Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 37
Текст из файла (страница 37)
й=О 4.8-8. Расходящиеся бесконечные ряды (см. [4.2), т. !1, гл. ХП, 4 6), (а) П о л у с х о д н и о с т ь. Расходящийся ряд по+ а, + а, +... может быть полезен для приближения величины з, если абсолютная погрешность )з — з ) = л — з — ~Л ~ай, прежде чем вновь начинает возрастать, убывает до некоторонн и го достаточно малого минимума, достигаемого прн определенном значенн е номера и (полусходящнйся ряд), В форм лах О!) — ))3) М 1, 2...
(е) Л е м н а А б е л и Следующая лемма вногда оказывается иолезаой для оценка частнчйых сумм. усть л з . П ссзсдо отезмихть а, а, а... лоложитсзьим» дсастеитсльз з ь ° имх чшсз удезлстзоутт ьсзосилм оь ас аг % . а, ...та Щ... тОГДа асз СГЧ а а си ай Щ аьб', где 3 и бу — ссотвстсттнио иаимгньшаз и наибольшая тзичино из лшлгдоеатсзьг мотни сумм ~~~ с), лаи г = О, ), 2...., л.
1 [!со- Д ъ(*!(-с с сс (Х вЂ” хо)л й=О (4.8-14) Расходящийся ряд ~Л ~а„(х) есть асимптотический ряд, описывающий а=О поведение функции!(х) прн х-«+со (((х) ~ ! ай(х) прн х +со), если суй=о шествует такой номер М, что прн любом фнксиронвнном л»М 1(ш х" 1(х) — ~ а„(х) =О. (4.8-1 5) Аспмптотический ряд дает полусходящиеся приближенна функции ((х), причем при х хе или х-«+ оз номер по -«оэ (см. также цп. 4 4 3 и 8 4 9). )е) Суммарованне средннмн арифметическими Сходещнйса илн расходащнйси ряд а, + ас + а, +... суммируем суеднямн арифметическими (суммируем но методу Чезауо средними первого поРядка, суммируем С„суммируем (С, !)) и С,-сумме Зь если последовательность аь, аь ас, ° .. средних арнфметнчсскзя а †! й а„! = — У З» ГДЕ Зй — — сз а( СХОДИТСЯ К Вс.
Каждзй Сзадпшийез азд СУММий=о )=о руги средиими арифмстичсссими и 5, =з. Ряд с оссожюлсльиими членами суммируем си*днами оуифмстичесхими з том и тол«хо з том случае, если ои жсдитсз (см. также и. Я.ы-т) 4.8-7. Бесконечные произведения. (а) Бесконечное произведение ('+" '+ )(+")- = й (+; й=о действительных плн комплексных множителей 1+ай~О сходится к числу В=Ц (!+ай) чай (значению Бесконечного произведения), если й=о л '-" и (1+;)=.. П СО),.
0 дто и.нееш место в том и и!ольха в том случае, если ряд ~ 1п(1+ай) сходшпся й 0 Если при этом последовательные частичные суммы ~Л~ а» поочепедно то 4=0 больше, то меньше еслнчины з, то ряд называется обвертывающим. Соседние члены такого ряда обязательно имеют разные знаки (энахо:мрсдугощидся ряд). (Ь) А с им и тоти ческ не р яды. Расходящийся ряд ~ а„(х) есть а=о асимптотнчсскил ряд, описывающий поведение функции ((х) прн х-«хо (((х) ~Р ~ай(х) при х хе), если существует такой номер А), что при люй=о бом фиксированном и ~ А) Гдд гл. й диффпрннцийльнои и интигрйльнов исчислбннп ял-з, л к одному из значений 1п р (см.
