Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Кан модули, так и исправления базиснык вэ!аорэв е,, и е меня!отса от то!ки к точке, за исключением того случая, когда кц хц х' — лс:щртовы координаты (п. !6.6-(„а). контравариантные координаты р = я (х(, х, хз) = Р е н ковариаитиые коор!' ! з г.ипаты я,. = — гс (хь х*, х') = — Р ° е. и = 1, 3. 3) в системе !,оординат з', хь х' и соот! а тстаующие базисные всгторы е, и е ма~у~ быть выразкены пспэсрсдстеенно через Р, !',.
Я и орты 1, 1, Ь прячоугоиьной декарта зон системы коордиьзт (гзбл. 63.1) з' я' г Огне!им еще фэрмуиы (см таккы пп. 16.6-1 и 16.3.4К (е,езе,)= (е'с'е'1 ' = ВгЬ(,! Уя зя зсм = -! у' я! ! 1 прн (=Я, е ° е,=я.;, )е 1=)гя.. е..е О при (Ий. (6.3-3) В част!ам случае прямоугоиызых декартовых координат х' = х, х* = — я, х' — з имеем.
ез = ез =!з = 1: еь = ез — 1, И (О.З-О! Глаааое преамузчесю о предсгавяении векторов в контраеарнантиык н кэеариантиых коорднн зтах за.лзэча зса в относится ног просто со тнэ ие !ай, свизьжающих згк координаты в рззяичныт системах координат (тайн, 6.3-1, см. также п. 6 3-4). 6.3-4. Запись векторных соотношений в криволинейиык координатах.
Каждое векторное соотношение, записанное в гл. 5 в паямоугольных декартовых коопдинатах, мажет быть записано в нриволинейных координатах с п!. з.ощыо табл. 6.3-1, Если рассмчтрнваемае соотношение содержит производные или интегралы, та следует учитывать, чгпо базисные векторы з гиапгмг криа)- шисикых координат сами яоляютгя функциями точки. Многие практически важные задачи допускают применение системы ортзгоиаяьиэы координат (и. 6.4-1). В ятом случае формулы пп. 6.4-! — 6.4-3 и табл. 6.4-! — 6.5-1! дают сравнительно простое выражение для векторных соотношений непосредственно в физических координатах, В тех случаях, каг- А.! такие специальные методы непригодны, целесообразнее применять не физические координаты векторов, а контрзвариантные и ковариантные координаты; формуяироака сооишо агний гехи!орного аиияиза О контразариантиых и яоаориаятных координатах изложена подробно з гл. 1б как частный слушай более общих соотэбисиий тгязоряого анализа.
В частности, применение Формул пп, 16.3-1 — 16,8.4 для вычнсясния скалярного и векторного произведи!щп н прямой метод хе!ириски!кэгэ аиффснгикирэтэ ч (пп. 1616-1 — 16,10-8) дают выражения дая днфференпиальных операторов тнп.! тйн ф.г, фхр. 6.4. СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ. ВЕКТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ 6.4-!. Ортогональное координаты.
Система криволинейных координат х), х', хз (и. 6.2-!) называется ортогональной, если функции д!ь (хз, хз, зз) удовлетворяют соотношениям ды(х', хз, хз)=0 при !'~й в каждой точке (х', хз, хз). Координатные линии, а значит, и векторы локаль- НОГО баЗИСа !1, )з, !з, бУДУт ПРИ ЭТОМ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ ДРУГ К ДРУГУ 6,6, СПЕПИЛЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНЛЛЪНЫХ КООРДИНЛТ !84 гл.
