Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если у(х) — неубывающая функция на (а, Ь), та Ь Ь (~/бу~ $))~бу (а Ь). (4.6-51) а а Если у(х) — неубывающая функция и /(х) <Е (х) на (а, Ь), гдо Ь Ь ~ ) бб ( )г Е йу (а < Ь), (4.6-52) а а Интегралы Стилтьеса часто имеют «наглядный» смысл (криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, по объему; интегралы по распределению массы, заряда и вероятности, п. !8.3-6). Заме!ним, что интеграл Стилтьеса в качгстее частных слу«аее включает е себя обычные июпегралы и суммы: Ь Ь ) Г (х) йу (х) = ~ 1(х) Е' (х) йх, (4.6-53) а а если функция у (х) непрерывно дифференцируема иа (а, Ь) и + со Г ( О, если х(0,1 ~)(й)= ) 1(х) й ~~~~и (х — Ь)~и (х)= ~ ~. (4.6-54) 4,6.18. Свертки. Свертка Сгилтьеса двух функций 1(к> и и (х> по интервалу (а, Ь> есть по определению функция Ь Ь Ч' «> Г— н )' / « — Ю йй <х) =— 1 й « — ) ау < > (4.6-55> а а для всех зна'гения 1, для которых эти два иятегрзла существуют и равяы, Классическая свертка / (к> н и (х! ыо (а, Ы подобным же обравом определяется как Ь Ь Ч«> =-(/<Г- х>й(к>дхнв) й« вЂ” х>/<л> ак.
а а В литературе и (55> и (56) часто просто называют сеерткой Функций / (х> и й <х> по <а, Ю Ь и любую из этих функций (55> и (56> обозначают символом 14!хили 1»4 Ю точный смысл а обм »но очевиден нз «оитеяста (см, также пп. 4.!1-5, 83-1, 8 Э Э я 185-7>. Селя имеют место раненстза (55> н (56>, то й»4/=/»46, / Х. (6446> = (/448) .Ха=/.Х. й !(.Ь, /.Х. (8+ Ь> =14! й+ /!<а. (4.6.57) П и а = — о» и/или Ь + о», ггли «нтггралы существуют, то равенства (57! сире«с~лиг»». Свертка двух «онечных или бесконечных последовательностей а (61, а (1>, о (2>, ...
и Ь (6>, Ь (1>, Ь (2), ... есть последовательность а.х- Ь = ~, 'а (à — а> Ь <М « = О, 1, 2, „,>, (4.6.58> Ь 4л-!9. Неравенства минковского н Гельдера. <а> если (а, ю — ограниченньгй или неограниченный интервал, для которого интегралы е прагой части существу»от, то 1-[ 1 Ь -П/р (ь р/р Гь !Ор !Рай ( (>/г>айб( +Ц</з! йй~ а а П см р (+ со) (нгреггкстго Минковского), О 711 ГЬ 1<р — «/р () /г/з йй( ( ~ ~ ! / >Р ий1 [) >/, <Р/<р — !> йй и Зти неравенства снрввехливы, в частности, длн обычных интегралов Римвн Л б и внв и е ега и, более общо, лля многомерных интегралов.
При р — 2 неравенство (66> щзется в яграегнс»п о Коши — Шварц <15.2-3> <М Иэ неравенств (59> и (66) вытекают соответствующие норзвеиства для сумм и для сходящихся бесконечных рядов. Ес.»и суммы справа суп<ест«уют, то ° 1 "ь+ьь (р~!т( [~;),ь (Р11/л [5', ь р11/р [;' ' П - о(+со! (нгривешт з Минковского>, ! [' 1' [ 5 ааьь ! Г~~) аь)Р11>р Г~,') ьь )Рлр — !!1«» — Рур <1< р (+о»> <нграггнстее Гсгьдгра>, П = — 2 Прх Р = — ! 2 неравенство (6» превращается в неравенство Коши — никако«ского (см также н, 1, Экп 4 7 ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ.
ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА О ПРИБЛИЖЕНИИ 4,7-1. Теоремы о среднем значении (см. также п. 4.10-4), Нижеследующие теоремы полезны для оценки значений и пределов действительных функций, производных и интегралов. (а) Если функция /(х) непрерыана ка (а, Ь( и диффергнцируема ка (а, Ь), то е инлмреа»м (а, Ь) суи<ествует ттик число Х, что г (М вЂ” / (а) =Г' (Х) (Ь вЂ” а) (4.7-1) (теорема г/гыранжа> теорема о конечном прираи<снип).
Число Х часто записываюг в виде Х=а+6(Ь вЂ” а) (0(6 <1). При /(а) =/(Ь) эта теорема называется гтюремой Рол.!я (см. также (п. 1.6-6, е). Если функхил 1 (х, х, . х ) непрерывка лри а,. х< Ь( и диффсрелаиругмо яри а<<к< (ь,. «=1, 2,..., л>, те существует напор таких чисел Х, Х... ч Х, «»па а,. < Х< ( Ь! « = 1, 2, ..., л> и /,Ь,Ь...„Ь ,(,, ..., Ь„) — /(а, о, ..., а„) = гл дт ! (Ь< — а/) <4.745 (Ы Ес.»и !! фУнк <ии и (х! и з (х! «плел~ вло Яа [а, О), 2! о (Ь> ф о (а> и 3> пРоиззоднмг и' <к! и о' (х> сук!ест«уют е интер олг <а, Ь) и едноеоемгкне не обращаютсл е куль. т т щтгр а,г <а, Ю сии<сел»гуглг таст »шло А', что и <Ь> — и (а> гг' (Х> о Ю! — о <а> о' (Х > <4Л-8> <теорема Хои»и> (с) Если функция / (х) непргрывна на (а, Ь(, та в интервале (а, Ь) существует такое число Х, чта Ь ~ / (х) бх = / (Х) (Ь вЂ” а) .
а (б) Если функции /(х) и е(х) непрерывны на (а, Ь) и у(х) )О на [а, Ь) чп!О (или у(х) (О на (а, Ь)), та в интервале (а, Ь) сущссгпвугт таков число Х. Ь ь 5/ (х) Е (х) бх = ( (Х) ~ б (х) б . (4. 7-5) а В те ин овского. отечественной литературе это неравенство называют неравенством Коюн — ВуВ Г. Кери а Т. Кори 180 Гл. 4, дифференниАльное и интеГРАльнОе исчисление 4.7-з.
48 ВВШ(ОНЕЧНЫВ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ ! ( 1 и Н (л! ывкм ка (а, Ь! и фимкинл й (л) в этом икг™есволв ке есвростает (илн ке сбывает), то в иатервам (а, ь) свществрет ток е число х, что Ь Х Ь ) ! (л) н (ю ал и (а) ) ! (л) вл + н (Н ~ 7(л) нл. (4. -6) а а Если, кроме того, С(к! - О на (а, ЬЬ то в интервале (а, Ь) сищвстввет такое число Х, что Х й (а) ~ ! (л) Вл, если и (к! ме возрзсгзет, а Ь С (Ь! ~ 7 (х) ак, если Н (х) ис убывает. Ь ) ( И) В (л) Нл а (4. 7-7! 4.7-2.
Раскрытие неопределенностей (прнмеры см. в табл. 4.7-1). (а) Пусть функпия [(х) вида "(, и (х) о (х), [и (х)[''"' и(х) — е (х) в точкех=а неопределена и принимает вид —,~, 0 со, Оо, соо, 1' илико — со. О 'со' Зто виачнт, что 7(х)=»вЂ” , где Игп и(х)=0 н Иш е(х)=0 в нервом а (х) к а х а случае; ((х)= —, где !нп и(х) = со и Иш е(х) =со — во втором; и (к) о (х) к а ((х)=и (х) е (х), где Иш и (х)=0 и Иш е (х)=со — в третьем, н т. д. Термин х а х а «раскрытие неопределенностейз означает, что отыскивается предел 1нп ((х). Если л а этот предел су(цествует, то часто по определенню полагают /(а) = 1пп ! (х).
