Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 20
Текст из файла (страница 20)
з я точка. и» одно прямо, т д й я. ой, то их ра нкальным центром служит бесконечно удаленна т Рй! УРаангиис ОХРУжмэетн РаДПУСа Я С исптРОМ (Рм и„) г ПО4ЛРИМХ Кэ Р о дииагпах' Р' — УРР, соз (|Р— >Р ) ф Р'г = Як 2,5-2. Эллипс н гипербола; формулы н теоремы (см. а также и. 2.5-3, табл, 2А-2 В 2.5-!), (а) Ллпны большой и малой осей эллипса (2А-12, а) т. е. отрезков, стсекаемых Эллипсом на его осях снмметрнн (рнс. 2.5-1, а), равны соответственно 2а н 2Ь.
Сух!ма дюхальиых радиусов г, и гз (табл. 2.5.1,6) посглолииал (и равна 2а) для каждой танки эллипса. 25 СВОПС ВА ЭЛЛИПСОВ. ГИПЕРБОЛ П ПйрзВОЛ (5) Гипербола пишет две асили(л(агпх (и. 17.1-6), пересекающиеся в се центре. Лля гиперболы (2.4-12 Ь) урааигмин псих[!(!пот!и у= — х и у= — -- х. Ь Ь (2.5лу) Угол [р мшхцу аснмптотами гиперболы определяется вз урзвнс>п:н 1Е (Р 2) = = Ь'а; сел п а = Ь, то гр — — и'2 (разиогторалилл гипербола). (с) Ллппз действительной оси гнпсрболь(, т.
е. расстояние между се Оершш:тлп (Рпс. 2.5-1, Ь), рзвпа 2а. гИиимой осто (сазыазстся главназ ос(и Рпс . З-! а) эл»нпс, Ы гипербола, с) псрвболч; каждая гз крнвых злданз канопнчсс:,нм уразнс.!нем отаосптел но пзобрзж. ° ной на рисунке системы ! оордг!иазт Палаэаны фокусы, осн н фокальный параметр. ггрпгсднкулярпая к действгтельпой оси. Касателш:ая к гиперболе в еа вер. шпп пересекает аснмпготы в точках, расстояние ме>гду которьпп! равно 25 (рнс. 2,5-1, ЬЕ Разность э[ежду фамильными радиуса,иа г, и гв гиларболы (табл. ",5-1, 6) по!налима! оиа равна 2а длн правой затаи и — 2а для лгаой. (д> Еслв й, и й, — длпаы лю5ых двух сопрялсениых дозчетроз (и.
2.4-5, с> эллипса ол1 ! н: ерболы. то где ! ь Э. — >гловые коэффициенты дгаметроз. (с! Дтн пересеченнв гнперболы (2.4-(2 Ь! со своим днз ггтроч у=ах необходимо и то ~зг(г !по выполнение условия йз ( Ьипг Аси нмтопь можно рассыетрнвзть как лс >у. ьстречающую гиперболу э бесконепю уталенной точке н совпадтощуо с согрв. м емн пг сй диаметрам (а ~акте нан полвру Гесконечно удзленгюа толю! кривой!. В О па зси секущей эек.гю! иныгмгждуги гадогои и егозим толами, Рагтч между сгйгюг Гочк г «асоичл дела я огпагэок касотгтнэй, закгючг гмый пледу асимптотзмн, пзчотн Олзитггдгииг расстояний зт гггочки гиперболы до осимптот посто.
лио. (Ф Пгютадь тргуго. снима с ггрюнмами и ц итре эллипса и з концах любом пиам ггз гтаяжгггмлт днамстлоз по толино, пгои(чдь тргзгопмича, эасгююниогз мгжда асин тынами гигггабогы н любой гг х«сатггьнгй, лога!олина 'г.з->. Построение эллипсов н гипербол, пч касательных и нормалей. а! Лзстпогииг эгги са ло гго осям 2а и 2Ь. ! Ость Π— точка пересечения двух взаимно перпендннулярных прямых. Иа одной пз нвх стропм отрезок Р'ОР = 2а, а на друго! — отрезок О'ОО = гь, Гем самы уже построены 4 ьерюнны эллипса: Р. РЧ О, Оз Проводам через точку О произвольную наклонную.
