Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Угол между прямой и нормэныа к плоскости равен н(2 — у,. -х (й) 1. Условил параллельности двух прямых — — — илв г=-гг+га, ах а аг — — — — или г = — г,'+(а', ах ад ໠— — — или а'=)л, или а х в'=О. ах ау аг Если, кроме того, врлмые нмеют общую точку, то они совпадают. ах а а, -лСг+0=0 илн А г+Р=О взаимно перпендикулярны, если прямал параллельна нормали к плоскости (и сама служит нормалью), т. е, если — — или а=ХА, или а х А=О. А В С ' 3, Две плоскости Ах+Вй+Сг+Р=О, или А г+Р=О и Л'«+ В'у+С'г+ Р' = О, нли А' ° г+ 0' = 0 параллельны, если параллельны их нормали, т.
е. если — — — илн А=ХА', или А 74 А'=О. А' В' С'' Если плоскости, кроме того, имеют общую точку, то оии совпадают,.к 3.4-2. Расстояния. (а) Расстояние 6 от точки Р„(ха, йа га) ==Ра(га) да плоска ти Лх+ -! В +Сг+Р=О илв А г-1-0=0 (определенное по величине и знаку): дг г+ Ах +Вас+С«э+В А г +В (3.4-7) -1-,А! знак перед корнем противоположен знаку Р. Иногда 6 называют отклонением точки от плоскости. Отклонение положительно, если начало координат и точка Р, (ха, йа, га) лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательно, если по одну сторойу.
Если плоскость ээдяна иарэметрическам уравнением (и... ! = л + + .3.2.2 г =г + иа-1- эЬ, та О=(г — г ) ° вХЬ 3,4-3 а '(аХЬ! ' (,-! зА.З. з1 ВзднмнОЕ РдгпОлОгкена<е плоскостеп и приз<в!х 67 (Ь) Распаояние й от точки Р (ха, й, г ) = Р, (г ) д„ а — 1, г — г, — — '.— — вли г= — г -]-(а; а, ' а ,а (с) Крат:тйшсе риспяая:юс й! между прллыли х †.л, а — у г — г х — л' у — у' г — г' и . =, — —. Вли 1'=с!-'-га г=-г -1-т: а, а, а ах аа аг 'х,— х; й,— уг', г,— г; й =чэ чг ах а у ](3.4-]О) сдп й, = "( ' ') 1!, где мп у! определяется рззепствоь! (3).
если ~ акэ'1 прт(ью гарзллельны (вп 7,=0), то й, овралглястся рзвепстзом (9). 3 э г е г э и и е. Если з определителе тю:це г в право ! чести равенства ((О) зэ г"- гаг й, а, , иерсмениы"ля х, а,: я прирээият сга к нуно, та полученное урээиеяиа ограде;йгт г ласкасть, аракалгггцг)гй через вторлга арнллга иврэязелыга асрвай. Если п,гя. мы оерссгкэ:атея, та игзскзсг, арачадит через абе гти ггрямыз. (а) Р алая ше й, лг::."дй !гара«лег!а«(э!ли г!лоочаст(ягги Ах+ Вй-]-С + 0 =- = О, А'хтЕВ'у+С'3+0'=0: 1 Π— <Х 1 Р— О'' (ЗЛ.]1) 1'А" — 'Вэ 4 С' , 'А( (с) расстояние йз ат плссхости до паса.тельной сй прямой определяется по сор!глас (7) 3.1-!.
Гиецнвльные случаи гззямнага рэсиааоэсеиия точен, прямых и и«аскастей. (з! Г о ч к и. 1, ТРЯ тач -г Р, (хь Уь г,! У, (г„ды г,г и Р, (х,, Уы «э! «слсагг кз ююа а(г, язч, гс.гв (нсобчо:,н;гас и даствта*шое условие! «, — хг у„ — г, г, — г, ', илк гз — г,=-г.(г,— г,), (3 4 ° "! Хэ Хг дл — 44 г — г ""'" (сл.
