Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 23
Текст из файла (страница 23)
у 3.1-13. С альиые тппы поверхностей. Лииейчатой поверхностью иээывастс ~ 3. - . пециал ы б э ю ей . Циляинр есть п аверхиасть, образованная движеивем прямой линии (ее о рэ у щ ). поверхность, образованная движением прямОЙ, остающ ' р . ° ейся пэ аллельиой нскатара» ханной прямой и пересекающей лаииую лини~о \наприлллющую) В частности, уравнения ), =-О, ! х, ) =О, ! (, э]=0 определяют цялиидры, образующие котармх параллельны соатветствевяа асям Оэ, Оу, Ок.
Конус есть йо р, р' Нэиж н ем прямой, прахаднщсй через данную точку (вершину конуса) и пересекающее данную линяю (ега направляющую). Поверхностью вращ е и образованная вращением плоской кривой вокруг неподвижной асн, лежащей в плоскаст кривой та14, »равнение э=! () к + у ) определяет поверхность, описанную вращением кривой [ ' ' вокруг асм Ол, [у=о 3.1-16. Поверхности н кривые. (а) Линия пересечения двух поверхностей !р! (х, у, г) = О, (р (х, у, г) = 0 представляет собой кривую, точки которой (х, у, г) удовлетворяют каждому нз уравнений (31) (см.
также п. 3.1-!3). Линия пересечения может иметь более одной ветви, Уравнения (3!) могут также определять лишь окну или несколько изолированных точек, принадлежащих обеим поверхноствм, пли ве определять нн Одной точки. Кривме р (О, у, х) = О, ( ф (х, О, к] = О, / ф (х, у, О) = Π— =о представляют собой линии пересечения (если анп существуют) поверхности ф (х, у, э) =О с плоскостями Оуэ, Охг н Оху соответствевна, (Ь) Дйя любого действнтельного значения л уравнение (31 (», д, г) +л фл (», у, г) = 0 соответствует поверхности, проходящей через линию пересечения поверхно- стей (31), если последняя существует. (с) Уравнение !Рл(х, д, г) фя (х, у, г) =0 соответствует поверхности, образованной точками обеих поверхностей (31) и не содержащей никаких других точек.
щ ур пение проекции кривой (31) иа плоскость Оуэ (нлн Охх, Оку) может быть получена исключением иэ уравнений (!!) переменной х (соответств ина у, ), (с) Координаты х, у, э точек пересечения крнаай (3!) с поверхностью (23) должны УДОВЛЕтВОРЯтЬ ВСЕМ ТРЕМ УРаВНЕНИЯМ (31), (23). ДЛЯ ЛЮ5ЫХ ДЕЙСтвнтЕЛЬИЫХ Х„йл УРааисииа ф (т, У, э) + Ьэ ф, (х, У, «) О, ф (х, У, х) + Рч фл (х, У, э) = ( .- = О 3 1-33) ап сделают кривую, проходящую через все эти точки пересечения. Р (!) Кривая одиовараметрическога семейства ф,(х, у,э, й)=О, фл(х, у, х,ь)=О ( . ) 3 1-34! описывает поверхность, уравнение которой ыожет быть получено путем исключения пара- метра А яэ (34). 3 2 ПЛОСКОСТЬ 3.2-! .
Уравнение плоскости. (а) Уравнение, линейное относительно яекартовых прямоугольных каор. динат, т. е. урзвнепие вида Ах+Ву+Сг+с)=0 илн А г+с)=0 (3.2-11 Коэффяциепты А, В, С равны проекциям веитора Л = — (Л, В, С), перпснлшсулярного к плоскости, иа аси Ох, Оу, Ох соатветстэеано (п. 3.1.3, ]э); вектор А имеет напра»лс»не положительной нлн отрицательной нормали к плоскости (см ниже) н называется на»мала»им ихтэрам пласэасши. Прн О .= О плоскость про»саят через качала каорд»иэт, (Ь) Особенно важное значение имеют следующие виды уравнений пчо- скостп 1.
Ураннение плоскости в отрезках. Плоскость, пересюающая ось О» в точке (и, О, 0), ось Оу в точке (О, О, 0) и ось Ог в точке (О, О, с), имеет уравнение к у э —;+ — +-,— =1 а 2. Нормальное уравнение плоскости. Пусть р 0 — длина пеРпенДикУлЯРа, опУшенного из начала кооРДинат на плоскость; пУсть соэ ак, сол ау, соэ а — напранляющие косинусы (п, 3.1-8) этого направленного перпепд!]куляра, началом которого служит начало координат, а концом точка плоскости (положительная нормаль к плоскости). Тогда уравнение плосксстп имеет впд х соз а .