6. снстемы криволингнных координлт 185 Таблица 641 Векторные соотношения в ортогопальных координатах (Зевки плюс в мину ус относятся к правой и левой системам ортогоиальиых координат.) (а) Скалярное и векторное вроизаедеиия Г О = Рто, + Райт + Р.йг) ! Г ) = УР[ + Рза + Р;. 1,х),р, д. 1, 1, 1, Г ХО= )Х)т Га Оа —" Р Р» Р, О, Й,~ (рои) Р, о, Й, Н,);Л=-е Р, д, В,, Р, д„й, Р, да й, (Ь) диффереициавьиые овераторы ') (Х Хыйг*йат) ' =+В(" ~'Е) Ыр ~',— '..).— '. Сч':,'..)1 тга д д.т' Рг 11 хи д д дхг дха Р, )гаы Р, Гх.. тх Г=ш— )гх дФ Га дФ Рт дФ) (Г Р! Ф Яи + [ — ' — + = — + — - г, [,уатг сш )гйы д' )Гао дха)' из об!гаваи о..
- . ы и. ! .10-1. П иыечавве. ориувыдв Ф вы див ТФ, р ° и ирх и могут быть оолучеиы и иеоосред. об м, стасово из ииваривитиых оорс е е р иых определений и. 5 5.1, вримеиеяиых к ввеиеитариому ьему, взобрввтеяиоиу ва рис. б 2.1. в каждой точке; каждая координатная линия перпендикулярна ко всем коорди. ватным погерхностям, соответствующим постоянным значениям рассматривае.
мой координаты, 6.4-2. Векторные соотношения. (а) В табл, 6 4-1 приведены наиболее важные векторные соотношения в ортогоиальных координатах. Фуннпии 8(г=йи(х, х, х)=:, 1, з, х')=:)е )з для каждой системы ортогопальиых координат получают из формул ' ( . - ). ф рмулах знаки пл(ос и минус относятся н правой и левой системам координат. (Ы Д ш любой вистами оррюганальных координат: — -')-- ! ПРн (=)г, 1, Х 1з= Д 1з) 1з Х 1з= - 1„1з Х 1,=-ь 11, О при 1 чь )г; 1 11 Х 11 = !з Х (з = !з Х (з = О; [1,1.(з) = Ш 1; й = е; = 1- )Рйгг! ег) Рг = )г 811 Р' = -+- ..... ; (' = 1, 2, 3): (бмн3) )Р а,, [ееаез[=-[еезе[ 1= [1,1,1,) )г Еыйыйш= -1-)' 8, '(64 4) е1 + еа + еа — = ж — 1! — + — 11 — — + — 1з — 1 (6.
4-5) в д д г ! д 1 . д 1 д ( дх' дкс дх' [)~аи дхг )Рй„дк' )г йтт дх,1' 6.4-8. Криволинейный интеграл, поверхностный интеграл и объемный инте- грал (см. также рнс. 6.2-!). (а) Для спрямляемой кривой С векторный влгмвнт линии дг имеет (риэи- ческие координаты дз,=)'8!! дх', дзз=) 811 дхз, два=)уйш дхз, т. е. дг=-7 д( =дх(+бр [+ (г й= й, 1,+(Ь, 1,+йз, 1,= дг =Уй!!дх! !1+Р'йзтдхз 11+)'йзадхз !а (бн 6) Подходящее выражение (6) для дг должно быль подставлено в крлволинейвый интеграл, определенный в п. 5 4-5. Для оргноганалыгьы координат хг, хз, хз ~ Р'дг=~ Рт дуг+Радуг+Райха —— ~ (Рт в(+Рз,гг+Рз дг)д( (бхн7) С Заметив что для гюбой сиггигмы криволинейных коордггнот дг = е, дх' + е, дх' -)- ет ах' (си также и. )т.2-И для ортогоколеимх коордииот хь к*, ха [ Г ° аг = ) Р, Вк'.1- Р; тх' -)- Р, Лха =) йыр' дх' + аыр'дх'+Х„Р' дг' С С С (Ь) Описание площади поверхности Э н векторного элемента поверхности д8 в координатах на поверхности дано в пп.
