Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 21
Текст из файла (страница 21)
йэ- Нйлайлла Нлалл !а х 4елмл и?лил х а х ;? >л и<и Нлллы //алим?и Леилиллата Нила/в?ай лис:т? Оирпль ///?,тим„Да Нт?иллгмиагхах ьнллаль и>Ь а< )л>лхла Нала агя (2.6-3) (2. 6-4) ТЛ. 2. АНАЛИТ11!сСКАЯ ГВОМВТР?1Я НА ПЛОС1СОСТИ ()) трисектриса! уе х 16' ! илв р=а14совср — —... /. 1 с; х Рнс.
2.6-!. 11сксторые алгебранесскне кривые. (й) Астроидаг х / + уг/ = аг/З нли х = а сова й у = а мпт~*. (1) Декартов лист: За! Гсп (щ) Улитка Паскаля: (х +уа ах)2=Ь2(хе+уе) или р — Ь ( асов,р (на рисунке обозначены декартовы координаты точек пересечения кривой с осанн). 2.6-2. Примеры трансцечдентных кривых (см. рис. -. -2). ис. 2.6-2 . а /н — х,'а (а) Цепная линна: у= — (еа +е ' ) =ас(? —.
(6) Спираль Архимеда: о=а!2. (с) Параболическая спираль: ре =2Р16. (б) Логарифмическая спираль: р = ае е. —,ь ь 26 РРАВНВННЯ НЩСОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ (е) Цикзоида (кривая, ощ:са!жея точкой, отстс! щеи на расстоянии а, от центра круга радиуса а, катящегося без скольж ния по оси абсплсс): х = а? — ат в!п 1, у = а — а! сов П (2.6-1) 3 а м е ч а п и е. При а, С а цпклоида назыааетси укороченной, при а, ) а— удлиненной.
Если а,=а, то получается обычная циклоида (пмепщ она изоСрзнсена на рвс. 2.6-2). Рнс. 2.6.2. Некстсрые трансцендентные крнвые. (1) Эпицикаоида (крнвая, описанная точкой, отстоящей на рассгоинин а, от центра круга радиуса а, катящегося без скольжения по окружности хе + уз = Ье н находящегося вне втой окруж !ост ): а с а х= (а +Ь) Мп --Š— а! Мп — — А ~ (2.6-2) у = (а + Ь) сов —,,— г — а, сов — ! ~ (см. замечание к (е)). (й) Гипоанклоида (кр! вая оп? санная точка" отстоящей на о "сс-оч! 1и аг от центра круга радиуса а, катящегося без скольжения по окружности ха+уз=Ьз и остающегося внутри нее): с ь — а х=(Ь вЂ” а) нп — ! — а, Мп — 6 ь ь а ь †, у=(Ь вЂ” с) сов — (-)-а, сов — ! ь (сн, замечание к (е)).
(й) Трактриса: / х = а соз ! -1- 1п 16 — )! у = „„;и г. 2/, 77 зл-т. 3.! Епедгнир и Осиавные пОнятил ГЛАВА 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ г Р с. 3,1-1, Правая декяртоез косое Пусть задана (е абщеч случае каса. уголья»я системз координат.
Отрезки угольнзя) система асей Ох. Ор, Ог (рнс. 3.1- )> ОЕы ОЕ н ОЕ, — едяннцы масштаба тогда плоскость. прахадян>ая через точку Р нз осях. н йзрзллельнзя плоскости Оуг, пересекзсг ось Ох з точке РХ днзлогннно плоскости, проходящие через Р н пзрзллельные соатзе>- п>еяно Ох» н Оху, пересекз>о> ось Ор н точно Р" н ось Ог з Р". Длине каждого н> нзпрзняенных отрезков Орц ОР" н ОР"' прнпнсынзется знак плюс. если нзорзнлеян> отрезка соннздзет с нзпрззленнем соответствующей аси, и знзн минусе противном случке. Числя »=ОРЯ р=ар", »=ОР"' называются декзртоеыми коорднннтзми точки Р (х, у, «) относительно денной системы координат, образованной осями Ох, Оч.