тзкже равенства (3,1.15!) У гг 1( г, «г 1 «, у, уэ гл 1 ! = гэ «, 1 = «, уэ 1 = О дэ гэ 1 ] гэ к, 1 хл дэ 1 э огней а.га «асят, сс.т <необходимое и досгэтачаае усяа. О, ини «(г, — г,! <гэ — г,! (г, — гй] =- О. <ЗА-!5! (Ы П нас кос та. 1, Сстг таа яласкасти Ах — ' Ву л- Сг-и О=О. А'«+В'дч-С'г+ + В' =- О, А "х.г- В"у+ С"г —; О" = О ара«эдлт чсат одну и ту же ар«мук, ат з.б. повррхности второго порядка алли 3.4-4. ГЛ. 3. АНАЯИТИЧВСКАЯ ГВОМЯТРИЯ В ПРОСТРАНСТВВ 3.5. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ку, то А В С В <3.4-17) т, е левые части их уравнения ливеяио зависимы (п.
!.9-3, а], ( ] П я м ы е дас лрллие .!сжат а едн«и ллоскостй [т. е, пересекаются или па. аллельиы), е ли (необходимое н достаточное условие] хстырс определяющие кости удоалелзюрлгст ус,юаню (17) Если прямые заданы параметрическими уравнениями г=г +!а, г=г'+га', то условие (17] принимает вид 1 (ЗЛ-1 а] ((г — г;) аа') = О 3.4-4. Талгенциальиые координаты плоскости и принцип двоаствеииости. уравнение йх -1- т!у + Ох + 1 = О <ЗА-!3) , 5), числа Е ц, 5 называются ее таигеициальнымн (липея определяет плоскость П, ч, нылгй, олюкнеровыми) хоордьиатами.
Если точечгше ноордииа ы х, у, ф р а 3, ц, 5 рассматриваются каи переменные, то [13) станоэитсн уравнением точки (х, у. х . т е. тачай пересечения всех плоскостей (13) С а ння [!3) относительно точечных н тангепциальиых координат при.имметрия > равненн от водит к следующему принципу двойственности [см также п. - )' и р др теоремой о аз иннам положении юо гх, лраммл и ллос остей р .
р а к ' сл лвгдлиао д увал тсорслп, кюлорол л«су итси, если а формулировке мерной тг«рсл«! лолсллю«лссжомш термины 3.4-5. Некоторые дополнительные соотношении. (а) Если [у,(х, у, г)=0 и !р,(х, у, г)=0 — уравнения двух плоскостей, фг(х, у, 7)+лгу (х, у, 7)=0 (ЗА-19) определяет плоскость, проходящую через ливио пересечения данных плоскостей (или параллельную им обеим, если они параллельны). Упавнение (19) называется уравнением пучка плосиостей. Если обе плоскости заданы нормальнениями (п. 3.2-1,2), то ( — Л) равно отношению расстояний от любой точки плоскости (!9) до заданных (базисных) плоскостей; при Х= и Х= — ! подученные плоскости являются биссекторпыми плоскостями двугранных углов между данными плоскостями. Если плоскости !У!=0 н [(2=0 параллельны, то все плоскости (19) также им параллельны.
[ Ах +Сг+ (й) Уравнения прямой, псрпсндилулярнай к плоскости Ах+ВУ вЂ” , 'г + Р=О И ПРОХОДЯШЕй ЧЕРЕЗ ТОЧКУ Ро (Хо. Уо го): Х Хс У Уа 2 З« А В С (3.4-20) ( ) На равгяющнй вектор и направляющие косинусы ливии пересечения ', гг 3. -3 . двух йлоскостей определяются по формулам (3,37 ) и ('.3- ). (б) Точка пересечения трех плоскостей Ах+Ву+Сг+Р=О, А'х+В'у+ + С г+Р'=-0 и Л"х+В"у+С"г+Р" =0 имеет следующие координаты: с с' (,)! д А В С Р В С Р' В' С' Р" В" С" 1 х= —— а (ЗА-21) А В Р А' В' Р' Л" Вы Р" 1 г= Ь 2 Бсш ампире ласок«пни Ах+ Ву-1-Сг+О =.О, Ах+ В у+ Сх (В'=О, А"хж +В«у+ С"г+ В" = О, А"'х+ В"'у+ С"'л+Оп'=О лр«ходят через одну и ли[ же щос. 3.5-!. Общее уравнение второй степени.