отклздызаем на ней отрезки Оя == Ь м 05 — — а, затем проводим через точку я пря. мую, параллельную Р'Р, а через то>ку 5 — прямую. пзраллельную О'О. В пересечевнн полу~им точку искомого эллвнса. из точки О как нч печтра раствором щсркуля, равным ОР = а, делаем нз отрезке и'ОР засечки Р' и Р (фо!гусы эллипсаз На отрезке Р'Р выбираем произвол>ьнл т"'*ту ! Округхносг! Радиусов Р Г и РГ с цеатраии соотаегствещю Р не пересекутс! З ЛВУХ газмаз ИСКОМОГО Зэпенса, 72 2.6-1.
Парабола Гвпсрболэ Эллнпс хв э< — — — 1 а* Ь* (рпс. 2.6.1, Ь> х' у' ау+ ЬГ = ' Гднс 2.5.1, а> у* = 2рх (рве, 2 5 >, с) Стандартное (капа. ннческое) >равнснне ч/;Р (ф, )( а' ч/ Р в= )г ! — — (( г а* е=! Эксцентрнсвтет (ав, О), ( — ав, О) ( —,", 0) (ае, О>, ( — ав, О) Фокусы а а х=- —, к в' е Р х= —— 2 Уразнення прек- трнс а а к=-,х= —— е' в Ь* а Р= а Факельные п,<раметр (см. и.
2.1-9> Ьакальные радиусы (расстонння от фоку. сов до произвольное точка (х, р) крнваа> г, =- а+вх, г,= — а -ех г = к+в Р 2 г,=о+ах, .= о — ек У равнение лваметра сопряженного хордам с угловым козффвцяепточ Ь у Р Ь Ь' у= — —;- к а*я 1 — паь .<- 2 Площадь сегмента мел д> дугой, выпунлое влево, и хордой, проходящее ~врез то<ка (х<, уд в (х .
-у) х<у,— 4 х< у< 3 !. — 1 х, )< а — ха + Ь < х< '< -)- аа а<сын — ) 'Ь '"(, Ь) ! 9 Уравнение в полярных координатах (ср с уравнением (2.4-21]) 1 — сок' <э Ьэ рэ— 1 — е' со>* <р Ь* рг 1 — в' < аз* <у ГЛ. 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ таблица 51 Эллипс, гипербола и парабола.
Канонические уравнения и основные формулы (см также пп, 24.9, 25.2 я рнс 2,6.1) Пастрогнж гилербалм. Пусть Р'ОР— действительная ось гиперболы, Р н И вЂ” ее фокусы. На де9ствнтельное огн выбираем провзпальную точку Т так, <тобы соблюдалось условие ОТ > ОР. Окружноств раднусон Р'Т н РТ с центрамн !' я Р' пересекутся в точках гяпер5олы (см. табл. 2.5.1, саотнашеявя между ОР= ОРХ а я Ь). (Ы Длл построения касательных и яормахгй к эллипсам и гиперболам оказываются полезными следующие <4 й<таа этих кривмк; 1.
Касательные к элляпсу (2.4.!2 а> в произвольное его точке (хь у,> пересекают ось Ох я тоа же танке, что в касательные к окружнастн к*+ у*= а* в точкак <х, < 1 а' — хз). 1 2Д. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ Касательная в нормаль к элляпсу в лю>об его точке делят пополам углы у прямымж соедивяюп,нпн эг> точа. с фокусамя ( фокэльиае свойство» эллипса); анало- гичным свобстпом обладает гппербояз. 3 Проязведевне расстояний от фоку<аз дп яюбоб касателыщй к эллипсу нлн гя боле постоянно в Равна Ьц основания пер< еаднкуляроз, опу<ценпых аз фокуса на касау н гяпер. тельные, лежат за окру<кнастн, по<<росинок га большое осн (па девстпнтельн Г к<к а днаметре; ща теорема может быть вспользована для пас<росная эллвпса нлн а, и гнперболы, как огибающей кжателы<ых н зта» крнвьм (с) Эллипс или гип<рбогп могут йитэ лрибгиж ляо пэсп<рогиз< ри помои<и <апри.