Ог н яыбряннымн йз осях единнцнин мзсщтаба. 3.1-3. Правая система осей. Оси Ох, Оу, Ог могут образовывать правую или ле- вую систему. Для правой системы (см. рис. 3.1.!) поворот от асн Ох к оси Оу на угол, меньший и, совершается в направле- нии против часовой стрелки, если смотреть на плоскость Оху нз какой-либо та >хи по- ложительной полуоси Ог (положительная сторона плоскости Оху), 3.1-4. Правая декартова прямоугольная система координат. В прямоугольной системе координат аси взаимно перпендикулярны (рис. 3.1-2). Координаты х, у, г точки Р равны направленным расстояниям ат нача- л» координат О да плоскостей, проведены координатным плоскостям Оуг, Огх, Оху. Рнс 3.1-2.
Системы координнт: прзязя декзртонз пряноугольняя, цилнндрическзн и сферическая ых церез тачку Р параллельно 3.1-!. Вводные замечания (см. также и. 2.1-1). Глава 3 посвящена аналитическое геаметрнн трехмерного евклидова пространства. То |ки задаются радиусами-векторамн или системами дейк ствительных чисел (своимн ноордина. Р"' тами). 3.1-2.
Декартова система координат (см. также п. 2.1-2). Декартова сн'г стема координат позволяет связать с ~з ' каждой тачкой Р пространства, в котох Р-"(гх,г) У Б р ром выбраны три йе лежащие в одной У У плоскастй направленные прямые Ох, ехх Оу, 0» (оси координат), пересекающиеся в начале О, трн нполде апреде.ченньж действительных числа (декартовы координаты)х, у, з; при этом пишут Р (х,у,г). В настоящем справсчнике, если не оговорено противное, всегда применяется нравая декартова прямоугольная система координат, причем дзя измерения х, у, г применяется одна и та же единица масштаба.
3,1-5. Радиус-вектор. Каждая тачка Р (х, у, г) = =Р (г) мажет бь|ть задана своим радиусом-нектаром 3.1-7. Основные формулы в декартовых прямоу>альных координатах и в векторной фо-ме. Имеют место следующие формулы (аперапнн пал векторами сн, в гл. 5) 1. Расстояние >( мюкду тачками Р,(хы уы г,)=Р,(г,) Рз (хы уз гы Рз (гз) =г ("1 хь) +(уз — у>Р+(гз — г,)я=) (г,— г,) (гз — г,)=(г,— г,|. (3.1-4) 2. Угол у между прямыми Р,Р, и РзР„, направление которых определяется вектарамн Р,Р н Рзрз> саз Т=, ,>ч — .т,> (х, — х,) ->-(р, — у,)(у, — д,) -1-(г, — г,) (г, — г,> У>П вЂ” х,) -)-(Рз — дн' + (», — « )г У (х, — хь)' + (У» - Р )з + (», — »Из (ЗД-3) ,Г,— г, Г,— г,( 3. Координаты х, у, г и радиус-вектор г точки Р, делящей направленный отрезок Р,Рз в отношеним Р,Р: РР;=л|: п=).11, опредедяютсл формулами: тх,+нх, >,ц-дх, х= о>-(-л 1+3 туз -|-лу, у,+ад, т+л 1+а тг,-)-н», г, +ьг, т-1-л 1-1-> (3.1-3) или тг, -(- лг, г, -1- Хг, т -1- н 1+Д г=х|фу)+ай аж (х, у, г); (3.1-!) этот вектор г=ОР определяет преабра>ованно переноса, переводящее тачку нз начала координат О в тачку Р Базисные зсклторы |, 1, й суть единичные векторы, направленно которых совпадает соответственна с направлением осей Ох, ОУ и Ог г'пней дек|ртавой прямоугольной системы координат(см.
также б. ! и и 5 о ->) 3.|.е. цнлиндрическзя н сферическня системы координзт, нз рис 3,1.2 поназсны тенже цнлнндрическне коарднняты р, Ч, » и сферические «оординзты г, Е, Ь (полярнь>й рзднус, широте и»ашоте), с> яззнныс с декзртоеымн прямоугольнымн коордннзтзян слепу>ащнын формулнми прсобрззонзняя: р =-у>т->- рп »=р созе, 1 у у=уз>пя, (3. 1-2) |гч = —: х «=»; =.-1' >з * д, »з, х=гз|агсоз>Г, у'х'-у дз-Г г' Р=гз>оез>аф, П| 3) 1 а=-- у г=гсозз х' Дзльнейшне сеедсзня аб зтнх, з тзнже о др>гнх крнеолннейных кооедннзтзх см нгл 3 3,!. ВпгсДЕНУ!Е И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 8.1-(2.
