Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(3.5. 13) х у* гг ° ...г. †.г. — = 1 аг — Ь» сз (3,5.!9) сова соэ В соз а соз В со* а соз В х г у у г ! и' Ь' с' сова сав у сока соз уу сова соз у х х у у г б , (3 5.21) иг Ь* — сз соэ В саз у соа В соз у соз р соз т х г у у аз Ьз с' :" Ь' соэ а -ьс'еаза ч азсозп, Коуп и Т, Кори 99 ГЛ. 3.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.6-9. принадлежащей поверхности второго порядка, если касательная плоскость поверхности в этой точке. (()) Полярная плоскость р любой точки Н данной плоскости и проходит через полюс А этой плоскости (х. (е) Центр поверхности второго порядка есть полюс бесконечно удаленной плоскости. Диаметральная плоскость егть полярная плоскость бесконечна удаленной точки, через которую проходчт хорды, сопряженные этой лиаыетральной плоскости, (1) Полярные плоскости всек точек данной прямой пересекаютсн по одной прямой; эта последняя прямая содержат полюсы всек плоскостей, проходящих ~срез данную прямуго.
Две полученные прямые назмвают парой полярно сопряженных прямых. (и) диаметр поверхности второго порядка есть прямая, полярно сопряженная бесконечно удаленной прямой пространства. (и) полярная плоскость допускает геометрическое определение, анадогичное определенн|о поляры (см п. 2Л-!О). 3.5-9. Неиоторые дополнительные формулм н теоремы, (а) УРиэигииг СфгРи РаДИУСа Г С иСШРОМ В ТОЧКЕ Р, \гь Уь г,) Р, (ГНг (х г,>*4-(у — унт+(г — гз>з — г или !г гс! г Л (х*+ у' + «') + 2пх —;2Су + 2Ог + Е = О, А:Р О, [с) Пусть Р, и Р, — тачки пересечения сферы с пряной (секущей), прокодящщ! через ДанггУю тагкУ Р,(г,, Уэ, >,). Тогда пРонзвсдение величин напРавленных отРезков Р,Р, и Рзр, постоякно для всех секущих, проходящих через Р„прячем теорема астаетсп справедливой и в там случае, когга Р, н Р, совпадают (если рассквт. ривать вместо секущей ее предельное положение — касательнуго к обере в точгсе !'г == Рь проходящ>ю черев точк> Р„).
(б) для половнь трех сопряженных диаметров вллипсоггда (и, 3.5.5н 1. Сумма квадратов равна а' -)- Ь* 4- сп 2. Объем построенного на ннх параллелепипеда равен аде. (е) Диаметральная плоскость поверхности второго порядка (эллипсоид, аднаполостный гиперболоид нли двуполостный гнпербодоид, см, также табл. 3.5-2), сопряженная диаметру с направляющими косинусами соз а, соз а, саз а, оп х' у' ' г' редсляготся уравнением х сава у соз а г соха л у — -г- — -г- = О.
(3,5-20> ,Ь' с* Направляю|дне косинусы трех сопряженных диаметров соз а, соь а„, соз а; соз В соз Я, соэ В ! соэ у, соз 2, соз т удовлетворяют соотношениям г' х' у' г Впаян в уравнениях (20) и (2!) ролжнм совпадать со знакам соответствуююик члеяов в уравнениях (19). 4((1) Уравнение диаметра поверхности (3.5.19), сопряженного плоскостк с направляющими «осаиусами нормали сова . соз а, соз а, имеет внд ЗЛ-(О.
Параметрич кое задание поверхностей вто„„о порядка (см также пп 3 ! ПП х = а юп и соз э, у = Ь з>п н 3!и и, г = с соз и эг лилсон д, (3.5-22) х = о сн и соз е, у = Ь сй и э1п о, г у — и 1п о, г с зв и (однололостнмд гиперболоид),(3.5-23) к=-г-лей и, у=Ьэьизгпэ, г=сзи = с зи и соз э (дзуиолостный гиперболоид), (3,5.24) (знаии+ и — соответствуют двум полостям), г — УС н ! е, я= — н (эллиптический ларабогаид), (3.5-25) — в х = Р и сна, у ус и в1г а, г= — и' (гиигрбо,шческий иарабогоад), (3.5.26) х = о» соз а, у = Ьн з!и е, г си (дейстзительяыи кон с).
у ( .5-27) 3. Возможны также многие другие параметрические задания этих поверхностей. 4.3-1. Ч 3. ТОЧЕЧНЫЕ й(НОЖЕСТВА, ННТЕРВАЛЫ Н ОБЛАСТИ 99 ГЛАВА 4 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОЕ И ИНТЕГРАЛЪНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.!. ВВЕДЕНИЕ Эта глава посвящена главным образом числовым функциям дейстаите,гьных м .
Вве ение п еделаа функций (пп. 4.4-1 — 4.4-7) позволяет определить ессы), такие, как сложение но вые математические операции (предельиые проц ), и умножение бесконечного числа членов, днфференп р р н и овзние н интегрирование. Определения и т ор е емы, мзложенные в этой главе, применимы как к де сте иально не вительным, так и к комплексным функциям и переменным, если сп ц кие оговорено, что речь идет ли ь о лишь о действительных величинах.
