Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(7 5-о) л( ' гт а>п-1 (с) Если в ряде'Геплора (4) отбросить ес члж)ы, стоят)е аз а 1(г — а) то о! по!лочнь!й член 7?з (г) равен !'го>лгц(Р) т ~ 7(;) !С )7( (г) ~( ', ' . (7.5-6) (т (,ж()т( Если голожпть ! г — а'=Ьг', где 2~1, то 7?п (г) = —,—. ) ?.б-ч. Разложение в ряд Лорана. (а) Если 7(г) анплитичпа е кольце мсгсд! дз?щч коицгнтр;!чгскйми окружностями К, и Кв с центрами в п(очо) г=а(а к.аэ) и радиусами г, и гг ..
гт, то сущсстеует единственное разложение в рлд по положительны и ой!рации>ельнь!м сттенл.и (г — а) 7(г)= ~~~ ~аь (г — а)" + к~ ье (г — а) й(ге (; 'г — и)(г>), (?о7) ь=о Ь вЂ”.— 1 где Ьй=-'- ) б — а)'1)(ьг)ай 2п! К 1 7(з) аь 2П! )(. ( — о)'2 . ! К; — окрухсность 1, г — а (=г,' ж. г) и К,; — округ!ность ~ г — а ~ =г,', ) г,.
Лереал сумма в разенстее (7) раономерйо скодзтся для ( г-а( ( г,' и аналил!ична внутри КБ нторак суасна (главная часть разложения ддн !'(г)) равналырно скодйглсл дт ) г — а)~г,.' и аналити!ни во виси!ности окружности К,, 3 а м е ч з н н е. Случай е = со приводится к предыдущему прн ломота преобразования г= 1,>г, переводящего г = оо в начало координат. 1( Ряд (7.5-7) можно записать в виде 7(г)= ~,' сй (г — а)ь, се= — „. ) (') срз, Ь вЂ” со 1'( е) где à — любая окружность, расположенная между Кт и Кз.
14 7 5 2 Разложение в ряд Теелора (см также п 4 10 4) (а) Если 7(г) анагитична внутри окрижиости К радиуса г с центром в точке г=а (а ~~ею), то существует гдинственный ряд по степеням (г — а), равно!!ерно скодящийся к 7(г) при ( г — а) ~ г' ( г: (Ь) Если в первой сумме равенства (7) огракичнться членамн по а„, (г — а)з 1 вкл!очнтельно, то остаточный член 7?п (г) будет равен (г — о)" ~ ! ИИ а гп! К, (,' — о)пф — г) ' (7.5-8) ! 7?п (г) , '~ г' ! г' — (г — с( ! ! Если во .слн во второй сумме равенства (7) последнем слагаемым взять Ь„> (г — а) '" ", то остаточный член 7?'ь (г) будет равен И вЂ” е)з! (4) сп! (г — с)п К', й — г )л г!М (г,',) (7Л-9) !!)с (г)|~ г —,г( ) 1! с — г„ 21(г,') н гИ(г,;) — верхнке границы для 17(г), :на !С; н К; соответственно. 7.6.
ИРЛИ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОНКИ 7.6-1. Иулн (см. также п. 1.6-2). Точки г, для которых 7(г).=:О, пазы. птотся нулями функции ! (г) (корками уравнения ! (г) = 0). Функция ! (г), нкап!Иичесхая в точке г=-а, имеет иуаь порпдка т, где т — целой положи- тельное число, если в точке г=-а первые т козффнпиеитов аз, ат, пз, ..., а„ разложения функций ! (г) в ряд Теилора (7.5-4) равны нулю. Прн э-о" 1'(г) :.= (г — а)сг!1(г), где ц, (г) аналкткчна в точке а и !р(а) ~ ~О.
