Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 40
Текст из файла (страница 40)
4А-8, Ь), является иа этом интервале функцией ограниченной вариации. (Ь) Гармонический анализ периодических функций. !!реть 1 (!) — действительная периодическая функция с периодом Т (и. 4.2-2, Ь), )61 4,11-4, 4,П. РЯДЪ| ФУРЬЕ П ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ [з (к) = — 1 Среднее а аа эрапе- «еское знаеецне <|') Среднее знл«ение Периоди |есяая функция, )у)=)У+ 7) Козффн |ненты Фурье = с,+2 ~ц~~,' с»! соз(»соог+агдсе), (|)=- ь (4.11-6) Т„7 от,( о =2А — "з,— ~), и т П римо. угольный импульс т т т Е =0 и 772 »й=| ~ 1(т) й"1»еоьдт — Те'2 г г йХ. Сн мне. рачный греуголь дый импульс т)2 с„=с,=,- ) 1(т)е- 1 à — !»в,с ' 'т„ т ът 'еТ ге ге г г т„-1- т л 7 Снммс.
арнчный трапе. цоядальный импульс ! у — О) -|- ! (е -|- О) 2 :б:~ы:х гггг [ гг 1" ТРГ, [л (т, Ф т,)1 2! 0„=0 т о =А — '— Л л — т 1 |Полуснну сондаль. ный импульс ') 2Й2х 2 '7, 'Л 7 . т. 2Т ! ''Ге г г =0 т 1'Ра 2 1 +Зз При Т )60 ГЛ, 4. ЛР!ФФЕРЕНПИАЛ|«НОЕ И ИНТЕГРАЛ»А!ОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4 1| 4. 7|2 для кол|арой существует интеграл ~ )7(т) ) дт.
Тогда — гж 7(!]=-'- а„+ )) (а» соз»ее(+Ьй жп уеоф= ~д сйе »=1 |е = — со 772 а»=7' $ у(т)с~»еотдт ((ео= т- »=0 ' 2 ".) — 7'/2 оа каждом открытом промежутке, са котором 7(!) н !е (г) кусочно-непрерывны, если в каждой точке разрыва 7'(г) по определению поло)кпть (см. также и. 4.4-8, ))). Таким образом, функция 7(г) представлена в виде суммы 1) посщоЯЯнага елена (ао(2) =са (сРеднего значениЯ ФУЯЛЦии !'(!), см.
такж" пп. 4.6-3 н !8.)Осд) н 2) некоторого множества сияусаидальяыя члеяоа (сннусондальных компонент) с частотами уо — — ((Т(основной частоты), 2чо=2(Т(2-й гармонической частоты), 3уо=3)Т (3-й гармонической частоты), ... зп! й-я гармоническая компонента 2|с»(соя (й — +агцс») имеет частоту Ь т =-»(Т, круговую частоту»ез=2л»со=2л»)Т, амплитуду 2,'с» (= )акай+ "а н «фазуз агдс»= — агс(Е(Ь»)ай). Нечетные гармоничеснне члены а разложеаии (б) описыааюг аигипериодичесную часть фуннцин ! и) (и, 4.2-2). Он|метим, «лео тм ()е): — — (! (п)« йс= — а + — кз (а»+ б») = кг (с 'з, (4 и-7) Т ) 4 — тм й=! з = — со если интеграл е лозой «опии равенства ерщестзрет \теорема Поре«лола, см. также и 152.4).
В табл. 4 П.! прнаедены ноэффициенгы Фурье и средние значеииа наадрааа (П нсноаормя периоднчесния функций, По поводу численного гарыоничесного анализа .«м. и, 20.6-6. Таблица 4,П 1 Коэффициенты Фурье и среднеквадратнческне значении периодических функций Л 2 71 Л 1 1 —,! (Π— А ( — + — ' созе|+ —,- созйв( — - соз Яе|-д е' Л (,2 4 3 |5 дете| тнроаанная дянусоваа Я 71 1 1 1 (О= — А ( — + —,— соз 2ег — — соя 4ег+ — — созйв! — ...
! л 'Дз 4 |5 35 аыпрямлеиная синусоида т в о л и «а 4,П -3. 4.11.4. 'Сво])егвп преобразования Фурье (см. также и. 4,11-3 н табл, 3.3-1> Т аблн па 4.!!.3 Преобразования Фурье Пусть )й)=- — ] С(в)е дв ! заз! )/ул С(в) - = ~ 1(!> е (в! б! 1 2п С (в) ЯП, >в!сл, о,,га !>, — (а > 0) з1п а! ! ,!4 —, Р в фа, (2л) '/з в — а г' !, рс(<в О, !<р, !)4 и предполож (а) Я [и а — и (ул) '/з с-с! з за! (с > 0) о, (<о (2л) /з (а — в + (с) г — р" (йе р ) 0), !з/ (2р) '/зз — азы4Р вз/2 (2а> '/зе (за ' )! /в' л( (2а) з соз ! -.— —— [,4' (2а) "3 а>п / л о!з> 1,4 4а) , гв(* где соа а(д (а > 0) з!п аы — Г (! — з)з!и! —,зл !за! (-.~' / 1 )!! (0< йа з<)з, ;(! — '/з ! в( ,з/з е а'!! (а> О! >!(Чз [(а + в*>'/*+.]'/з (аз -).
