Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 31
Текст из файла (страница 31)
также п. 14.1-3) в достаточно малой окрестности каждой точки области определяют взаимно однозначное соответствие этой окрестности н множества точек (у), уа, ..., Уп), Образованных значениями функций (13), принимаемыми в втой окрестности. Если дифференциалы У! = Ем дха (4.5.15) а=! линейно зависимы в данной области (п. 1.9-3), то якобнан (14) в этой области тождественно равен нулю. Если в У нет точки, в которой все элементы яксбнана (14) одновременно обращаются в нуль, то якобиан (14) аюждгствгнно авен нулю в области У в том и только в том случае, когда у каждой точки равен нулю в млой области гуи(гслмугт такая окрестность, в которой функцаи у; с некоторым нгпргд)ушвно даффвренциругмсак аютношгнием Ф(у), уш ..., У„) = )=О, гдг произвадншв — а ме все одновременно равны нулю.
В этом случае говорят, др( что функции (13) функционально зависимы в этой окрестности (см. также п. 4.5-7, с). 4.5-7. Неявные функции. (а) Если функция у = у(х) задана неявно должвым образом днфферен. цируемым соотношением У (х, у) =О, то ,1, Рк хк р кр х р (Ь) Если т функций у) —— у((х), хж" хп) ух=ух(*1 ха " хп) "° ут= оп уж (х) а'а " и (, ...,,х ) от и независимых переменных х„х„..., х„заданы неявно т соотношениями у!(У! Уш " Упч! х! хь" ° хп)=О ((=1,2,...,п!), (4.5-17) где Р! — непрерывно дифференцируемые функции в рассматриваемой областн, то 1. Дифференциалы йу н дх! связаны т линейнымн уравнениями йу( =О. др! 2.
Для каждого значения й=1, 2,..., и все т пронзводных— могут быть повучеиы по правилу Крамера (п.1.9-2) изт линейных уравнений Х вЂ” "' — '"' — — + — = О (! =* 14 2, ..., т), (4.5.18) др! дха дхь = л л "° л ! если толька (4.5-19) Рх Рх йх; арч ах= (4 5-20) Х. Если, цапрпмср, первый кз опрсдепетекей спРава отличен от «уля, то данные соотношенна определяют р к х как функцнн от х (см. (с)) к ураевсвпя (2О) позволяют йр йг найти пронгеодные- — и — †-..Х- йх йх ' (с) теорема существования пепеныхфункц на(смтакжеп. 42-1.ы.пустьдапс тОЧКа Р— (Хп Хл..., Хлч и,, Р,...., Рг,), Е КатОРОй ВЫПОЛНЯЮТСЯ Соотпсщспкп (17) К ((О). Если лсл Р! и др )др! чгпргрылчы л некоторой скрлсгппсстп О тонки Р, тс т слгтпс. ~кгпий (17) л кгкстлрай скргстклстп томки (кп к„...,хп) слрлдсллют р! клк кгпргрыллчш функции ст х„х,...
кш Если, кРоми того, л О чспРгРылпы и лсл пРскглсдпш дР( )дхр то л рксэаппсй скрсстнссти точки (кч, кь ..., кп) срщлстлрыт и кспрсрмлкм прспгллд. чыг др7(дка, Гсп» пкобпае (12) е О тождественно равен пулю, то пепыс части соотпо. шенпй (17) е некатсрон окрестности точки Р фупкцпонапьно аавнснмы (и. 4.5-5). так что р. не опредслекы однозначно. 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 4.6-1..х- Определенные интегралы (интеграл Римана). (а) Пусть действительная функция 7(х) определена и ограничена на ограпиченяом замкнутом интервале [а, Ь[. Разобьем этот интервал на и частичных интервалов точками а =хе <х! < ха «. х„= Ь.
Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке 5! (х; 1:-- <5(<хВ и составим сумму (илтггральная сумма) О! (51) (х; — х( кЬ 1=1 Если гурдествугт предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины юшбольшего частичного интервала разбиения! шах(х( — х( !) О, то функция ! (х) называется интегрируемой в смысле Римана на интгрват [а, Ь). Предел этой сумиы и ь Т = Ив В! (51) (х! — х! 1) = [! (х) дх, (4.6.1) шах (к; — х; !) О 1=! а называется определенным интегралом от )(х) по интервалу [а, Ь[ в смысле Римана (интеграл Римзнв).
