Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 19
Текст из файла (страница 19)
д у. и на а» главных иап, . ссю»;и л', кривое определястса формулоп 362!у-= 3225== — -' 2ам О.- ) 2. 3- И ан — осу только окру»нность имеет неопределенные главные направленая 2.4-8. Приведение уравнении кривой второго порядка к стандартному (ианоническому) виду. Если ввести новую систему ноординат, совершив пово- рот осек нз угол, удовлетворяющий уравненню (11), и подходящий перенос начала (п.
2.1-7), то уравнение (1) любой невырожденной кривой второго ом (или каноннче- порядка иол(ет быть приведено к следующему стандартному ( . ) в (параметры аз, Ьа и р, встречающиеся в канонических уравне- ниях, весьма йросто вйражаются через корни Ад~де характерист ического уравнения (б) и инварианты А, (), 7)3 —, +-"; — = 1 (эллипс), (2.4-12а) уравнения сипаждсннах (распадлюзчихся) кривык второго порядка ана».южным Способом прнводвтся к езду х» —, + "— = О (та»ка), а* ь' ач и' —. — — =- О (псрсссхаюжлссл пллмсзс), (2 4.)З) а- Ьа л' — = 1 (параллслснис прямые), а ха = О (адно зсйюпаительная плавал). ! 3 а м с ч а н н е, Поворот координатных асей (2,!.9) на угол, удовлетворяющня уравнению (11), приводит к д.
г иа овальному виду матрацу [а ] характеристическая екже п И.а-е) Иамененве 9 ва чгол, кратный п?2, соотквадратвчноо фоРмы (4) (см. так е п „'х — х н -з, Каноавчесние чравнсння ветствует некотоооа перестановке переменных х, а " З пом о сы (п. 2.4.9) нрн- (32, а), 312, ю, (32, с) соответствуют таному выбору 9, прн котором фокусы п, й. ° р- ных второго йорндка лежа~ яе оси Ох, 2.4-!О. 2Л. КРНВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯЛКА (КОНИЧЕСКИГ СЕЧЕНИЯ) б? 2Л-9. Геометрическое опредечение невырожденнол кривой второго порядка.
Каноническое урпвцение любой невырожденной кривой оторого порядкп (12) помет быть при помощя подходящего преобразования начала (п. 2.1-5) гриведено к виду В э!о»3 случае кривая проходит через начало координат вовой системы; ось Ох пгсщстся ос ь ю снимет р н и кривой. Уран)(е)133е (!4) выражает тое 3963!у, что незырожденная криоая второго порядка яаляетсл геометрическая мгстло,»3 талек, отнозиение, ассзпояний которых е==-0 (эксцентриситет) от диннлч нитки (фокуса) и от данной прямой (дирентрисы) поапоянно. Ь пивал ссль зллит при г ( 1 и, з часоиюсти, окрулсность при 6 =О, г(333."убого 3»р33 е )! и лариоола при 6=1.
Уран:(ение директрисы кривой (14): Д(гзрс;пр(ща перпендикулярна к оси сп:аистрпн, просодящей через фокус и верш»ну крчвой (фоквльная ось). Рзссто»133(е межту фэкусоч н директр»сой р»впо р'е. Если кривая второго порядка йенл)ралоная (эллипс нлн 3»пербоза), то прямая (2.4. 17) пнлгстся осью симметрии крпной н, следовательно, кривая зп(ест дпз фокуса п дзе дпректрисы, Фохпльным параметром невырожденной кривой второго порядка наз(лвастся половина длины ее хорды, проходящей через фокус и перпевднкулярпо.! к фзкальиой оси (фэ)хпльнзя хорда); фэкальный нара:лстр равен р.
3 а "3 е ч а и и е. Лс. т.с»и кривых ст»рс а п»ллдк,, аипсссз"нназх я ю ачрс»кдснмлт, »,.суп опию лсзиз:33ь3 кол плсскпс ссмнлл пслмсгс «пгс»]с с канис» лли пиа»и3нис псзс:»л. с нги(си плсскссл»и стнссзстс»а33о к»33)сс, вслп крпа»п рас33ад(ется па пару гсп,3:3»: !а*па!»3 прячих, то с»сдует счптать что конус аирожпастся а ии.3инзр 2.1-19. Касательные и нормали к кривым вторэго поразив. полюсы и пэлярь(. Урззнениг касательной (п. 1?.1-1) к кривой второго порядка (1) в ее точке (г,, у,) имеет пп,( ап (утх+хзу)+гыузу+пы (х( ллх)-]-а (у ] у) 3.໠— 0 нл» (2.4-!8) ( 13 3+63 (у»!+ага) х+(а 143+пату! +и и) у+(аазхз+па у ] а ) =0 Улогнение нормали (п. 17.1-2) к кривой второго порядка (!) в точке (х„у,) ниест вид х — х, д — и (2.4-19) а,,х, -1- а,си» + а,т аа,х, -3- а,си, »- а 3 Уравяение (18) опэсдгллет приму!о, называемую полярой точкп (х,, у,) относительно хривой второго порядка (1), независимо от того, лежит ли точка (х,, у,) иа кривой нли нет; точка (х,, у,) называется полюсом пря"!Ой (18).