Аналитичес т я в гл. 7. функпнн комплексного переменного рассматриваются в гл. 4.2. ФУНКЦИИ 4.2-1. Функции и переменные (см, также п. 12.1- ). . -4. (а) Если дано правила саатэетгтэия, отиосящее каждому данному действительному нли комплексному числу х нз множес „д тва 3 ейсгвительиое или комплексное число у=/(х), (4.2-1) то у называется (числовой) функцией у= (х)=/(х) а гумеита х. авенство . Р (1) указывает значение (нлн значения) у=У=/(Х) пепе емснр [, т етствующее каждому допустимому значению х=Х р ремеиног д, соо в — мым пе ейой х; при этом х называется независимым переменным, а у — зависим р мены ым. х, в с ности, отсылает к множеству значений Х, а равенство (1) Термин переменное х, в сущности, отсы их значения Х переменного х и зиа= )у ™ож боэвэченмямн, применяемыми в боаьюии.
ество соответствий, связывающих зиа чеиия У= ( ) р Х) ве сменного и. В согласии с о б ба»начать и переменное х н эно«ение этого пгремснстве учебников, симвоаом х мы удем о оэ ного, если только то ие сможет привести к путанице. Е рассматривать какдекартовы координаты на плоскости ( ..
- ), п. 2.1-2), сли х н у ра то действительная фун ц ная ф нкция у = /(х) действительного переменного х часто м. также и. 2.1-9. изображается кривой (графиком функции у от х, см. также и.. - ). (Ь) Подобным же образом функция у=/(хю хя, ..., х„) (,.) 4.2-2) и переменных хг, хз, ..., х„о тноснт упорядоченному множеству значений (не- зависвмых) переменных х,, х, х х, х, ..., х значения (зависимого) переменного у.
ыть оп е едена таблицей своих значений иаи прввввом вычисления * й ( гн июпиэные определения) функция 4 может также быть опредеаевэ неявно (п., ° иии п. 11.4-2) поведением нри некоторых значениях аргумента доказав»ел»сэме ~~~г тттггиа «ж ое иеконструктявиое опреденеиие нуждается в устанавливающем, Что вумкцвя, ,в, обладающая указанными свойствахю, существует. (с) В боаьюиистне прнаожеиий переменные х, В нан х х„..., х, и обозиз- Ю 2''' ' и' чают физические объекты нхн величины, так что соотэетстэргощие сэзтнсшеаих (1) Иан (2) Озиеизаот фиэихичиг ЭаКОНОМЕРНЭСти. (П Р И М ЕР.
и.= Х,Хь ЕСЛИ Х,, Х„Н Р соответственно обозначают напряжение, силу тока и мои(ность в простом электрическом контуре.) (й) гч!ножество ях значений х (или множество значений хю хю ..., х„), для которых определены соотношения (1) или (2), есть область определения функции /(х) или /(х,, хю ..., х„). Соответствующее мн(пкество 5в значений у есть множество значекий функцйгг. (е) Последовательность действительных или комплексных чисел го, эю эз, представляет функцию э„=э(п), определенную на множестве неотрицтс.,ыгых целых чисел и.
4.2-2. Функции со специальными свойствами (см. также пп. 1.4-3, 7,3-3, 7.6-5 и 7.6-7), (а) Функция одной;гачна, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции '). Функция многозначна, если хогя бы одному звачеьию аргумента соответствует два или более значений функции. П да.гьнгйгигм всюдд а »агой главе расгматриааютгх талька однозначные функции, и гто всякий раз специально нг агсаариаается. Функции у (х) имеет обратнуго функцию х (у), если из у = д(х) следует х=х(у). (Ь) Функция /(х) действительного илн комплексного переменного х четка, сели /( — х) ==-/(х), иечетна, если /( — х) ь— н -/(х); является перггоднческо]г с периодом Т, если /((+ Т) .:-=/(().
кахгдзя функция [(х), обнзсть определения 5 которой вместе с каждым входящим в него гнсном х содержит и чисао — х, мохгет быть предсгаваенв в виде сунны четной функции (1)2) [[(х) -'-) ( — х)] и нечетной функции (1(2) [[(х) — ) ( — Ю]. Пернели геская гьУПКЦНЯ ( С ПЕРИОДОМ Т ЯаэмэастСЯ аитнПЕРНОДИЧЕСИОй, Ееаи ) (г — ' Т72) = — [ РЬ Как<Два пернознчсская фувкцвн [ го с нернодом т может быть представлена в виде суммы энтнпсрнодггческой функцвч (1(2) [[ (б — [ (г -г- т(2)1 и функции (1)2) [[ гб -(- [ (( -',- Т(2)1 псргготггческогг с периодом Г72 (с) у =/(х) есть кмебраическая функция от х, если х н у удовлетворг:ст саит(тщанию вида р(х у) = — О, где р(х,д) — многочлен относительно х и д (п.1.4-3). В частности, у =/(х) есть рациональная (рациональная алгебраическая) функция от х, если /(х) есть многочлен (целая рациональная функция) или частное двух многочленов (дробная рациональная функция). д есть линейная функцни от х, если д= ах+В.
4.3. ТОЧЕЧНЫЕ МНОЖЕСТВА, ИНТЕРВАЛЫ И ОБЛАСТИ 4.3-!. Вводные заме ганна. При рассмотрении свойств функпвн /(х) действитслы ого переменного х часто требуется указать множггтэа значений х, для которых знзчение /(х) определено и удовлетноряет данным условиям. Заметим, что подобным образом могут быть описзны и функция, и множества. Обычно о значениях ') действптсльаого переменного х (или объектов, которым соответствуют значения х) говорят как о тачках (х) прямой, а о ыножествах таких девствительных чисел — как о линейных точечных множествах. Свойства функции / (х„хю ..., хп) дсй твительных переменных хр хю ..., хя подобшш же образом связывают с множеством кточек» (х„хз, ..., х„) в и-мерном «пространстве», включающем все рассматриваемые точки (хг, хю ..., х„) (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