=-х — х = (сота Х В 1 бх ( нуфбг=" ' р= Щ+Уз х,а-х, х 2 (3. 1-2) <3.1-13) х,— х, ссн их 1' <хз — х,)з -; (д — Рз) + (гз — г,)з уз — рт соз и 1'(х, — х,)*+ Щ, — з/,)з+ (, — 2з)' (3.1-8) г г соз и„ У(хз — хз)з+(Рз — дна+(гз 2йз <З. 1- !4) А = АН, (3.129) соз' их+ соэ' ир+соз' и =1. (3, 1-15) цлн ~ х, у, г, А = †, — хз уз г, — — [г,г,гкй х, у, гз ) (3. 1-(б) (3ПИО) сой ирьм ах+ "у+ах а Саз их= а + а, ч- а х, у, г, 1 хз д, г, 1 «з у гз 1 Хз Р 2 1 1 = — [<г, — гт) <гз -г ) <г, — гз)1.
б 1 б (3 1. 17) ахах ( уау+ ога2 ТВ ГЛ, 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТР,(!ГСТВЕ У.зжи См. замечание к аналогичным формулам дли геометрии иа плоскости з и. 2.1-4, 3, Координаты и радиус-вектор сера)нны отрезка Р,Р;1 3.1-8. Направляющие косинусы, (а) Направляющими косинусами соз и, соз ир, с(ж и направленного отрезка Р,Р, называются косинусы углов между Р,Р, и положительными направлениями осей Ох, Оу, Ог соответственно: Направляющие косинусы направленного отрезка Р,Р, суть — соз и„ вЂ” СОЗ и., — СОЗ иг. (Ь) Направление прямой может быть также определено любыл!и тремя у числаыи ах, а, а, пропорпиональными направляющим косинусам соз их, д 2 соз ир, соз и,; в этом случае а соз и .= от ф а,(+ аг о, Знзк перед корнем должен быть одинаковым во всех трех равенствах; его выбор определяет положительное направлекие на прямой.
Роль этих висел могут играть координаты любого вектора а (п. 5,2-2), совпадающего по направлению с Р,Р, или Рврт, (Пример. а =х,— х„ад=у,— у,, а,=гг — г,.) Йаправля(ощйе косинусы являются координатами единичного вектора, совпадающего по направлению с Р,Р, (п. 5.2-5). (с) Угол у между двумя направленными отрезками, направляющие косииУсы котоРых Равны соответственно соз их, соз ир, соз иг и ссз и', соз и„' аз и' или направления которых определиются тройками чисел а, ар, аг и а', а', а', находится по формуле х' а' созр=соз ихсози +сов ир соби +пози,соби = у 8,1-3 проекции.
проекции иаправлеэного отрезка Р,Р, ва оси Ох, ор и О» равны соотвстствснпо б =-у — д = — усова, б =г — з Усова, . у 2 1 ' р' г г 1 г с "'" где сова,сова,, соха — направляющие косинусы (8), б — длина отрезка (4) р' г 7!роекция Р,Р, нз прямую с направляюи(вмв косинусами сова„, созе, со:аг (п, 3 2-1 Щ равна б созт, где аозт определяется формулой (И). Проекции Р,Р, ца плоскости буг, Охг и Оту равны соответственно б =Умна, б =-аз!па, б =была, С' 2 р' З Проекция Р,Р, на плоскость нормаль которой ниеет направляющие косинусы сота„, соз а,, соз а, <п 3 2-1, Ьк равна бз(пт, где сову определен формулой <И) 3.1-!а.
Вектор пющадн. площадь плоской фвгуры в трехмерном пространстве может быть задана вектором А, модуль которого равен площади А фигуры, а направление совпадает с «вправлением положительной нормали (и. !7,3.2) к плоскости бзягуры где Н вЂ” единичный вектор положительной нормали, Каждая из декартовых прямоугольных координат вектора А равна площади проекции фигуры на координатную плоскость, перпепдикуляонузо к соответствующей оси Площадь пэраллелогоамиа, построенного на векторах а и Ь, может быть задана вектором А=акь (см также п 52-7), Площадь А треугольника с вершиаа:зи Рь Рм Р, опредсляетс» формулой (( д гз ! з г, х, 1 з (хз у, 1 г ~-) 4 ) Уз гз 1 г, х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