и. 21.2-19). Если !нп Ц (1+ой] — — О, сю 4=0 то говорят, что бесконечное произведение расходится к нулю. а, а, э =Ье! »»=ь» — , '— -, »,=Ь»+ Ь Ь,+ —" Ь» (4.8 -Ш) а» э» = Ь» + а ь,+ а, Ь + — -' » называется последовательностью, определя»о!цей Лавпую яе р р у р о е ывк ю д обь; л-й знэкенатель Раасн Ьл 1.(.алюп т(. Сокращенно непрерывная дробь обычно эапвсывается так: а» а, а» ал '+ ь, + ь, + ь, +...+ ьп +... Дробь — — называют л-м ее»лом яепрерывкой дробя.
Непрерывная дробь вззывзетса ьенечней. если ояа выест калечное число звеньев, в бссконечвой, если опа имеет вх Раэлокелве яекоторых фуякцай в яепрерыввую дробь сходятся быстрее, , чем соот. ветству»ощее рзэло оженве в степенной рвд, н оказывается поле»яым в веко»арык прало- 20 -7 .
женвях (расчет электрпческнх сетей; см. также и 2 е- ). э риал ю обь .К. Нр в меры. Прваедем разложенвв некоторых фуякцей а непрерывную дро ь (следует иметь в виду, что такое резложеяае не едввствееаои х х х х х х х 1+ ! — 2 + з — 2 + †...— Г+ зпф> —... ! х х .с х х — — ( — со к,со), 1 — ! + 2 — 3+, + 2 — 2п(1+„.
х х 2х 2х пх лх +) > + 2+ 3-1- 2 + э +„.-(- 2 +2а+>+... 1 — 3 — 5 †...— 2л+ ! †... 1 -(- 3 + 5 +...+2л+1+. ° (» ш — 1) (И Бесконечное провчэеденае Ц (!+ай) (необходамо сходящееся1 сходится абсо. ь.=о лштло, если сходится провэведеиве Ц (1+! ай! Б йла этосе необходимо и досш,»те»,э, 4=0 чтебм обсе»»этне схойагся рад ~~ ам бсскек»«нос преимейение сходнтся коммутаа=о твене (т с, его экачсклс ле зав шт ет порядка мне»кителей> е том и»пол»ке э»лем слета», если оне схейатса абсеэш»лве (св». также п, 4.8.-3, ЬЬ (с) Бесконечное пролзведенвс Ц !!+ай (х>! равномерно сходятся ва мво»кестае Я й=о вкачеинй х, для которых прв всех З вмполпяется условае !+а» ( ) .,' к .,'О, есле последовал тельеость функцвй Ц !>+ай (хП разномерно сходится на Я к фупкцнк, ве првввмсющей на Я эаачеяая, равного яулю.
Эте, е частпоста, ам»ет ассмо, если й=о и яа Я раеэемерно сходится рай ~~'~ > аь (х) (. Ь=О 4.8-8. непрерывные (цепные) дроби. последовательность вндз 48 нризндкн сходимости рядов и интпгрдлов 139 4.9. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ И РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 4 9 ! ПРизнаки сходимостн бесионечных рпдов (п, 4,8.!) (ез Необходимое и достаточное ) еловые сходи мости.
Поглеаоеательногть действительных или комплскгных чисел,те, г„эт, ... (на- пример, последовательность чпспшчных суим некоторого ряда, и. 4.8-1) схо- дшпся е гаом и п»олька е пюм глухое, ес.ш для киждого положительного числа е существует викой номер»»7, что из т)А» и п~.у следует )гв — гт((л (кршперий Коши сходимасти последовательностей или рядов).
(Ь) Признаки сходимости рядов с положительнымп ч з е н а м и (з!и признаки полезны и как признаки абсолютной сходпмоапи вялое с произвольными действительными или комплексными членами, вп. 4.8-1 и 4.8-3). Ряд ао+ а, + аз+... с положительными членамп сходится, если сущеппеущп такой номер А>, что при и ) >у еыпо.тнчгпюя хопи бы одно из следу>ощих условий> ел+! а!»»+1 1, аа ~ йул и'или — ( л>, где )уе+»17!+Азз+ ...— гхоал Л>„ длший»я ряд сравнения с положительными членами (признпк сраен»ния). 2.