+ д сов ау + г соэ а, — Р = О. 3. Уравнение плоскости, проходящей через хапну]о т о ч к у. Если плоскость проходит через точку Р, (х„у„г,) =.— Р, (г,), а напра. влснне нормали к плоскости эаязно проекпиямн А, В, С вектора нормали А пз осп декартовой прямоугольной системы координат, то уравнение плоскости имеет впд А(х х!)+В(у — уг)+С(г — г,) =0 илн А (г — г,)=О, 4. Уравнение плоскости, проходящей через трн данные точки Р (хт, У(, г!)==Р(г!), Рз(хз, Уэ, гх)=Р(гв), Ра(хэ, Уэ, гз)гм = Р(г,), ие лежащие па одной прямой (п.
3.4-3, а) имеет впд г 1 г, 1 гя 1 гз х у к, д! =О, нлн [(г — г ) (г — гз) (г — гзЦ= — 0 хз Уя »3 дз нлк 21 1 г, «1 1 «д д, 1 Уз гз 1 х + гэ хз 1 д + хз уя 1 г †' х, ув г, =О. Уз гз 1 гз хз 1 хз Уа 1 хз Уз гз тле А, В н С ие равны нулю одновременно, определяет плоскость; обратно, каждую плоскость можно определить уравнением первой степени откос!Псльпо декартовых прямоугояьных координат. 34 ВЗЛ!(ИНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОГКОСТГП И ПРЯМЫХ ЗА-!. 84 ГЛ. 3.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРЛНСТВЕ (с) Если плоскость выше величины а, Ь, с, следующим образом: задана уравнением общего вида (1), то введенные )т, Сов ал., СОЗ ад, г она, сова выражаются через А, В, В с= —— С В а= — —, А' (3.2-2) А соз ах= х .!. У,(в.! В -). Св в сов ссд = т УА, в, ь с, с соз а г,ул,(, ! Вв (3.2-3) б алесь еловке р) 0 где знак п р перед корнем выбирается так, чтобы со люд у о мали к плоскости Если Р=О, то выбор положительного направления вв н р произволен. плоскость момст быть вв вчв 3,2-2, Пврнмстрнчсснос ввдвннс нлосностн. Любка п. следующими нврвмстрнчсскнмв урввнснн .
( ями (н. 3 1.14). х=к -(-мхи+ахи, д д,+н.и-(-ь ь, 1 нля е т,+ ив+ иЬ г = г -1- л и -)- б о, (3.2-4) З.З. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ . 3.1.8, Ы. (с) Вектора=А, Х Аз является направляющим вектором прямой (п. 3, ), задан!!о!! как линия пе ес пересечения двух плоскостей (уравнения (1)); его лроасавны соответции на оси декартовой ° р оной прямоугольной системы координат р а =В С вЂ” В,С, ад —— С,Аг — С2Л„ах=А(В2 — Л,В1! (3.3-2) К 1 2 2 1 3.3-1.
Уравнения прямой. (т) Два независимых линейных уравнения вр, (х, у, г) жА х+В у-)-С г-(-Р,=О, ~ (3.3- !) вр,(х, у, г) ее Азк+В у+С г+0,=0 нли А, г+0,=0, А, г+Рз=О 0; см. также пп. 1.9-3, а, 8.2-2 и 8.2-7) определяют прямую как остей п 3 1-16 а) Обратна каждая прямая может г . П Р =Рв= — 0 ( гол],юг атом быть определена уравнениями вида (1). При случае) прямая проходит через начало коорлзнат.
(ь) Особенно вагкное значение имеют следую 1 д ур и ие ви ы назвени прямо 1: 1. Уравнения прямой, проходящ " р ей че ез две точки Р,(х„ую г,) и Р,(х,, ущ гз): х — х, д — д, г — г, х,— х, д,— д, г,— г,' 2. У я прямой, проходящем через данную точку п авл енин (канонические уравнения прямо").