в*)'/з со а! со:т! — ( — л < а с л> 2 ]з/з соз (а(2> сь (в/2) :с/ сьво соха з)з а! ьр л! ( —.)' 1 1/з 5)па 2л/ сь в+ соа а л < а < л) (ь> Если функция /(!) непрерывна, то нз р [1(!, п>1 уг [! ((>1 прк п а следует 1(!, а) 1((1 (шеорзма иелрермзиосжн), Аналагнииые теоремы справедливы н для касмйус- и синус-преобразований Фурье. (с> Р [/, (!>1 У [1. (!)1 = У [!, (!! 44 1. (!>1, (!) 1 (!)1 = ;т- [! (!) 1 )( „р [1 (!>1 ] + со + оз )з (!) 44 /з (!) = 1 !з (т) /з (! — т> дт 1 )з (! — Ф!, (т) дт + со + са Сз (Ч))(ез(Ч) = )Г Сз (Л>ез (Ч вЂ” Л) ВЛ )Г С, (» — Л) Са (Л) ВЛ (и. 4.6.!81. [/ (!> гти(чз(] с рз ч ) ! р" [1(!, со 2лзз(1 — —, [с (ч чз>+ с(ч ->- зз)1, оп!срема о модрззции) 1 [/ (!) з!п 2зсч,!] = — [с(ч — тз1 — с(» ->- тз>1 .!' =2 ' ' 1 (4>,рт[(/'г'(!)] =(2П(ъ>" Р [1(П1 ('=О 1.
2. - > (зисоаема о диффгргииирозаиии), ' если предположить, ато производная 1 ' (!) сузцествует при всех ! и ато все производные меньшего порядка при ! ! ! .!. со сгренятся к нулю. + оз + оз (е) Если интегралы ] ! !, (!) !ад! н ] !1, (!) !'д( сузпоствуют, то + со + со .Р [1, ((>1 Х [1 р>1 дч = )г [з (!) 1 (П 4! (тгорел!а парсеза зя) 4.п. ря)(ы Фурье и иптегрдды Фурье 4.!1-8. 4.П.
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 157 т а 8 л и ц а сп-3 <продолжение) С<ы>= —. ~ /(бе "!Л! )'ул ) е/м!,! „ С (ы> (- ' 1 )с/а аь Ы 2л/ ! <сьы-(-сота) 2 ) го мп (о!2) сн <ы/2! (-.~' л / !' (с>а и + соа о) !!<а, !!!>а (лы2) /* ! (оеп Отметим также, что О, !ы!>Ь, (и/2)'!в г, (а Ь'Ь' — ы'), ! о» < Ь ! !,' < о, (!!>а 8!!2) ! ! Ь Ыа->-Ь ) !!!<а, (!(>а т/ы'!* !. (у ыа:ю) (!,<1, о, !!1>1 !»К-'/а г» + а/, (ы) Ы 83 = — о,, 1 2 а' 138 гл, 4.
диФФеренБНАльнОе и интеГРАльнОе исчисление 4.11-8. 4.!1.3. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и преобразования Фурье (см. также по. 4.!0.1 и 8.3-1). (а) Теорема ед пи ств си ности Должным образом интегрируемая функция /(!) однозначно определяет свои коэффициенты Фурье (28) или свое преобразование Фурье. Обратно, полный набор казффициектсе Фурье или лреабризованис Фурье однозначна определяет сооткетстнующую функцию [(/) лочпт всюду (п. 4,6-11, (а) е интервале ризлажения! в частности, функция [(!) однознична определена в киждай точке непрерывности в интервиле разложения. Зта теорема единственности сохраняет силу даже в том случае, если ряд Фурье или ил!негра» Фурье не сходятся (см.
также п. 4.11-7). Заметим, что не каждый тригонометрический ряд <даже ие каждый сходящийся три. гонометрический ряд) является рядом Фурье и не каждая функция с (») является преобразованием Фурье (см. также п. 4.11-2, с>. О ера ии иад рядами ФУРье У" фици Фурье и», О», сь и !р(!) — ФУнкЦи~ казфф Ци [)», у» для од»ого и того же интервала разложения, и луста Л и р — дейстаительлыг числа. Тогда фуасцил Л/ (/)+ р !р (/) имеет козффициенпи! Фурье Ла»+ рию ЛО»+ у[)», Лс»+ Ну» (паоле(иное сложение и умножение на число). По»ленное инп!егРиРОеание Рлда ФУРье (2) ло интеРаалу (/а, !), садеРжаЩг. лп!Гя в интервале разлогкенил, дает ряд, сходящийся к ~ /(т) йт. если )(/)— периодическая функция с периодом Т, то эта теорема сйраведлнва для любых значений /а и /. Заметим, что ьти теоремм ие требуют сходимости данных рядов Ф ье, По пово дибоеренцяроваиия бесконечных рядов си.
