ф (г) + Ьг — Ф (г) + — [Ьг)' — Ф (г) + ..., У ! де дз 2> йм (г ф Ьг) = Г (г)+ (Ьг. Ч> Р (г>+ ! (Ьг ° Ч Р(г>+Ь г(г>4 — [Ь > ! (>+ ),[г дз Ра водные па нзпрзвлепюа беРУтсЯ в точке ( ) в и,ы 6.6-5. Оператор Лапласа. Оператор Лапласа (лапласнан) Ч'=Ч Ч (обпзначземый иногда через Ь) выражается в декартовых прямоугольных координатах формулой (5.5-1о) (другие выражения см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
