Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Точка Р есть внутренняя точка множества 5, в 5. Точка Р . С, не явесли Р имеет окрестность, целиком содержащуюся в 5. Точка (, не являющаяся внутренней точкой ни множества 5, ни его д ол м ожества 5. Точка Р множества 5 есть его изолированная точка, если у нее есть окрестность, не содержащая других точек множества 5. Точечное множество 5 есть: о~крытое множество, если оно состоит только из внутренинк точек; ззмйнутое множество, если оно содержит все свои предельные точки; конечное множество замкнуто; дискретное (изолмроввнное) множество, если оно содержит только изолирован ные точки; дискретное множество на евклидовой плоскости или в евклндовом пр р п остранстве конечно нли счетно; конечное множ ство д р множество, если его нельзя представить в виде ьед об инения двух непересекающихся множеств, каждое из которых > е с д р р связное м с о е жвт и едельиык точек другого.
(См. также п. 12,3-4.) (Ы Множество из евклидовая плоскести или в евклидоаом пространстве ограничено, товых «оо днвзт всех его тачек. Область (открытая если ограничена множество декарт ытоя области н ее греиичиых точек г открытое связное лсвожество. Объединение открыто есть от р бв сть (границы области> есть замкнутая обив с н любая и остея Об Р из евилидовок плжкостн нззыввется односвявнез, если а р иком и инвдлежзщея О может быть стянута в тач«у и области О Область не односвезная с помощью непрерывная деформация, ссе выходя из о ласти называется многосвязной. поверхностно-одиасвязмод, если лю ую простую ва Область у в евклид Р ° Р овом т ехме иом пространстве называется: ю амкиутую крмвую, лежащую в у, яйз ус можно с помощью непрер д лю е ывиоя е"юрмзцин стянуть в точку, ве выходя йз б ю п остую замкнутую поверхность типа я ст явственно.одлюсвязиоя, есл» лю ую простую чк, ве с4мрм, лежащую в У, можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, е, ша односвязен с точки зрения обоих определении, шаровое кольцо— только с точки зрения первого определения, е т Непр мер, шер однасвязе» точи Р вта(лаго.
4.4. ПРЕДЕЛЪ), НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ 4.4-1. Пределы функций и последовательностей (см. также пп. 4.8-1 и 12.6-3; см. примеры в табл, 4.7-1). (а) Функция [ (х) имеет (необходимо единственный) предел 1пп ('(х) =ь при х а х, стремящемся к конечному значению х=а (предел з точке а; )(х) — ь при ж ого положительного числа и существует такое положительное число б, что нри О(!х — а )(6 функция ('(х) определена н Функция [(х) действительного переменного х имеет (необходимо еди сти 1' > ( )=ь при х, стремящемся к алгос бесконечности (ковда х метраниченна зазрастает; ! (х) с при х +со), если для каждого йоложнтельиого числа е существует такое действительное число А(, что при х ) А> (функция ) (х) определена и !) (х) — ь(к.
и. Если фуикшся ) (х) имеет предел с, то говорят, что онз стремится к (Ь) Последовательность чисел (и. 4.2-1) кш з,, з„... (див (и) ) имеет (необходимо единственный) предел Ип> в„= 5 (сходите ), я к 5), если для каждого положительного числа е существует такой номер, р А(, что п и и ) Ас выполняется неравенство > в„— ~ е. р — 5 ~ ( е. Критерий скодимости последовательности к я ов. см. и п. 4.9.1, где рассматриваются првзнаки скодимости бесконечных ряд в. (с) действительная функция [(х) неограниченно возрастает (стремится в плюс беси о ив'с н о от и >: =а б (х) ' со прн х а; ненато.
> П и х, сисречяисгмсл х хеиечиаму зиачеиию «=а б ( ) ч'- р уд с ерые авторы пйшут >ш (х (' ! ( ) + со), если для каждого деястввтельного чиела ущех и 44 П"ГДЕЛЫ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Рдз ствует техов половснтельиое число б в [сл) ъ Л(, ункиия (х) определена Прх х, сшргмли(смея к илес бегхеитиассаи ([(х) +аз пр» х +со; некоторые ввторы пишут Нш Г (х) =-(-со), если для каждого действительного числа М сущест+ ' вует -.акое действительное число М, что прн х> М функция [ (х) опаеделеиа и >(х)ЪЛ(, Аналогичное определение дается в случае последовательности 1[еяствнтелшше перо- л*еияае х или ! (х) стремится к минус бесконечности (х — со нли [( ) соа1ветствессссо — х фсо илн — [(х) 4-со. Н (Ь) н (с) >стаиавливеетсЯ метеметнчсгкиц с:сысл символов + са н — со в системе деэствнтельных чисел (см. также пп, (.З-Л и т заь Если ! (л) + со нлв [(х) — са при х а (при х ->-са; при х — ол), т ш, ч фу п,г ( ) ляется бесконечно большой при х а (соответственно при са; при х — ол, то гово- л -(-; «ри х — со), Гели ((х) О при х а (при х -',-са; прн х — ол), то фуек- ция ) х> иазывается бескопечво лсалой прн х а (соответственно пр 4.4-2.