5.4-6 и 17.3-1, В частности, если сиснмма орграгональнмх координат выбрана так, что лове()хногть 8 есть часть координатной поверхности «й=сопз(, то координаты х и хг образуют на этой поверхности систему ортогональных поверхностных координат, и дб= ) йнйбдхт дхг )ь4 дзг да) )й= — — дхг дхгей айз (1 ~ ) Ф й Ф 1; й = 1, 2, 3). (6.4-8) Относительная простота получающихся отсюда выражений для поверхностных интегралов (5.4-13) и (5.4-!4) часто служит основным поводом для введения системы крив(ачииейных координат (см. также п. 10.4-1, с). Знак квадрзтного корня в формуле (8) определяется выбором положительного направления нормали (п.
!7.3-2): зван + соответствует правой системе координат. (с) Элемент обьгма й)г, появляющийся в выражениях (5.4-16) и (5.4-17) для объемного интеграла, дается формулой (6.2-3) или д(У= — "' " ' дх! дхвдха=ж )Рй дхг дтадха4 -е Туй!18ззйзз дхг дхтдха= д (хо «г «') = .4. дз( дзз дзз. (6.4-9) Если система координат правая в формуле (9) берется знак плюс. 6.5.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ В табл. 6.5-1 — 6.5-12 даны формулы для некоторых специальных систем ортогональных координат. В частности, для каждой такой системы табулированы функш)и ри(х', х', хв) =! е;,з, Па в в о с + э э о х ь хх П в а а э в о а ь, 1 е О а Р П П .х ь, ь.х ь а о о х Я а х х» -)а а 1 1 а а ь, е э |" » ! |ьь Е!а ьх П ,а,э х ь с с — о в э ! + О о Ф О О Ф Ф Ф ь Ф с о ь, ь и х ь Ф Ф с о э в с с Ф ь + е в о о Ф Ф о х Е'о с % » Ф »П О а х х М в В Ф ь + е с х и П ! + е! о ~'ь П 1ь х х О ПП» О," .* В'х ЬХ о!О »» \» а ах о х х » Еах Р \ х » ь ох 6 ьь х За ао ,Р |ьь х а Р М О с | х о х ы К Ф о х я х й3 3 х о а ы ф ь х » ы аЕ о х х а ха х х х "» а а ь Ф! Ф я х й 3 а с о: я х е о х Ф и | х Н о дП х ГЛНЬ СИСТЕМЫ КРИПОЛИНЕПНЪ|Х КООРДИНАТ Е 5 СЛЕП!ТАЛЬВЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ НООРДППАТ 187 >88 (с) Спе ниальнаи борн уланы 2=4~ < > — +Ь + 3 р =4Р (о) '" Ь*+", 3 т=4>о(в) — ' + Щ -<- Ь' се 3 до==, др «7(р> дт дв = —.
«г! (и> ' б =4 [>о (о) — >о (вц [Р (о) Р (иЦ, б = 4 [>о (в) Р (и)] [Р (в> — Р (оЦ. (с) Лапласиан сиалирноа фунхцнн й и и и ГЛ. 6. СИСТЕМЫ КР>ЯВОЛИНЕИ(ЯЫХ КООРЛИНАТ 66 СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРЛИНАТ >89 Таблица 332 Общие эллипсоидальиые координаты >м р, и <ь) Координатные поаерхностн (д) — с'> р) — Ьл) т) — а') л' Ьл г' —.
+ — -<- —,, = ! <еллипсоиды), а' >- г. Ь'-<- а с'-<- л лл уе ге а' -<- р ' Ь! -<- р с' -!. р = — — — = ! (одлололытиые еилербол аде), а х' ге — + Ь е„-~-,, = ! <деулоыхглные гиперболоиды) (Ы Преобразование н аллппсоидальны» ноардипатаи х' = (о' -<- ». (о' + щ <ое <- т>, (а' — Ь*) <а* — с*) <ь*+ М <ь*+ р> <ь*+ ). (Ь* — с') <Ь* — а') (с' + д) (с* ->- р) (с' ' т) (с* — ае) (с* — Ь') система этлипсоидальиых хоордииат и о в аиодитси тал что (слг. п 2!.6-2) ди =-— дь > ((2> где ! (() = (ое.<- Л (ье + О (с* .«- ). ()б =,3 д (Ь вЂ” р) (д — т) <р и> (р д) а (' д) <т р) Д 4! (Д) ' РР 4! (р) ' тт Я! (т) 3 = я [Р (и) — р (оЦ [[л (и) — >о (вц, (р — т>(р — Д> др [ ! <Р др ] + <ч — Д)(т — р) дт [ )<т> дт ] ! д*Ф 4 <[Р (и) — >е (оЦ [>о (и> — Р (еЦ ди + [Р (о) — Р (вЦ [Р (о) — >о <иЦ дар+ ! д'Ф> [>о (в! — >л <иц [р <в> — дг <сц двл! ' !99 Т а б л и ц а 6.5-3 6; у = а* зв* и з(о' и.
