Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 44
Текст из файла (страница 44)
гл. 6 и п. 16.10-7). Этот оператор может быть применен к скалярным и векторным функциям точки с помощью иекоммутат>[в- ного скалярного «умножения»: 1 дг дг д» > чгф= — [д-+д +д — > Ф (г у г) (5.5.16> чгрвичзГ 1- зР 3 (Ч у)+Чр Ы, За>ютии, что (Я ) 5~)=а Ч'Ф+() 1>г3' (линейность), Ч'(ФГ)='Г Чгф+2(ЧФ). (Чр) ( ф 1)жр 5.5-6 Операции второго порядка. Отметим следующие ного применения оператора Ч: б>уй[ад Ф=Ч (Чф)=-Ч'ф, йгабоЛЧ Г=Ч(Ч Г)=Ч'Г+Чх(ухГ), го[ го[ Г=ЧХ(ЧХГ)=Ч (Ч Г) — Ч'Г, го1 йг а 3 Ф = Ч Х (Ч Ф) = О, 6[его[ Г=Ч (ЧХГ)=-О 6.5-7.
5.6-1. ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЯ АНАЛИЗ 174 66 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРГМЫ 175 56 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ЧФ а ° г ( Ч ° Р (г) бУ = ) 65 ° Р (г> У 5 г,(л+1> гл 1 гл >. Теорема о дивергенция „,л-аг „л г 1о г 1' ч х р (г> бу = 1" бз х р (г) 5 2. Теорелла о роторе > (г) '(У 1 б5 Ф (г) 5 6. Теорема о градиенте Е. Теоремы Грина (5 6-Ю) 5.5-7. Операции иад простейшими функцнямн от г.
В табл. 5.5-2 и 5.5- . -3 риаедены результаты применения дифференциальных операций к некоторым простейшим скалярным и векторным функциям от радиуса-вектора г. Т аб лица 5Л-2 Операции иад скалярными функциямн (г = > г ~, а = сопз), н = О, -т- 1, -л. 2, ...) Т а б л и ц а ".5.5 Операции над векторными фуикциямн Дополнительные формулы могут быть получекы с помощью табл. 5,5-1. Отметим еще формулы (Р (г) Ч) г = Г (г), (5.5-20) Ч вЂ”,, = — ЧХ вЂ”, при а==соп61.
(5,5-21) 6.6.8. Фупкцип от даух и более радиусов а «торов. В тпоитиом случае двух раляусоа.аектороа г — а (х, у, х) и о = =(5 ч, 1] к Функцяям вида Ф (г, и) ямФ (х, у, е; 6 г) ь), Р (с, 6> =— у (х, у, г; 6, И, 1> могут быть оркмснсюа даа разлпхкых оператора Ч'; д д д д д — ' "'„1+ ": Ча= — д=' д )~дгк. дх ду дз В частности, имеем Ч Ф (г — Ш = — ЧО Ф (г — О), Ч. Р(г-Ш= — ЧО У(г — Ф, Ч Х У (Г - О> = — Чо Х Р (à — а).
) ) са> В табл 5 6-1 с ( ) а ., - сокраиы важнейшие теоремы, связывающие объсмоые ннтегралы по области У а поверхностные интеграль о г ал 1 по границе зтои области. Область У предполагается ограниченной и р й и простраисгнсино-односаязиой (п. 4.3-6), поверхность 3 †замкнут и регулярной (п.
3.1-14, однозначными и неп е ь вн . Рер > ыми в У и на Я, причем все часглные лроиэводньгв, ой п. ', -, ункции— Таблица 56) Теоремы, связывающие объемные и поверхностные интегралы Чал Ч'Рб)с (цгт (р у 5 ) (Ч Ч'Ф вЂ” ФЧлУ) бу — 1 '(5 ' (Ч" Ф вЂ” Ф У 5 5 ссгнрсчаюи(иеся в объемных или ла Ререн~ими анплветснгвенна в )г и 3 ~~~тралах, лЖдлолагаютсл не. Р иченнай ласти, если лодынтег альм герлз~ах имгюгл ла ддтс () 1 гз > и рнн((ии в лавсрхл(асо>ныл нсстиых и объемных инте„( ~ ) Ри г о:> (п. 4.4-3).