Операции иад ппеделами (см. так)ке пп. 4.4-6,с и 4.8-4), Если про. долы з гривой части ни)кеследующих равенств существуют, то существуют прс слы и в левов части равенств н !(гп ([" (х) + а (х)) = !пп ) (х)+ )пп д (х), х а х а Пгп (а ( (х)) = а Иш [ (х), х х и 1>п> (('(х) р (хЯ= 1пп Г (х) 11сп п(х), (4 1-1) х х и х и Нси ) (х> (х а где а может быть как конечным, так и бесконечным; эти правила прнмен >мы н к прсдслзм последовательностей (п. 4.4-!), а такисе к пределам фупкц>гй нескольких переменных (и. 4.4-5).
.. 4.- 4.4-3. Асимптотические соотношения между двумя функциями (см. таюк. г..8-6), Если даны две действителы ые или комплексные функции [(х), п(х) действительного илн комплексного переменного х, то пишут 1. )(х)=0(д(х)( (>'(х) есть 0(а(х)()( [(х) есть функция не низшего по- рядка милости чем а(х) при х а, гслн существует окрсстность точки а, в которой при х Фа отношение [(х)(8(х) огрлннчено. 2. ) (х) =.0* (8(х))с ) (х) и а(х) имеют одни ч тот же порядок (функция )(т) всимптотическн пропорциональна а(х)) прн х а, если предел й;и ',) (х)(д (х)) суп(ес>вует и отличен от нуля л а 3 [(х) ь(х); [(х) и к(х) эквивалентны (функция [(х) вснмптотнчес«и равна й(х)) прн х а, если 1пп 1)(х)(д (хц=!( отсюда следует, что отчоше- пиг Разности [(х) — 8(х) к а(х) (нли к ) (х)) стремится к нулю при х а.
4. [(х)=о(д(х)) ([(х) ссть о(а(х)))С )(х) есть функция более высокого порядка малости чем д(х) при х — а, если )пп ([(х))8(х))=О. Это иногда х а цпвюг в так: «функция ) (х) пренебрежимо мала по сравнению с д(х)» п и д з ри Б кикдом из этих определений а может быль как конечным, так и бес- конешыы. Бесконечно мллымн порядка 1, 2, ... при х О называются функ- ции того же порядка, что н соо)ветственно функции х, хв, ... прн х О. Бес.
конечно большими порядка 1, 2, ... при х- +оп называются фуикпни того же порядка, что и соответственно функции х, хз, ... цри х +со. Аснмптотнчсские соотеошеиня часто позволлют оценивать нли приближать функцнсо (х) с ссомощью Х (хс в иекотаров окрестности точки х а.
Пишут )(х) =ч (х) —,' 0 [4 (тй если [(х) — л (х) = 0[4 (хц, / (х) Р (х) + е [Л (хЦ, если [ (х) — ср (х) = а [К (хЦ. 4 4 ПРЕДЕЛЪ|, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКПИИ 4.4-7. ГЛ. 4. дифференциАльнОе и интегрдльнОВ исчиСление 4.4-4. 1!ш з„(х) = з (х), если для каждого положительного числа в существует такай камер А(, что при п > А» и при всех х ш 5 выполняется неравенство, зл (х) — з (х) 1(в (см. также пп. 4.6-2 н 4.8-2). 4.4-5.
Пределы ао савоиуанасти пеРеменных н повторные врепелы, <а) Если термин «окрестность» понимать в смысле, укз, 4 ззннам в и, 4 3-5,с, то Функ- ция (к», к, м к,) нмеет <нгэбкэдимз здиисамгинмй) предел Ит ! (х», х,] =, если лля х, а, хь а нзж ога положительного числа з существует такая окрестность О точки <а,, а,], что ла зсск точек (хи х,) Ш О, исключаЯ, быть может, точкУ <аь а,), ФУнкцвЯ ! <х„хз) ) — Е[(в, При этом а н)илн а, могут быть нзк «анечнымн, тзн 1 н бесконечнымн. цт з =з (сгодится к з) Двойная нэсггдазатгльиьаль зьь, з»ь... имеет предел з» ь» и о» з номе зМн)г,что если Пля каждого положительного числа З существуют такие дв р прн аь> м н н > (г выпалияется нерзвенстзо !з „вЂ” з! <г, преяелы функции более чем двух переменных оцрслеляютсн знзлагнчно, (Ы Если сушгстгугт лткэг льзьжитгтнзз число Ь, чтэ ит |<, х) =[<аи кь) лри 0<!хз — «»1<б х, а» Ит !<хь «д=!(х», а) апи 0(1х» — а»!< х, а, (4 4.2) и аь крайиг мере з э нам иэ э ик н й д этик нргдгльимх арэцгсссз схэдилгьсть на указаииь.и миэ- ькгстзг разнзмгрна, »ль зсг три нредсла Пт ! (х», хь), Пгн ! Пт ! М» хь)1 х, а, к, а, <х, а, хз а, пщ [ ит ! (х„к,)) к, а, ) х» а, сущьстьу»ст и разны руг ру и друг другу.
Аналогичные теоремы справедливы м в слу'»ье, когда а, н)нлн а, бесконечны 4.4-6. Непрерывные функции. а) Ф нкция ! (х), определенная в некоторой окрестности точки х= а, непрерывна при к= п ы на прн к=а (в точке а), если предел !Пп 1(х) суп<ествует и ра. вен |(а), т, е, если для |( )... ес и для каждого положительного числа е существует такое положительное число ]ело Ь, что прн )к — а ! С б выполняется неравенство ! ! (х) — ! (а) ! ( а. 4.4-4, Равномерная сходнмость. -) Ф <( , х ) сходится равномерно на множестве 5 значений х,: 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