Это определение означает, что для любого положительного числа з существует такое число 6 ) О, что при любом разбиении интервала [а, Ь) на частичные интервалы, длины которых меньше 6. вах (х! — х;,) < 6, и прв любом выборе промежуточных точек 5! выполняется неравенство Е 1(51)(1 —; ) — ! с= — 1 Функция )(х) называется подынтггральпой функцией, а а н Ь вЂ” пределами интегрирования. В табл. 4,6-1 перечислены важнейшие свойства определен. ных интегралов. для рассматриваемых значений х), хв, ..., х„. Дифферевпируя уравнения (18), получаем соотношения, дающие производные более высокого порядка функций у!.
В частпостм. два непрерывно днффсрснцпруемых соотношснпп Р (х, р, «) .= О к В (х, р, х) = О дают 114 ГЛ 4. ДИФФЕРЕННИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.6-1. Т в б л п ц в 4.6.1 46 ИНТЕГРАЛЪ| И ИНТЕГРИРОВАНИЕ Т во л и ц в 4.6.! (продолжение) Свойства интегралов (а) Плементармые свойства. Если интегризм существуют. то Ь а Ь с Ь ) 1 [х) бх = — ) ( (х) бх *), ) ( (х) [х = ) ( (х) бх + ) ] [х) бк, Ь а а Ь Ь Ь Ь Ь ) (и (х)-(-о (х)] ух=) и (х) ух 4-) о (к) бк, ) пи (х]ух=а) и (к) бх.
а а а а а (ь) интегрирование по частим. если функции и (х) и о (х) непрерывно диффергнцирремы на интереат а < х СЬ, гпо Ь Ь ) и (х> о' [х) ах= и (к) и (к) ( — ) о (к) и' (х) бх и а п или Ь Ь ) и би = ии ) — ) о ли. а и а (с).и. замена переменного(интегрирование педстаиаэкой). если функция х = х(и) неи ерывно диффгренцируема на интерваж и и - 6, а функция |(к) непрерывна на йнтервале т < х < М, где т — точнал нижняя, а'М вЂ” точная верхнял границп функции х (и) на интервале о < и < д, то х(6) 6 | (к) ух =) |[к [и)1 — би.
к (а) и (6> 44 дмфференцировамие по аврвмечру. Если фуякцил( (х, А) и ее частная производ- ное — |(х, А) непрерывны на множестве а <я <Ь, А,< А<А», а функции и (А) и о (А) диффгргнцнруемм на интервале Аь < А < А» и удавжтгоряют на нем условиям оси(А)<Ь, а<О(Л) СЬ. иЮ ПРи Хе<А< А Ь Ь вЂ” 1([. А) бх=[ЬА((я. А) бх. бй) а и а (А) о [А] ) д) — 1[я, А) бх= [ — 1(к, А) ух+1(о(А), Рд — „— 1(и[Ай А) 62 А1, .=[ — ' [правиго Лейбницо), Первая формула остается ается в силе и дяя нгсобстеенныл интегралов, если прсдпого- Ь д жить, что интеграл ) | (х, А] бк сходится, а иннмерал ) д | (к. А) бх равномерно схоа а дится на инпырвам Ае <А <йь [При этом функция 1(х, А) и ег производная — 1 (х, Л) предполагаются непрерывными пилив на мноосеспые а х < Ь, ) с,АЙ<А<А, дй или на множестве а < к < Ь.
Аь < А А» ) < Ь . ] Это равенство следует рассматривать нвк определение внтегрвлв ) ((х] бх а а прм Ь < а. Иэ него также вытекает, что) | (х] ух =О, а Второй случай чзссо макао свести к первому подходящей зьл»еной переменных Отметим также, что А А д( ! — ) | (х, А) бк= „— ) (((х, А)+ (А — а) -- + (х — а) — — 1 бх. А — а) '[ дй дх) и и (е) Неравенства (см. твнже и. 4.6.|9) Если инпызрагы существрют, то (при а<Ы из ) (х) 6 (х) на [а, Ь] следует Ь Ь )](х)бк<) у(х)бх. о а Если ! ] (х) ! < М ко ограниченном ннтгреалг [а, Ь], гпо аэ суи(еспюовонпя игнт- Ь Ь грага ) | (х> бх вите»агт и срщсстсоеание и нпгграга ) , '([х) ! бк и а а Ь ]](х)бх <) (((х)(бх<М (Ь и) о а Ь Если Функция у=((х) пв интервале [а.