нуле Функпни ! (г), анап!пиязскоз з области О, зсе изолированы др)г и! дру * !т. е, иа>кгый нуль выест окрестпо!ть, внутри которой ! (М .„'. О, исключая сгм нуль), йли ! !г) тождслстьсиио газов нулю з области О. т(. Иначе говоря нули Фуиипни ! (г), не разной тождестзеиио нулю, нз когт иметь нрздельяой точки в сбл сти О. В то же иреыя опи ыогут имать предел ную -,о!«у иа граиипе обласп! О Непризер, пусть Π— круг,' г -, ! н)(г)= Ми — Пула г=) —— 1 — г' г. ют предельную то!иу а = 1. Э( Если !1(г) и,), ОΠ— анолити !егкие в сдносоязной ограни >ганой сб!асти Р и на ее кон!нурс С и если 1)з(г) ) (! 71 (г) / ~0 на С, то функции )1 (г) и )!!2)+?г (г) имею)п гдинакоеое число нулей в области Р (тсоргна Ржй!). Каждый л!носочлеи степени и имеет и нулей с у(е!пом ик кратиосп!и ( славная и!гарема алгебры, см. также п.
1.6-3). 7.6-2т(-. Особые точки. (а) Особые точки однози а чин х аналитических ф) нк- п н й. Особой точкой или особенностью функции 7(г) называемся точка, ь которой 7(г) не аналитична. Точка г=а называется изолированной особен- 1,остью )(г), если существует действительное число Ь 0 такое, что 7(г) ана.р р!а грн 0< ! г — а , 'С б, ио пе в саыой точке г=а. Изолиронаш>ье осо Гмц!йси1 дли г=а у.' сю могут быть такнмн: 1. Устраннмап особенность, если функции 7(г) ограничена в некоторой окрестности г=а, исключая, воамо>кно, саму точку а, т. е.
когда все коэф!Ьнпиеиты Ьа разно>кенни в рнд Лорана (7.5с?) функций )(г) в точке а равны нулю, .)п г 1. р и и е р. ш= — '— '' )нмеет устранныую особенность при 2=0. В дальнейшем устранимые особые точки обычно ае спиаются особым п. 2. Пол)ос порядка т(!п=!, 2, ...), если в разложепкп Лорана (7.о-?) !)>ункцнн ! (2) по степ ням (г — а) Ьт ..Р': О, Ьт„= Ь,п „вЂ”... — 0 7.я-а.
7.б НУЛИ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 200 Щз-г. 208 ГЛ. 7. ФУНКИИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (главная часть разложения содержит лишь конечное число членон). В этом случае !пп) (г) =со прн любом стремлении г к а. Прн этом функция (г = г р( ) = 11! (2) будет аналитична н некоторой окрестности точки а (еслн положить Е (а) = 0) и иметь и зто т у порядка т. Функцию 7(г) н окрестности то !ки а — полюса порядка т —, — можно представить н виде 7(г)= —, где ф(г,' н, — — (21 аналитична и )сл' ф(а) ~ О. П и м е р ы.
ю=.— имеет пол!ос 3-го порядка прп г=2; Р " *"' Р ='!» 2Р ю= !й г имеет полюсы 1-го порядка н точках г= "— +йп (~=,, ...). А=О, +-1,.... 3. С ественно особая точка. если н разложении Лорана (7,5- ,' функции 1(г) имеется бесконечное число членов, содержащ . рущественн ательные степени (г — а); при этом не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции )(г) прн г, стремящемс емся к а. П р и и е р ы. Функции мп (1!г) и е17» имеют существенно особую точку при г= — О, ег(Ь) Особые точки многознзч ного характера.
со ые к мн озпачного характера являются точками разветвления многознач- ной функции ! (г), Определение точки разветвления конечного пор д лога ифмическои точки разветвления дано а п. 7.4-2. '6,', '... сть точка разветвления г=и имеет конечный порядок, равный т — 1, т. е. обьедшщет группу нз т=-2 ветвей функции )(г). Если нсе уст т к Если нсе зти вотан нмюот конечный или бесконечный предел при г — а, то точка и называется алгебраической точкой разветвления. В этом случае однозначная функция (см, й, 7.4-2) (7.6-1) Е (Г) = ! (Гссс-(- а) имеет при В=О лрпвильяую точку или полюс. Если ветви функции 1(г) не имеют предела при г — а, то точка а называется трансцендентной точкой разветвления ч).