Формул>г для системах кРиволинейных координат „6 гРадского - ' Р з ~гаремы о дивергеннни (теоремы Г .О егн интгг ал ат дие Р через замкнутую лове хнсст ( 5 4 6 Ь " ') 'н«ии ла 'багмр, аграниченномр гтт) ~~ ','н >,„ Роизаоднан " ' п Р о н 3 а о д н о й. Яормадьиаи () Замечание о но наль вводная от скалярной функцин Ф(г) в регулярной точке поверхности 3 ерадсхесе, > та хеорсма в отечест есавоа лптературе называется юсорслой Гаусса — осв~ре. в< отьшкт(ип вуктошгого поли 3Л-З.
17 176 ГЛ 5. ВЕКТОРНРйп АНАЛИЗ есть производная по направлению полож тель о р и н й но мали, т. е. 55 (если поверхность замкнута, то обычно берут еие<иию<о р ло маг«, и 17.3-2). Норкальная производпаа обозначается обычно через дФ]дл, так что дл й~ 5.6-2. Теорема о роторе и связанные с ней теоремы. Если векторная функция "(г) о Р ( ) днозначиа и имеет непрерывные частные производные всюду н ко( н аи в области У не«ион по всрхнастно-о"носвязной области У и если леж'ш д ег ля нои замкнутой поверхность 5 одпосвязнз, регулярна и ограничена р гу.
р кривое С, то ~ д5 (Ч хГ (г)] =~ дг ° Г (г) (теорема Стокса), (5.6-!) ппнерхнпггн ни« Г (г) определим функции <лпзгрхнпгтнмй градигнт), (нпггнх«згтнля дивгрггн<(ня), (поггрхнпгтлмй ротор), тнк и нз «ругай (ого«а«тель«ай) стороне Ф (г) В каждой точке (г) поверхности 3, я' (г) [Ф,. (г) — Ф (гН и (г) [Г (г) — Г (гН пг (г) Х[Г > (г) — Г (г)) (5.6-4) и )Г 3.2) тптпа и«- тле пл Прт ПапожптЕЛЬН«й НПРМ дгл таКиХ фн«К«ий, ЕСЛи г тг«КЛ нп>мяли к ппнерхмпстн 3> н тпчне (г) ( .
- ). тггралллмг тгергмм табл. 5,6. ! жт яму ю шш пеша« тгя в силе и кя пки няггркногти 3, заменить г оотмннх ннтырнгпх гра игнт, иг г пзггрхнзгтнме пнпгпги, 5.7. ОТЫСКАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ПО ЕГО РОТОРУ И )[ИВЕРГЕНЮИИ 5.7-1. Безвихревое векторное поле. юле. Векторное пале Г(г) называется безвнхревым в области б, г У, если в кажлой точке этой области ЧХГ (г)=О, (5.7-1) др др др др доу д» ду дх дг ду дх т, е. криноли г" линейный интеграл от Г (г) по замкнутому контуру С ранен по- С О не<паж)я току ротора а Р)<Г через позер«ность, натянутую на контур С р вектор« ила<кадки д5 должна быть согласована с ор еи ц ур и та ией кант а С по правилу правого винт .
винта. (Точнее, така« ориентация производится у края поверхности, а затем продолжается по непрерывности.) Прн гзх же услпзнлх, чтп я «ыше, ~(гвхч)хр <г)-~лгхр(г). (5. 6-2) 3 н . ля любпй а«нпзнячнпй скяляриай Функции Ф (г) с непр р е ыенымн чясгнынн прпнзнпн нымя е пзлзсгн (5. 6-3) 45ХЧФ (г) =<)> Лг Ф (г) О 3 остаются спразенлн«мми н Нля непгрянн е ч инай области У, если Формулы (!), (2), ( ) ст й ннгегрзле справа имеет паря«як О <)(г() при ппхыныгрзльняя функцяя е «ринплнне нп«нн е р г оп (и 4Л-З).
