Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(с) Специальная система и, о, г вводится формулзмн а =сЬ и, т= созе (О и < со; О и«я)1 6.5. СНЕНИАЛЪНЪ|Е СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЪНЫХ КООРДИНАТ (бб Таблица ббб Таблица 658 Параболические координаты о т р (ось Ог — ась вРащения: см. также рпс. 5.5-2) Конические координаты и, п, га (а) Координатные поверхности зрагигаил) фокусы в начале «оорд у=х! ср (логун.оскосгнгц проходящие через ась Ог). и' щ* — с*) (в — с*) г с' с' — Ы нов «=ч.— —— Ьс дии Таблица алт Таблица 659 Координаты о, т, 2 параболического цилиндра (применяются также как ларабозигескнс коордивашы на плоскости Оху; см, также рис. 6.5-2) (а) Коардяиатвые поверхнести хе аг — = 2«+ аз, (сафо«уса в прялке ппрабозвчсскве цилиндры), ° = — 2у + тг г = г (лгаскасащ, параллельные плоскости Оху).
(Ы Преобразование к «оордиватам параболического цилиндра | г=-ат, у= — — (т' — аз), г=г. 2 (с) у„=у =ах+те, у =|, (б) Лвплзсиан скалярной функцви 7 Г. Кори а Т. Кори ГЛ, 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕИНЫХ КООРДИНАТ (а) Координатные поверхности (с' > оз ) Ьз) ве) И+у'-(-»'= иг (сферы), Ы уз гг .= 9 (конусы, ось которых сова«таст с осью Ог), о' са — Ь* о' — с* «Э у — — — = а щовусы, ось которых совпадает с осью Ох). в* в' — |и в' — с' (Ы Преобразование к каннчесним «оордннатам и* (ог — Ьг) (в — Ьг) у' = Ьт Ь се и* (о* — в') и* «и — вт) Дев= ( * — Ь*) «» — сЧ 6 =(вз — Ь*) П з — с)' Параболоидальиые координаты )ь, р, и = 2г+ аз, аг (софокуслзге лараболоиды х*-)-у' = — 2г+ тз (Ь) Преобразование я парзболнческвм коор- двнатам | х=а'с сов р, у=отз|пгр, г= — (т* — а*).
2 Рис. ь.5.2. Оргогональнзя система софокуснмх парабол с фокусом Р. Зтв ирннме определяют с«стену параболических координат нз плоскости и порождают координатные поверхности в следукпцях системах координатг |) пзраболнческвх (если эти кривые вращаются вокруг осн Р'РР; табл. 6.5-6)", 2) параболнчесного цилиндра (геля згн кривые смещаются перпендикулярно н плоскости рисунка; табл. 5.5-9). 194 Т абл ни а 6510 (! ' + и* — а сГп т)л-1.
77 = ыгоры), ЫР т аыт р=,, — з игр сп т — го. а Для каждой точки (х, р) идущими нз полюсов А ( — а, О) радиусов точки (х, р). (Ы Преобразования а г= сй т хз-!- (у — га)7 а= — 1п 2 х' -1- (р + !а) ' 1 (Х -1. а)з -)- р* т= — — 1п 2 (х — а)' .,'- рь а.Ьт сЬ т — соз о' (с) Д аз(п о сй т — соч гт' (д) Лаплвсиан с '"г! =— гсч т — сот а)л а-'ьЬ т ай лица 0.5.12 Гнпозяриые координаты о, т, гр ось г 7 — ось ра -гян... ь г,кис рв". ч. -т г,п (,* раннатныс поверхности елви дуг \ ! 7)и! а 1 х ил .1- гг -)- а)л т = — !п 2 х' 1-и* . (г — а,п о= — 1п 1)Глл-Ь вЂ” Ы) л Р ()г "т и*т (а1* -г* !к е р аз:и авпа р= сЬ т — соь а' аЮт г— сЬ т — соз а' ГЛ. 6, СИСТЕЛ!Ы КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ Бнкилнцдрические коорднинты о, т, о и дпиичгы на плоскости Охи; (применяются также как билиляаныг «о р сн.
также рис. 6.5-3) (э) Коордянатнь е погерхвостн х*-1 (Р— ае! а)'= — а*(71йза+ 1) (ЛРЯВЫС КРРггмл Цищкдпм), (х — и с1Ьт)'-1- а*= и* (сЬРт — 1) ( ряяыг краги!е ци тыдрыд я = г (ллоскосщи, параллсльныс плоскости Охр). плоскост» Отр о есть угон, образо ° у ванный лучамп, и В (а, 0) в точку (х, р); лт — отношение полярвьх (д! р .р — 7 (сЬ т соя о) ( дал ! д" ) дз7 той с еумя полюсами А, В и сснейстао окру згаостейг Ряс. 6.5.3, Сс гейство окружиостс с деу ортогональных к ним Зтг! кр .р наые опрелелягот яполярн и в следующих системах координат: н поюждают координатные поверхности в сле скости н пор с *. а ля ио к илоскостн !) бнцнлвндряческих (если ( сли этн кривые смещаются псрпскдануляри т е в алаютса вокруг осн О'ООА( табл, Ь.б- ): -11); нок г ~ю Р'ОР! табл 6 5.12), 3) биполярных (еслн эти крнвыс вращгготсз вокруг оси бд СОР(!ИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ 1пд Таблица 6511 Тороидальные координаты о, т,, (ось 07 — ось врал!сняв; см.