В этом случае однознзчная функция Е (С) имее! при Ь=О сущеплвеяяу особую точку. Рззложение функции е (ь) н окрестноатн точки "6=0 з ряд лорана порождает представление многозначной функции 1(г) з окрестности точки раззетнления конечного порядка ! (2) = Я сл (г — а) "7~ (а ~ со). *! Логарнфчнческке тачая рааветвленв» относят к числу т! аксцек,связных.
Если а — алгебраическая точка разветвления, то лин!ь конечное число коэффицпентоп с„с отрицательяыми индексамн отлично от нуля; в протизяом случае и†трансцендентная точкз разветвления. П р ям е р ы Функция ау' т — \ имеет алгебраическую точку разветвления порядка 2 к з = И зта точка есть куль для всех трех ветвей.
орк а. аДля функцнн су ф 1сзуга — ! точка я= ! также является а.чтебракческойточкой р зветлевкя порядка М предел любой ветви нрн з 1 равен со, Соответствую!цая однозначная функння Ф Сзг = !74 имеет в точке 4 = О волюс. Функция хсп (1уху/з ) имеет трансцендентную точку разветвления порядка 2 нрн х=э, Со тветствующая функкня Ф !4) = х1н 1174! имеет грн г =О существенно особую точке Соответствующая Если з окрестности точки а функция !'(г) имеет несколысо разных групп ет ", т. е. если над точкой а лежат разные точки разветвления (см. п. 7.4-2), то поведение каждой такой группы ветвей нужно рассмэтринать нева ис друг от друга; для каждой такой группы строится своя однозначная функ.
ш!я Е (ч). зе 7.6-3. Нули и особенности в бесконечности. Функция 7 (г) аналитична н бесконечности, если 7 (1,'г) — аналитическая з начале координат (п. 7.3-3, Ь!. Точка г=-оз есть нуль или особенность одного нз типов, указанных з п. 7.6-2. если ! (! !2) имеет соотнетстасиный характер н начале координат. Поведение 1(г) н бесконечности может быть исследовано с помо!цыо разложения ((1,:г) з ряд Лорана н окрестности г= — О.
7.6-4. Теоремы Вейерштрасса н Пикара. Пусть 7 (г) — однозначная функция, имеющая изолирозанпую существенно особую точку прн г=а. Тогда 1) для,побшо комплексного числа А (включая А = со) суисс г!пт!г!я поглгдоетясльяос!пь !почек ге а !лакая, что !1пз !' (гв) = А (!лсоргз!.! а со Вс'йгрю трасса )); 2) д.т лсобсго комплексного числа А =доз, за искюонеяисы, быта мох!от, одного зст юлия Л =- Ле, !сождая охрсс!ляосто ляхски а содержит бссхояечяог мяозчсгтво !почек г таких.
с!л!о !'(г) = Л гл!соре,на Пикара). .Х- П р к м е р ы Функция е!уз нмеет существенно особюо точке а:=- З, уравнение с =-л нмсет в каждо! окрсстностк атон тачки бесконссссое число корнея для лю!1х бого,! Фаз, кроме л = — о, для фузкцвн ыо !!!я!, также нмеюя!ей сун!ественко особую ~очку з=з, нсключвтельных значезн,'! для Л неттв 7.6-5. Целые функции. (а) Целой функцией ! (г) называется однозначная аналитическая функция, нс нмюощая особых точек з !соне шой части плоскости. Она представляется ссюду сходящимся степенным рядом 1(г)=-ао+а,г+...+и„г" +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