нн пп«е «настях (гм также и <5,6.5, Ь). Пусть скзлярная «.6-3. Поля с разрывам» нн пп«ер«настях гм г, °, . ««ля ная фгн«цня Ф (г) ялн «пор«ни«ты нектарной фбгнкц«н г и пг ег ля нпй поверхности ',, «о рязри й (палом«гель«ой) стороне позер««пег» пре«ел«яме знзчення кяк яа одно пплпж Ф4. (г) илн Гл (г), г ) Г (Р) бр= — (Ф (г) — Ф(а]]. я (5.7-3) В этом случае указыиают только нижний и верхний пределы интегрирования Криволинейный интеграл 5Г(р) др па любому замкнутол<у пути С (цир. куляпиа вектора Г(г) вдоль С] в области У равен нулю. Если область У многое«яэна, '<о функция Ф (г) может быть многозначной.
В частности. условие дг др х у — — — — — =:О ду дх (5.7.4) нзпбхолнма н лпсгагпчип лля того, чтпбы криволинейный мнтегрял (х, у) ух+ р (х, у) гу к у нг вяз«сел нт пути ннтегрнрпняння, т, е, чтобы пппынгегральнпе выряжен«4 была пол- ним Хнфферен«ннлпм ') 5.7-2. Соленондальиые (трубчатые) векторные полн. Векторное поле Г (г) называется соленондальиым в облзсти У, если в каж)ой точке этой области др ду др Ч Г(г)=О, т. е. — + — + — =О. дх дн дг «торное поле является соленоидальным гогда и тальк Г (г) есть ротор Ч х А (г) некоторой векторной функции точки А (г) (см.
также формулы (5.5-!9)), которая называется векторным потенциалом векторного поля Г (г). 5.7-5. Отыснание нектарного поля по его ротору и днвергенцни. (а) Пусть У в ионечная открытая область пространства, ограниченная рсгулирной поверхностью 5 (п. 3.1-14), положительнаи нормаль которой однозначно определена и непрерывна в ка)кдой точке поверхности, Если диеергеипия и ротор поля Г (г) определены л каждой то<«с (г) обла- ани У. то всюду е У функция Г (г) может быть представлена «виде суммы бгмихре*ого поля Гл(г) и соленоидального полл Гх (г)! Г (г) = Г, (г) + Гз (г), Ч х Г, (г) =О; Ч ° Р, (г) =О (5.7-6) Опеорсма разложения Гельмгольца). '> Он сноску к и.
5.4 ! (5.7.5) (<олг Г (г) лез«ется бгзгихр,ныл< то~да и только тогда, когда — Г (г) есть градиент ЧФ (г) нгкол>арой скалярной функции и<очки Ф (г) е каждой точке об<асти У (см. также формулу (5.5-1Р)); е гтал< случае выражение Г (г) дг = — Ех (х, у, г) дх+ гу (х, у, г) ду+7>г (х, у, г) дг = =— — дг ЧФ(г)= — дФ (5.7-2) гол>ь полный дифференциал (и. 4.5-3, а) Функцию Ф(г) часто называют скалярным потенциалом безвихревого векторного поля. Если область У л<всрхнослшо-односгязна (п.
4,3-6. Ь), то Ф (г) — одиозная. иал фуикцич, определи>мал по Р(г) с точносл>ью до аддитиелой постоянной, и криеолингйный интеграл от Г(г) по кривой С, л.жащгй е абласгпи У, мг зигисит от луг«и ин<лггрирагпнил: 6.7-3. Гл. Б. Впкторнып АнАлиз 178 6.!. ВВО)(НЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Г! (г) = — ЧФ (г), Г, (г)=Ч )с А (г), (5.7-8) ия Г (г) оп увлявгнся однозначно ири дополнительном условии за задания нормальной соалавляющвй Г (г) .— функции Г (г) в каждой точке паве;хности 5 (теорема единственности). анне ф нкннн р (г) по зтнм денным сводится к решению Лнфферен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