Ь] неогрнцатепьнв, то интеграл) | (к) бх аыргжвет площадь, ограниченную кривой у=- ((х), осью абсцисс и двумя прямымн к= о н х=-Ь. Если ] (к) <О, то интеграл «ырвжвет зту площадь, азату»о со знаком минус, (Ы Функц л | (х), ограни»синая на ограниченном замкнутом интервале [а, Ь], пнтггрпруема на не»» в смысле Римана е том и только е том случае, если она непрерывна поили всюду на !а, Ь] (и. 4 б-|4, Ьв Это, в частности, веряог !) если фрн ция | (») нспрсрыв га но |а, Ь]! 2) ссги функция | (х) ограни сна на [а, Ь] и имеет на [а, Ь] кон»»ног изи тгтное ниоясестео пгочск разрыва; 3) гоги функиия | (г) монете»гна на (а, О): 4) гоги ((х) есть фу кция ограниченной вариации на [а, Ь] (см, также п. 4т-б), Если функция | (х) интггриругмо на [а, Ь], то она интггрг»русма а ка каждом инпыреогс, содгрзсии(емся в [а, Ь] 4.6-2.
Несобственные интегралы (а) Если функция ((х) ограничена и интегрируема на кагкдом ограниченном интервале, содсргиащсмся в (а, Ь), то понятие определенного интег- Ь рала (((х) бх (п. 4.6-!) можно расширить так, что опо станет применимым а и когда !. Функпия ((х) ие ограничена в любой окрестности одного из пределов интегрирования а или Ь (см. также п. 4.6-2, Ь). 2. Интервал (а, Ь) не ограничен Тан, если функция ((х) ограничена и интегрируема иа каждом конечном интервале [а, Х), где а СХ < Ь, то па олреоглгнию полагают Ь Х ) У (.) Ь = Нгп ) ( (х) б (4.6-2а) а Ь вЂ” О и, в частности, прн Ь =+ со +оз Х ) ! (х) бх= Игп ) у(х) ал (4.6-2Ь) а -|-со „ Точно так же Ь Ь Ь Ь у 1 (х) с(х, ) г (х)»[х = Нщ ) у (х) г(х (4.6.2с) а Х-+ОХ Х- — са Х 4.6 ИНТВГРЛЛЫ И ИНТПГРИРОВЛНИЕ «.В.В. 116 гл.
4. диффпринцилльнон и интнгрлльыои исчислпнип «.в-т. Каждый несобственный интеграл, опреде ленный таким образом, сущест- .Н обеств ет предел в правой части равенства. есо б если сходщы соот ствениый интеграл от фу ц 1( ) 493) Н б оди ть (см, также пп. 4.6-15, е н . - . есо , но не абсолютно, иазываетс у в и я з абл 4 6 ! и и д об чением, быть может, конечного числа точек о ( с, с, инчена н лю " р ЛЮбОй ОКрЕСтНОСтИ и; Каждсй тОЧКН Хяме( (г'=, ', ..., П, а В , ..., и ограничена, то несобственный ннтег- обьединения окрестностей ию ит, ..., и„огран че Ь Рал 1(х) дх можно определить как сумму несобстве .
р рал~ х х и. вных интегРалсв вида (2), о — =Ь и пределы в правой части равенства Например, если с,=а н ся= существу)от, то й Хч ) 1(х) ух= !!щ ) [(х)дх+ !!т ) 1(х) йх, (4.6-3) Х,-.фо Х, Х,-Ь вЂ” О и о где д — произвольная точка интервала (а, Ь). Если а= — со и Ь =-[-оз, то й ~ !(х) йх»ю 1!гп ~ 1(х)йх+ !!щ ~ 1(х)дх, (46-4] Х 1 Если [(х) не ограничена в окрестности точки с, лежащей внутри интер- вала (а, Ь), то Ь )г[(х) йх»я !!щ ~[(х) ух+ 1(ш [(х)дх (а(с( ). ( .- Ь .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