Поверхности второго порядка (квадрики) определяются уравнениями второй степени относительно декартовых прямоугольных координат. Сбщее уравнение второй степени атно нтедьао оеремевных х, у, г имеет вид амхз+ахху'+изззз-Р2агзху+2а,зха+2атзуг+)агах+оатгу-';2азгг+аж=.0 нли (~117+иглу+а!17-';аы) х+(аюх+аз у+аз -1-а„) У г +( ю +иззу+азаг+азПХ+аа,х+а„у+лагг!+аааж0, (3,5.1) где аш =аш] 1, 3= 1, 2, 3, 4.
Ураю!енне Гп можно записать н векторной борис (Аг] г+2а ° г-[-ли=О, (3.5.2) где А — аффннор с коордвньтачи А,, = а[, а — вектор с коорзнзаталщ о,. =- 1! (см. 1 14 та кисе л 16 9-2). 3.5-2. Инварианты. Для любого уравнения (1) четыре величины 11 !2 1 ~ а22 а23 [+~ «7зз аю и„1ааг азз[ ! а, ( = ап+ аю+ азз, С ' (3.5-3) ап аг, а[з а[, 21 аге а23 а24 ааг ааг ааэ аз[ 'гм асх асз аы аы аш Р= А!4= а а лзг азг а[а аза ° А = ам З.з-а. Характеристическая квадратичная форма и харзктеристичесиое уравнение.
Прэ помо!иге характеристической нвадратнчиоа формы Р«(Х, У, 2) = лыса -1- ОыУ .г аы2Г -1- 2аыср .[-2а„ж + улыУГ, (3.5-5) соответстаующея уравнению (1), ыогут быть нзу гены важные снолстга ппверхностсл вто. Рого повпядиа. В частности невырожд ннаа цснтралыюя поверхность второго порядка балон, ом ( А О . О) оказывается д.ястэнтельнын эллипсондом, мнимым эллипсондо» нли гиперзом в зависимости от того, будет ли Ре (х у, с) соответственно положительно опрелелеинол, отрицательно опредслснноб или неопределениоз квадратичной форм«я, что Усганаалйа*етсгг по хоРимм Ль Л,, Л, ж хаРактеРистического УРавиениа (п Ш 4-5, а) 1:: оы — Л л„ о ггс о! — Л г =О нлн г" — ( ' -1 гЛ вЂ” С =О.
аы оае (3.5.1) являются иизариаитали относительно параллельного перенося и поворота осси (3,1-19), (3.1-20), (3.1.23). Эти инвар[щиты определяют свойства поверхности, не зависящие от сс поло!кения в пространстве. Детерминант А пя) Р вазтср дискриминвнтом ура!пения (1), 3.5-3. Классифиуапия поверхностей второго порядка. Табл. 3.5-1 содержит класснфииапию поверхностей второго порядка, основанную па их инварвщгтзх, определеияых в п.
3.5-2. В этой таблипе Л' = Ап + Лзз+ А за 71!л обозначает алгебраическое дополнение злсмеита аи, в опредечлтсла Л = бе[ [а;з 1, см. и. 1.5-2, А' и А" явля!отса иивариантами относительяо поворота осей (сеиипнаариантами). о) аж повврхиоети Второго поряцкд йо ГЛ. 3. АИАЛИТИЧЕЕКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТР'ИОТВЕ 3.5-4. КоРки Х!, Ха. Ха нвлаютса собственными аначениаыи Действнтельнад спх!четРнческоа матрицы ! а ! (п 13.4-2) и, как следствие этого, всегда дсзствательны. имеем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