также рио. 6.5-3) 1 ш) Координатные «олсрзностн х' Ргг-'.! (г — ас(ЕФ'= —, сдтльп, ып' а р=х !и е !полиллегхои и, прохолзи!ие !врет ось Ог). (Ы Преобразования ааЬ т хз -1- ил -1- Ы вЂ” га) х= со р, а — 1и ск т — сол о 2 .7*.(- !" -г ы ' 1а ' (у'х' Р и- ар -ь г* ч= — )п', 2 (У л' -г Ь' — а)' -1- г* Ыи а !г — со. о' 1йе =— — и О тп, 0 т(ОО, О Е(тж а" !сп .— го оги «"Р 70 — сизым кегчэнон , 'тпкпг и ! -''- ( — "', "-'-О') Ф 17!а,с! ! — соз а Эа л о ( «Ьт дФ~ дт',сЬт со,юга!') -*: ггс1,,о а деба х'+ и* лс ы — а лг *. т)- = —,, (сд сиы), ()гхз ' ' — а с! а)'+ г'= — „(пыгиллогтгч полученные арн арз а: ш:ру иостей (р — ас(, а)л-7- г'= — вокруг осн Ог; так как , 'с'., о з!п' а то окрух носта пересекают ось Олг, д = х !2 е !и лиллосхеали, про о!яг. не через ось Ог).
(з) Прсобразогсннн а 7|и О сол х сЬ т — со: а' — ю<я(со, О а<п, 0 е(йл. а" а'з и'а 'с) Я =!7 аа !сь т — соч ан' (~ра (сй т — соа а)' (Ф Яапласиан скалярная Еуякпнн (с',!т — сото)з( д ( з па дФ'! д ( з!па ОФЛ д'Ф1 а" з!па (дт(сйт — сота дт! дачей.— сиза да/ ыпа(сЬт — со а) дрл) 7.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ (7.2 !) (г=х+(у=-~ г; вгч) г =х+ (у гл, а. снгтрмы крнполннппных коордггнлт П р я и е ч я я я е. Семейство коордякатдих г|озврхяогтей л'=к*(л, в, г)=сопя!, «*=л'(х, о, г) соояц к'=.х'гл, р, г)=своз! ввляегся ь то же время семейством координатных поверхностей я для ь(ех сястяи хоорлг =уз (хг), х = л (х ), х = х" (х ). х В таблицах 6.5-2 — 6.5-!2 не приведены аыраження дли дифференциальных операторов «Э, т" Е и ЧХР я соозяетстэуюших системах координат Их летно получить, пользуясь общими формулами табл 6.4-1 (Ь), так как для всех систем координат даны выражения для функций угг, Полные таблицы выражений для дифференциальных операторов приведены гг5.2',.
Сле 'ет отметить, что применяются различные обозначения для координат; поэтому необходима осторожность при поль о з иянин разными источниками. ем Формулы п, 6.4-3 позволяют получать выражения для векторных эле еиоои лийин йг и поиерхности й5 и элемента объема й)г. Р личные дополнительные формулы (например, снмаолы Кристоффеля) аз могут быть получены с помощью соотношений, приведенных я пп. 16.
16.10-!в — 16.10-8. )е ГЛАВА 7 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Теория аналитических функций номплексного переменного доставляет инженерам и исследоазтелям много полезных математических моделей. Многие мягематические теоремы упрощаются, если рассматривать дейстеительные переменные как частный случай комплексных перемеаных. Комплексные переменные употребляют для описания двумерных векторов и физике; аналитические ,! ункции комплексного переменного опнсыагют двумерные скачярные и векторгНе поля (п. 15.6-8 н п, 15.6-9) Наконец, аналитические функции кочплексього переменного реализуют конформаые отображения одной плоско тц на другую (пп.
7.9-1 — 7.9-5), 7.2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ОБЛАСТИ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ 7.2-1. Функции компдексного переменного (см. также п. 1.3-2 и п. 4.2-1 я табл. 7,2-1; отсылаем к гл. 21 для дополнителььых примеров). Комплексная Чункция ю=) (г)=и (х, у)+го (х, у) =~ ш : 'е™ каждому значению иезааисимой комплексной переменной г из некоторой области определения ставит я соответствие одно нли несколь«о значекнй ззеисимой номплексной переменкой ю.
Оонозначные, лшогозначныв и ограни мнимо функции комплексного переменного определены и пп. 4.2-2, а и 4,3-2, Ь. Првдвльг колтлвксиых функций и послвдовагпельностей и нвпрврывиосшь комплексных фуню!ий, а также сходимосчгь, абсолютная гходимость и равнолгврнал сходимость комплвксньгх рядов и ивсобст. венных инпгегралов были определены я гл. 4; теоремы гл. 4 применимы к комплексным функциям и переменным, если онн ие сформулирозаиы специально для действительных количеств. В частности, калсдый комплексный степенной ряд ~~ аг,(г — а)" илим п и— .-о дег!стпвительньгй радиус сходимости г, (О ~ г, ~ оз) такой, кпо ряд сходипмя равномерно и абсолютно нри ! г — а ' ( г, и расходится при ~ г — а ~ > г, (п. 4. 10-2, а).
7.2-2. г-плоскость и ш-плоскость. Окрестности. Бесконечйо удаленные точки (см. также и. 4.3-5). Значеяия независимой переменной сразятся а соотзетсгаие еднпстаепиой точке (х, у) комплексной плоские пи г. Значения ю=и+Ш таким же образом стаеятся я соответствие точкам (и, о) плоскосгпи то. Окрестность (открытая) точки г= а, лежащей я конечной части плоскости, определяется как сояокупносгь точек г таких, что ~ г — а) к. 6, где 6)0. 7.3-2. 7.3, йндлнтическне функцин ~ ) ) (г) йг М(„ С (7.2-4) Тогда ди ! до дг г д!р, до ! дн дг г дгр 200 гл. т. функцин комплексного переменного 7.2-3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