Поляра точки кривой есть касательная к крзвой в этой точке. 8* з.4 11. Х4 КРНПЫГ ВТОРОГО ПОРЯДКа (КОНИЧЕСКИЕ СГЧЕНИЯ) 69 4 о~О 1 ь о Вс ил соо оп н ч мип Вилл исаи о„с и с В В В В ч ь,(.о Ы!В "с! и 1 !ь й л о. о о о о о. О г" ге и м '„~~О Щ)О 1 1 1 + !о "В!л ч и о с », г 11 В о о В ч В)т о с й Д + ч 11 Е В с. ч л ху уз х х,у, у" ,х[ х! хзув У) хе Уз хауз Уг лз Хг гХау4 Уь Уь сау5 У 15 у 1 уг 1 Уз 1 Уз Уе 1 Уь (2 4-20) [Х о В л ( ьо ,ь н с. Ва о И В с м О гк 11 к й + с ч ь)( й л ч ч л о е йййе и и о.,г о и й м л 'ч и Вимо ел по ° и с г В»п и и с о о и„ ло Вг В лг:, йнм Ви ылл с й Во Зно „ чйй ЗЛОО й„м~ лл а, Ео Выло М В о и ° а »,лмь л и Ви о о.п йа»,ЛВ гь ВЬ гьй г л о В л и й В В г сь г. В и ол ь 1 к» В Ви Вл л сьб по ( а Ва.о ВГ-О- л:л ос В Л и лг и ВВЕ ймпд и ВВО», аахм ~ййй г и г (2гы21) р р=[+ в сов р' с л »ол с ин лл '.
ос„о аоо л й -В" й[- о с л ел л о.о и оЯ со. си т Уравнении касательных, пбляр и порчалсй для кривых второго пбрядкн, заданных каноническими уравнениями (и. 2.4-8), приведены в таблице 2.4-2. Замечание(теоремы а полюсах и полярах). 1 /[ьги лраиал, протдг ниса через полюс Р, пересекает и аяру о точке О, а «ри. ар о второго порядка — е то гко«дг и ДВ то тоски Р и О гармаимчес ни раздела« т /(, и дю т с — — — — ' (новое определение поляры), З Е ги точка гсжглг «а «екоторой прлмой, то ге поклрп прокод т юлой л якай, /с.ги а ю р .
Е . пр мал прокодиьг черве «которто точку, то сс пом с лежи рока ит «срез понос нагаре етой точки гл на 3 Дииметр «ривой второго порядка ссьгь нагара бегкоьтио рдаж««ой елочки, чсреэ «оторую прокодят сопражг«нм гмр хорды; нангпр «ригой второго ад й араго нора ка и е в т р а).
с ь ла,иа блока«сто уфтснной пря,иой (к а вас а вреде л н и д е е иаметра и что ло. с 4 Фокгн кр сей старого поряд«и есть лс ь р угко, обладающего тем с с, . щсг гем с ойстсол, о полюс ггобсй его оямаа при«ар«смит рпе«дикугярисб к кей прямой тгч«а. ;[ирсюприса гсть пагара фо«ти (новос оп р е деле н и е фон ус т р и с ы) Из 1 — 4 следует, в частноств, что. ер, лгсгка можг.о простти дч касатсгь«ис к кривой, то гга,г«ра ллюй га) Если «е гь го г"астг про одггт Врез точки кшалис ь лордал, ( ) Касгггллгькыс к крисол е но«час дгнгмета.г параллель«и сопраж « е, нмл ему [О '[сика срсс гю гс калин м тх к кривой е ко«как ггопоб ее корды, пго.