к а Т в б л н ц в 4.7.! Некоторые часто встречающиеся пределы (и. 4.7-2) (Ь) Сл уча и 070 н сю(со. Пусть 1пп и(х)=Игл е(х)=0, Если сущсстл а к а вуст окргсп(ность точки х=а, в которой при х фа: !) е(х) фО и 2) произ. аодниг и' (х) и е'(х) существуют и е' (х) фО, то (4.7.8) Иш — = Иш о (к) ° а (л) о (к) к аи' (х] ' если предел в правой часе~и равенства существует (правило Лотипаля), Пусть Игп и (х) = Иш е (х) = о». Если существует окрестность точки а х а х=а, в которой при хна произаодныг и' (х) и е (х) сущсствуихл и е (х) фО, то раввисгквз (8) справедливо, если предел в правой части этого равенства су ирсошуеас (зта теорема таиже называется правилом Лапотная).
а'(к) Если само отношение —, представляет собой неопределенность, то ука. о' (к( аашшсй метод может быть в свою очередь применен и к —,, так что о (Ц и (к) а' (к( . и" (к) (4.7-9) х а и(к) к а о'(х! л а с " (к( (4.7-10) Анвлогичныз теоремы справедливы н длв функций двук и большего числа оеремеинык. Теоремы Веасрштрессз о приближенна позволяют рззличиме свойство нспрерыв. нык функций вмводиеь нз соответствующих свойств многочленов нлн тригономегрвчсс.
кик маосочленов. 4.8. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ, БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ 4.8-!. Бесконечные ряды. Сдоднмость (см. также п. 4.4-1). Бесконечный а..., ряд по+а(+а + ... действительныд или комплексных чисел (членов) а, а, о ю .. сходится, если последовательность в, зс, зз, ... его частнчныд сумм Ь' этот процесс, если необходимо, может быть продолжен и далыпе, (с) С ч уча и О о» Оо, о»О 1 и»» о» Выражения и(х) е(х) [и(х)[ и и(х) — о(х) с помощью какого-либо из соотношений и (х) е (х) = — == — ', 1(с (к) (са (г)' = 17о (х( = !7(н и (х)1 ' ! ) е и(к( о (к( часто можно привести к виду — —, и тогда к ним становятся применимыми е (к) ф(21 ' методы и. 4.7-2, Ь. (й) При вычислении пределов иногда бывает полезно воспользоваться формулой Тейлора (и.
4.10-!). (е) Методы пп. 4.7»2, а, Ь, с и б применимы и для отыскания одно- сторонних пределов (пп ! (х) и 1пп 7" (х) (и. 4.4-7). Пользуясь тем, что к а — О х а+О Ип( 1(х)= 1нп 7(1(у) находят Иш ((х) -+ р-Фо к +со 4.7-3. Теоремы Вейерштрасса о приближении (см. также пп. 4.10-4, 4.11-7 и 1» 8-4), 1) Пусть 7" (х) — дейсепвительмая функция, непрерывная на огриничснно» за»- киотом интервале [а, Ь[. Тогда для каждого заданного положительного отела в (максимум погрешности приближения) существует такой действительный и лногочлен Р(х) вм ~ азха, что [((х) — Р(х) [ (в лри всех х (и [а, ь[. 4=-0 2) к- Пусть функция 7(х) удовлетворяет дополнительному условию !(Ь) = = — ((а) и ш=2пг(Ь вЂ” а).
Тогда найдется главой дсйствигнсльный тригонометри- ческий многочлен Т(х) = ~ (ив сов йых+[)й вш Ьых), что [7(х) — Т(х) (в Ь=О при всех х ш [а, Ь[. ГЛ, В. ДИФФЕРЕНЦИ ЛЬНОЕ И ИНТЕГРДЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Вж-з. ав вескОНС)Нып ряд11 Н ~РОИЗИРДЕНИя 4.2.1. 188 и зплп Я ао имеет предел з, т, е. в том и только в том случае, если после- В=О довательность остатков ггп„=з — зп сходится к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