По крзйией мере одна из величин а„+! л — (' а„+1 )г ал п ( л — 1)+2, (4.9-1) ~л ( — 1)+1~1»»л+2 имеет точную герки»о>о границу А (1. четвертый нз этик четырек првэевков сильвее третьего (арета «а Раабю, который е снов очередь сильнее двух первых (лраэяака Даламб»ра в *еаза( кал»носе» признака Коши>. 3. ал ~((п), гдг > (х) — положительная невозрастающоя функция, +»х» для копюрой сходится (нгсобспшенный) интеграл ~ 7(х) йх (пнтсм .(- ! гральный признак сходилик>пи Коши; см .
также и . 4 . 9-3, Ь) . Ряд ае+а, +аз+ ... расходитгя, если сущеспиуе»п такой номер»>), чтэ при и „Р А» выполняется хтпя бы адно из слгдующах условий: 1. оп~с(л и)или — "" ) й"', где йо+й>+уз+" — расходщийсн и п рлд сраенсния с положительными члснал>и (и р и з и а к и с р а в и е н и я для расходимости). 2. По крайней лмре одна из величин условия 1 имеет >почнук» нижнюю границу А ~ 1. 3.
ил хм) (и], где ((х) — положительная невозрас>лающая функция, + оэ для ко>лорой интеграл ~ !(х)йх ршходится. у+! 3 а меч е вас. В качестве ряда сраввевая часто бывает полезен ряд вторый прв действительном д скопятся, если х) 1, а расходится, есле х щ 1. (с) ряд ае+а, (-а,-(-... с действительными !ленами сходится: 1. Если соседние его члены имею»п разный знак (знакочерсдуюи(ийгя ряд), его общий член ал ке еозросп>ает по абсолю>иной еел>шине и 1)т о„=о (признак Лейбпица). л се 4.2 ПРИЗНАКИ СХОЛИМОСТИ РЯЛОВ И ИНТВГРАЛОВ !41 а.е-з. 140 Гл 4 диюаиренцидльнОВ и интВГРАльнОВ исчисление 4ш 2, 2. Если последовательность ее, з,, зз, ... его частичных сум.и ограничена и моно)тшма; эта послеаовательность монотонна, лишь если члены ряда имеют один и тот же эиак. См в этом случае признаки из (ЬИ (й) П сть ае, а, аз...,— негозрастающая последовательность положитель- ных кисел.
Ряд аеае+а)а)+агаэ+.„сходится: 1. Если сходится ряд а, +а, +аз+... (призмак Абеля; ем. также и. 4.8-5, е). и 2. Если Иш ал=О и сумма ~~Р аь как функция от и ограничена Л СО а=о (признак Дирихле). 4.9-2. Признаки равномерной сходимости бесконечных рядов (и. 4.8-2). (а) Необходимое и достаточное условие равномерной с х од и мости.
Последовательность зь(х), 21(х), 22(х), ... дейстгипильных или комплексных функций (мапригюр, последовательность частичных сумм не т р го ряда функций, п. 4.8-2), оаределенныхна множестве В змакемий х, е и равномерно сходится на множестве 5 е пюм и только в том случае, сл для каждого положительного кисла в существует такой номер Ф, не зависящий от х, что из т) Ф и и> А) для всех х ш 5 следует [з„(х) — зт(х) [ <в (критерий Коши равномерной схсдимости последовательностей или рядов]. (Ь) Ряд ае (х)+а (х)-[- ае(х)+... действительных или комплексных функ- 1 ций ржномерно и абсолютно сходится на каждом множестве 5 значен й х, ил ма котором функции о„(х) опредежньз и при всех и выполняется неравенство [а„(х) [ <М„, где М,+М,+Мэ+...— сходящийся ряд сравнения с положитель- ными членами, мажорирующий ряд (призмшс ВейерСитрисса).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