касающихся охоужж тгй е их а"ри илах (п >т.(-4). центры крвввзны эллнпса «лин гнгербалы, соответствующие вершяна <, лен<вшам па факальной осн, татке лежат на ьто! осн! раднусы «рйвнзны в этих точкак равны Ь'<а. Це<юры крнвнзны дла вершин, лежащих на мазов осн эллвпса, также ле;н т на малой ася, радмус кривизны в каждой пз этих точек равен а'(Ь. 2.5.4. пастроеяне параболы, ее касательных н нормалея.
соа. т и (а) Если чапаны ось параболы, ее фокус я расстояние меж у фокусом и днрек р ° о длн построения пар <оаэи могут быть использованы следующне ее свойства: !. Тпытоян . <ижду факу<он и лхюаи л<о <кой Р парабол» раен рас. гтални<о между диргк присей и зюй жг точкой Р (сы.
также и. 2.4.9). 2 Прямая, перпевднкулярпая к осн параболы в делящая пополам отрезок перпендикуляра, опущенного нз фокуса на дзрекгрнсу. касается параболы в ее нер:пине, пераевдвкуляр, восставленные в любая тонне О етое йрнмоя к отрезку, соединяющему О с фокусом. касается пзраболы. Обратно, любил кагал<глэлал и лгрп<иоикуллп ь я<<1, паоа денный жргз фжус, пер<сека<от<я е точке,,млсащ й аа касательной к париболе е гг аершине (Ы Для постржаня касательных а нормалей к параболе оказываются полезвымн следу<отис ее свойства: Расстал ие между любой точкой Р параболы и фокусом поело гстозяию мгждр дакусом и точкой лерга шнил оги параболы с хисатгльной а Р <и гл ." * 2.
Кагитеыпая и и Рмаль к параболе .<юбой гг <о<кг Р дгляп лопал м у ы между лроходяи<ими трса Р диомгч!ао«арабо»и и прях<ой, со<дипла юи<гй Р с фоку ом; заметим, что есг диал<юпрм параболы араллг.тиы гг аги Эта теорема лакаю агт е србг фокагзио. <ао<ып,еа пар 'бо.<ь, 5. ((арашле к параооле э любой гг по<к> Р и пери<адик(гллр, апра<<иный из Р <а есэ, лгр<секают ослгдлюю э то.ках, росстолли. мгзсду катоимзт лосяюянла и равно р.
4. Дирэктрига параоо<ы есть геометра«<акт ягоша то<гк лгр сетния ° типа<но п.рпглаиквллрлмк хагаи<глена<к (с) Для уточнения формы параболы можно нс<шль<овать сопрнкаж<о"1у<о я о< руж- гость пряная (и. 17.!.1) в ее вершине. Центр этоя сопрнхасгющезся окружноств лс.,<пт ва осв. радиус равен р. 2.6. УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ Я) 2.6-1. Примеры алгебраических кривых (см. рнсй26-1): (а) Парабола Нсйля (полукубическая парабола): у =-ах"2. (Ь) Локон Аньсзи: хзу= 4а' (2о — у).
(с) Конхонда Никомсде: (х'+у') (х — п)э =хзи<з. (б) Писсоида Дноклсса< уз (п — х) = хе ндн р= а ( — — сов 6>). 1 соа <р (е) Лемниската Бернулли: (хв+у') — йв(хз — уэ) =О нли рв — озсо62<Г=О. (1) Овалы Кассини: (хв+уз+из)з — 4йвхз=с4 (геометрическое место !.). чек, для которых произведение расстояний до точек ( — а, 0) и (0,0) разнося). (2) Строфоида> х'+ х (й' + у') = 2а (уз + х'). (Ь) «Крест» (Сгпс!1оггп): хвув йв(.з ! <ув) илн р— а(п 2ф (!) Карднонда: (х'+ у — ах)з = ав(хз+у ) нди р = й (1+соя <9). *> Пане е ал е подробным праеочннком яи длоскнм крввым слул<нт кинга 12 61, г.в-г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