'РР 6 =3 =а ( Ьзи-1-юп о), ии эо (е) Лапласнан си«парной функции ГЛ, 6 СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕИНЪ|Х КООРЛИНАТ Координаты 6, т, 6) вытннутого эллнпсонда вращения (ась Ог — ось вращения; см. также рис. 6.5-Н Рис 6,5-1 Ортогоиальнвя састсма софояусвых зллвпсов и гипербол с фо«усама Р, Р', Зги «ривые определяют систему эллиптическик «оордвнат на пласкоств в порождают каордииатиые поверхности в следующих системак «оардии*т; 1) вытяиутого зал ниса«де вращен«я (если эти кривые врвп<аются вокруг аси Р'ОР: табл.
6.5.3)! 2! сплюснутого эллипсанда вращения (сели этв кривые вращаются вокруг оси Я'Обп тзбл, 6,5-4); 3) эллиптического цилиндра (если эти кривые смещаются перпенд«кулярно к пло. скости рисунке; табл, 6,5-5). щ) Координатные паверхвостн <а 1 т — 1) хз + уз гз — =1 (емшлиуише з.т.зилсеидм зрощеиоя), о' (а* — 1) а*аз хз .ь (дзуиохостиме гигырбохоиды зрпщгиил), а'(т' — О а)т( у =х 16 6 (лохулхсскосши, проходящие через ась Ог).
псе эллнпсоиды и г«перболоиды имеют общие фокусы (О, О, а) и (О, О, — а); умы* н разность Оюнвльиых радиусов в любой точке (х, у, г) раввы соответственно ( "аа и 2ат. <Ь! Преобразование к координатам вытянутого вллнпсоида вращения х'=-а' (а' — 1) (1 — т*) соз'т, у'= а'<а' — 1) (1 — т') з(и*о, г = аат. (с) Специальная система и, о, Е вводится формулвмв а=сви, ъ сози, Е=т (О и<со О о л, О т<2«)1 при этом х =- а зЬ и юп о соз р, у =- а зн и з(п о з!п и, г = а сЬ и соз и, а' — т' , а' — т* <д! у =а' —,—, у =а',, 6 =а'<а' — 1) <1 — т'); аа а* 1 тт 1 — т*' с Р а' — т* д«Ф) а'(а* — те) (да '1 да) дт 1( 1 дт ) 1 (аз — 1) (1 — т*) дтт 1 65 спенидлъные системы ОртОГОнАльных кООРдиндт 191 Таблица 661 Координаты о, т, |р сплюснутого эллипсонда вращения (ось Ог — ось вращения; си.
также рис. 6 5.1) Т а б л н ц а 6.5.5 Координаты а, т, в эллиптичес«ого цилиндра !применяются также иак (сафокугные) злииилиысчлс хоордииа яы нз плоскости Оху: си. также рис. 6.5-1) (а) Координатные поверхности (а 1; — 1 т 1) х О" а'атз а' (ач — Π— — — = 1 (згхснти токае ци.шидом), о'тз а* (т* — 1) — — = 1 (г гясрболшчгссие Чи.шидри), г = г (л.зоскосши, параллельные плоскости Оху). (Ы прсобразвванне к «оордииатам эллиптического цилиндра х = аат, у* = а* (а' — 1) (1 — т'), г = г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