явнення п р Если рямая проходит через точку Р,(хю ую г,)= — (,) вектоРУ ваш (ак, ад, аг — ) (направляющий вектор прямои; см. также п. то ее уравнейпя могут быть приведены к виду — — — нли г-г,=а!. их ид аг аправляюшие косинусы пряыо ! и, следовательно углы аею прямой и осямн Ох, Оу и Ог определяютсн по формулам ! ! соз ак = — (В,С2 — ВгС,), соз ад —— -- (С(Л, — СзА1), м м сова,=-'- (А,В, А В,) М=((В,С,— ВзС,)з+(С,А,— С,Л,)з ) (Л,В, А,В,)з)Чв. (3 3 3) Тот или иной выбор знака перед корнем определяет положительное напра. вленис на прямой. Ураинения (2) и (3) являются условиями того, что прямая с направляющими косинусами сазаки сова,, сова, или с направляющим вектором А перяенднкулярпа к двум векторам А, и А, заданным своими проекциями Аы Вю С, и А, Вю Сз на оси декартовой прямоугольной системы коордивот.
(ф Уравнения плоскостсз, просктнруващнх прлмуга и) нв нноскастн Охд, Окг н Одг соответственно (т е пноскостся, проходящнк через прямуго н псрнсндчкулярйых к свот. встствующнм когрдннвтным плоскостям], таковы: (С,Л вЂ” Свл,) к -Ь (С,в — Свв„> д вп (С В вЂ” С О,) = О, (В,Л, — ВвЛО х.в- (В,С вЂ” В С,) д+ (В!в! — Вв(г,) —.- О, (А Вв — А,в,).т-)- (А Св — АвС ) д+(А Ов — Лвв ) = О Любые двв нг урвчнсвнз (и опрстснягот прямую (!) 3.3-2. Параметрические уравнения прямой. Декартовы прямоугольные координаты (х, у, г) произвольная точки прямой удовлетворяют параметрическим уравнениям (п. 3.1-13): х=х,-)-ахг, у=у,+ад(, г=г,+аг(, или г=г,-) га, (33-5) гДе а — напРавлЯюЩий вектоР, Р,(хю У,, г,)еер,(г,) — некотоРаЯ фикспРованная точка прямой.
3.4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК, ПЛОСКОСТЕЙ И ПРЯМЫХ 3.4-1. Углы, (а) Угол у, между дария пряными с направляющими косинусами'соз ах, сазан, совал и сова„, с(юад, сова, определяется по формулам (см. так ке п, 3,1-8, с): сову,=сова„сов ссх+созадсоз ад+сов а,сов ссг, (3 4-1) 3!игу,=(созад соя ах — сова соя ссд! +(сов ах сазак — соя а„сова,> + 2 '!з +(соз а„соз ад — соз ад соз ак)з (3А-2) Есля прямые заданы пврвмстрнчсскнмн урввмсннямн (н.
3,3-2) г =г,+!в н г=е, + +!в', то в ° в' ! в Х в' ! севу! =,, в!н тв = (в))н'(' !в))а'!' (ЗА-З> Прямив чириллсюнм, если сову, = 1, н вэиимнл перпендикуляр ие, если сев гт =О. (Ц Угол уз мехсду двумя плоскосееыми Лх+Ву+Сг+0=0 н А'х-(-В'у+ + С'г+Р'=О, или А г-)-0=0 н А' г-(-Р'=0 (угол между их нормалямн), Определяется по формуле ЛЛ ЩВВ +СС А Л (3,4-4) д Л + Вв + Св р Л + В -Ь С ! А (( Л (' Еснн янаскостн ввдвны нврвметрнческнчн урнвнсннямн (и, 3,2.2) г = г, + ив -г- иЬ н г г1 + ин , оЬ, те (в Х Ь) (в' х Ь') (3,4-5) ! в М Ь ! ) в' Х Ь'!' ггрямай а а (э .
(ЗЛ-9) (3.4-6) имеют вид (3 4-13! (г — гг]Х<г — гг! =О, (3 4.14! 2. Чгстре точки .гглс.ин са ! у, г, 1 х, у, г, 1 л'э ул гэ х, у, г, 1 А В С Аа В" С" (3.4.15! ЕО ГЛ, 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОЛ(ЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (с) Угол уч между прямой Х вЂ” «г У вЂ” 1( г — г, ал ау аг и плоскостью ЛхЕВУ+Сг-)- 0=0 (угол между прямой п ее праскппсй пз плоскость) определлетсл по формуле Аах-~- Ва, + Саг 1 АЯ - Вг+ С' ) 'а„э Л. „'"+ аг В 'гэствасти, ирямэя параллельна иааскасти, если Мо у„=о (лежит вэ иязскасти, есян, кроче гага, Ах, — ' Ву,.г Сг, -! О =О!; прямая аерггеидикуяярив к ияаскости, сс ги ыа у,, =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