п. 4.8-4, (с) Свойства преобразования Фурье. Наиболее важные свойства преобразования Фурье перечислены в табл. 4.!1-2 (см. также п. 8.3-!). Примеры преобразований Фурье приведены в табл. 4.!1-3 — 4.11-5. Значительно более подробная таблица преобразований приведена в [8.2[ и [8.7[.
асс [/ «) сот 2ла,!1 = 2 [сс (» +»о) -1- сс (»»о)1 1 .и с [/ <О а<п 2п»,!! = — [са (» -(- ч ) — сь (» — » )[ 1 о ь о г а [/ «) сох 2л» !) = — [са (» Ф »о) + са (» — »о)[ ! 1 а [l «) а!и 2нта!! = — [с (» — »о) с (»+»о)[ <аю г аг г — 1 .', [/'"' «>[=< — 1>'<2Л»>а'~с [/«>1-2 ~'„< — и'<2Л >" /иж " Ы <+О>, !=О г Ус [/!ы+!! «Н = < — 1>г <зл»>аг+! Х, П «П — 2 2„< — !>!(2л»>аг/!аг ал (( о>, О -"'а[/го<О)=2 Р'с[/" "<О[ ипвг О 12,..., пе" вуют и н О<! р'Лполагая, что производные в левых чистях равенств сущестк нулю р <+ со и что все производные меньшего порядка прн ! -(.
со стремит я 4.11-8. Нятеграаы дирихле и Фейера (см также и, 4.11-1). Частичные суммы аи ( ) = — оа -(- лги (а» соь» - — -(- Ь ми» вЂ”,— а ! 2н! 2л! т» Г (»= 1, 2...,) (4 11-!2) » †! н соотве оответс вующие средине арнфнетичеснне а 1(!><И ° 1 ' п й=б )О9 4,1)-Е, 4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ Таблице 4.П 4 Таблица 4ПО Синус-преобразования Фурье Косинус-преобразования Фурье ч/ 2 С ! (!> =- р' —,) С, (в> П п в! бе О в/2 С С, (В) = Р— 1 ! (!) в;п г,!,П О С (в) = 2/ — 1 !(!> сове! б! в/ 2 С с Р/ п/ О !(!>=ф — ~ С (в>селе!бв О С (в) Сс (ел ! (б 1, О(!(а, О, !)а 2~'/в 1 — совам ( —.' 1, О<!<а, О, !>а — Г (1 — в) сов ( — впа в (.)' / 1 (-) ' 2 >т/т /1 1 вв — ) Г (1 — г) вгп ( — вп) в и/ ! в (О < не в < 2> ! (О<ее <Л >тг/ гпп а (1 — в) 11п а (1->-в11 Я ~ в + 1 -1- в сов(, Ос! <а, О, !)а е 2 ! — Н/2 е — Р а!и ! Нп>- /*!п~ — -' 1+в 11 — в сов ( — — — — ) сов ')- !т) О, ОС!<а, Р— а") /в, !)а ( — / '/, (ав) в1п ( 4 2 3 в!п ( —, !г) 2 Г(ч-1-1)в ч / ° /ч! «/,(оо 2чг (ч+!) в ч Луч+ $/ (в) Примечания.
1) Если Св (в) — сннУс-пРеобРавоввнне ФУРье Дла ! (!), то ! (в) — синус пр". обрввование для С (!>, 21 Если ! П> есть нечетная фуницня в интервале ( — оо, со>, то синус.преобр»- аоаание Фурье для ! (!) (0(! (со) есть гС (в). 3) Синус-преобразование Фурье для ! (!/а), где а) О, есть а С (ав). )бб гл. 4. диффърпнцидльное и интегрдльн(>е исчисле>сие 4.н-а. (1 — ! >', О<!<1, О, !)1 (йе ч) — 1) Примечания 1) Если с (е) — аосниус.преобрввование Фурье для ! (!>, то !(в) — иоснпусс преобравоввние для С (Л. 2) Если ! Р) — четная функция и интервале ( — го, со), то «осннус-првобравова. нне Фурье для !(н (О ( ! ( оэ) есть С (в).
3) Косинус-преобрааование Фурье для !(!/а>, где а ) О, есть а С (ав). ! (! !'>Ч, ОС ! С 1, О, !>1 (йе ч) — 11 — ) (л 1)1 (ав -!. вг> г/2 и () 2>гб н) х в!и (л агс!2 ат/а) (.и. Ряды фурьп и интнгрллы в»рыл 160 гл. 4. диффсрннцилльноп и интнгрлльноп исчислпннн ел(-у. 4. ! !-В, !61 (2) можно записать з зада Г/2 Ып(тз ф Н"'- т/2 'г / (!,) + / (/ 4,) З!и (2л.! !) т г 3 2 пт — Г/2 з!и т Стс о з!а —— у (--' — — (!< —; а=е, !, 2 ...), !4.!!-!3) 2 2' ! 3 р)=— л т /СС ! ° Т 5)п а ат з!и— г — — </< —; л !, 2...,) «.!!-Ы) (--.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