д*г п й ;жт боксе, г *ж'ит и г диреклг;ис, (д) Каждая хора „арогоагс[ак рсз фскус, перле«дпкр.тр«п к прямой, и, е )гн- «ой ч'рт боку и тогку ер слгспич кигьт".ь«гх е колг[ах жрд ° . 2.4-11. Другие способы задании кривых второго зарядка. (а) /(давая второго порядка вполне плбсдс.глстся ля(лью своими п[бчьпнл, ссм( никакие четыре из пих не лежат на а[«ай прямой (и. 2.3-1). Урзиис(гие конвой второго горядкч нраха[ящсн через пять точек (х, у[) (л, и ) (Хз, уз), (54 Уе), (У5 Уз) Кривая второго попядка вырождается в тоы и только в том случае, когда трп из заданных тачек лежат нз одной прямой. 1ых точ к ос пест Э а и е ч а п н е Построение кривой второго порядка, проходящей через и ь яг дзн. ного кнмх ип у ( вляется прп помощи теоремы /1аскаляг точки жргсе ения л отиасогон шсстивгогь икп, вписан«ого в кр еую старого порядка, лежит на р о иой и рамой (или леля«тгл бссконсч«о удален«ыми) о Кривая вта о о Р го и рядка также вполне определяется пятью касательвычн, если Р не пересекаются в однао точке.
Построение касатслы ых :нкакве четы е яз кнь осой кривой производится прп помощи теоремы Ьргшншо«аг дипго«аги, прохода (иг рсд' " " " «" ееР"'и "ь' шс'тивгогь'"ка а"и""кого ако."о «Риоай г"гщ'"' "' г " но, л р с«алто« е одной гжтг (иги параллель«и) (Ь) Если а псь снимет и ( ) ' и фокус ненырождениай кривой второго порядка принят за пол[ос, ичметРии — за полЯРнУю ос[и то УРавнение этой кРивой в полЯР- иых нобрдаиатах р, гр будет иметь вид 71 2.5- ! 70 нлн Асимлтйты х у ! х, у, ! х, у, ! х. Уэ х* -1- у' «з+ у-' ,т'- + уз ! ~2 [2.5.5) [2.5.4! а! Ь = 1 [хл — хг)з -1- (Уг Уз>г Яэ.
с) (2 о-(О) йгдг мп [агс(2 (гг — агс! й,! = 4оь. (2.5-5! рнс, 2.5-1, ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТГИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.5. СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТЕЙ, ЭЛЛИПСОВ, ГИПЕРБОЛ И ПАРАБОЛ 2.5-1. Окруж(шствы формулы н теоремы (см. также табл, 2,4- ). а л 2 4-2>. (а) Общее урасиеиие окружиосгпи в декзртовых прямоугольных ьозрдп патах: хз+ у."+ Ах+ Ву+ С = О, (Х вЂ” хо) +(у (уго)е=Я ' где 2хо== — '1 2Уо= В 2Я=Ь Аз+Вз — 4С.
Точка (х,, уз) — центр окружности, )[ — ее радиус. Окружность (!) касаетсй осн Ох, если 4С=Аз, н оси Оу, если 4С=Вэ. Ураанеиие окружное(пи с 4(гнтрол! в начале координат; хе+ у2 — )(з„ (2.5-2) (ь) улосмснпг омгужностгг, пролздхтсй через три тогки ( ь у,), г „уэ!, г (с) длина Б «аждае нз касательных, проведенных пз то!к (хо уз) Ру'т и, к ок жностп (()! (еЛ Дзе окружности хг .!. у' -1- А,х+ В,у -1- Сл = О лз + уз + Ягх -1- Вгу + Сг = =О (.
) 2. 5-5 «вляются монцгтпрн исками в том н только в том случа, да е, ког А = Я н Вл=!Зз Необходялгое и достаточное условие глтотнагьности онружностей имеет ввд АлАэ + В Вг = 2 (Сл+ Сл>. (с) Все окружности. гролоцящпе через действительные нлн ннамые тачки пересе- чения двух окружностей (5>, определя!отса уравнением где л — параметр. Кривая (б! существует н в том случае, когда окр>жвостп (5! ие амсют действительных точек пересечении. ГО При А = — ! уравнение (Ь) превращается в уравненне прямой [А, — Аз! .т .1- [Вл — В ! у + (С вЂ” С ! = О, «оторзя называется радикальной осью двух окружяост ( ). ей 5).
Ра вкальвая ось является геометрическим местом т т очек, из которых могут быть проведены касательные равной ины к двум данным окружностям. Гели две окружности пересекают (каса ), адикальная ось является нх обо[ей лордой (касательной к омружностям в общей тачке!. х мон ентрическ>т окружностей служит бесконечно удзлениаа прямая. Три раднкальн ., ые ос >, свавзниые с тремя попарно взятынн окрулсиостями, пер с- зхм- ьаютсн в одна точке радо а й е (радикальный центр!. Этот факт нсгользуется прв построепан р л ге ей лежат кальной осн двух неп в х непересемающнхся окружностей. Если центры трех окружно т .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
