Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 29
Текст из файла (страница 29)
К ф 1'гп,г(х, х )=й(к ), если для каждого иоложптельного числа в существует такое положительное число Ь, ч р Ь, то и и 0<[х — а,'сб 1 5 ф икция,'(х, х ) определена и выполняется неравенство 2. К функцйи !пп ('(х<, хз)» й (х,), если для каждого положнгсльк, -]- а» ного числа е существует такое действительное число Й, что при х<> Ы и пРи всех хз ьн 5 фУнкциа 1(х(, хз) опРеДелена н выполнаетсн неРавенство ![ (х], хз) — й (хт) ! С в (Ь) Последовательность функций з„(х), зд(х), зз(х), ... ранномерно схо. дится на множестве 5 значений к к функции Точ ак же функция ((х, х кл) определенная в некоторой окр яости точки (а|, аз, ..., а„], непрерывна в точке (а|, аз...
а„), если 1[ш ((х<, хю ..,, х„)=[(а„а„..., а„). к, а, х, аь 103 к а а л ( ' " «н) ненр Рыьяь татке (а ( „,..., а) непрерывна в точна к» = а, Функция, непрерывная в то~ке (и,, а..., аа) по каждой нз переменных хи хз, .„, ка в отдельности, может не быть ненрсрывноа з точке (а„ а,, „ , аа) (Ь) Функция непрерывна на множестве точек (например, в интервале или в области), если она непрерывна в каждой тачке этого множес]ва. Действительная функция [(х), непрерывная ио ограниченном замкнутом интервале !а, Ь), ограничена на (а, Ь) и хотя бь| по одному разу лриниэюгт кол|дог значение, эакмочгиног между ее точной верхней и точкой нижней границами иа (а, Ь) (п.
4.3-3), включая и зти границы. Аналогичная теорема верна и для действительной функции двух и большего числа переменных, непрерывной в ограниченной замкнутой области. те ьн Функция ! (х) Рзвмамерна непрерывна на множестве Я, если для каждого о о л ого числе г существует тзксю положительное число б, чта для всех х — 3 н х ш Я д положицрн, х — Х ! < б зыполняьтся неравенство ~ ! (х) — [(Х) 1< е. Функции иглргриьнил на ьгриничгнньм эамкнутэм иитергалг [а, Ь|, раьиэмгрнз нглрсрмзна иа (а, Ь) <с) Если дзг функции ! и й нглргрывны з даиньй ть ке к иги (к„к, ..., ка), ть нэлргрьмиы з этой точке и функции |фу, ! — й и !й, если фуикциз й иг эбращагтск зтьй томке э мут, тз з зтьй тэчкг неарзрмзна и функция [Уй.
Если дано,: э ига у((х] =Я< 0 =1, 2, „,) и чтс функции р(у,, у,, уа) иеарсрыьиа з таьке (ли ль „.. Л„), Е(у <х» уь Ы), ..., ул <х]) = р (Л„Л, к а л <4 4-З) 1(х)— : 11гп ('(х) ен)(а-! О)=[. к а.(-О к а.,'. в точке а справа, если для каждого положительного числа в существует такое положительное число Ь, что при 0(х — а(б функцич [(х) определена и выполнЯетсЯ неРавенство 1'! (х) — (.е ! Се. ФУнкциЯ ! (х) имеет в точке а пРедел слева Игп ( (х) ьж 1)гп [(х) ен )(а — О) = й , х а — О х а— если для каждого положительного числа е существует ]акое положительное число б, что при 0 <а — х с Ь функция [(к) определена и выполняется не равенство 1! (х) — й ! С е. Если сущгствуг(п предел 1пп [(х), то предела х а [пп ( (х) и |ип ((х) существуют и х-а+О к а вас !(х)=- !1п1 )(х) 1;ш ~(х) -а+О,, 1, 4 4 2).
Н частности, если каждая из |руи „ии, < ) »лэ эть зерна и дгз Е (у <х), <х) Пргдгл з (х) разкьмгрнз схэдзщгйск иа мньжсстзз Е эиачгиий х аэслгдэзатггьиэсти функций 'ь (х), з, (х)„... и арсривимх иа 3, эсть функции, игаргрььзкая иа я. 4.4-7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. (а) Функция <'(х) действительного переменного х имеет (необходимо единственный) предел 4.8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 107 4.8-9. Р35 ГЛ. 4.
ДИФФЕРЕН11ИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.4-8. 4,5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Обратно, если 11ш [(х) = !(ш [ (х)' х о то л вдел Иш [(х) суи(ех о-О х о+О неп е ывиа в точке а справа или слева, если соответст- (Ь) Функция [(х) яепрерыв(ш н ~~~~~, тети екелы [(аз-Он) и [(а — О) наибольшая азл а,,' а ЬО) и [(а — 0) есть свито функции/(х) ность межчу двумя нз чисел [ (а),,'(а Ь ) и а — "; ° 1 конечное или счетное множество (п.. -,а, нк ия [ (х) к сочно-непрерывна па интервале, есл рывин в 1 всюду, за исключением колени о ночного числй точек разрыва первого рода. х, х, .„, х кусочно-непрерывна з области Р л-мерного простран.
Функцен 1(х,, х, „, хл) ства, если онз непрерывна е ду, 1' есю , за нсключенаем, ыть н ых прн о= в з, рет)парных поверхстез регулярных гноерповерзн (р у . ых остей ( ег лнрных нраеых е едннстаен» й аосто онана н 8.1-14, азбнеаютнх н чт по обтстн нзаутрн той подобают х нн нн 1(х,, х„„,, х„) онест е Лел прн прн лаже нблнженнн к лсобай граннчной точке подо ласти нз у 4.4-3. Монотонные фуикци фу, 3 .." ш. ик н и ф икцин ограниченной вариация. (а) Деиствитель фу ельная ф нкцвя [(х) действительного пере нте вала 1 либо из х ( х всегда следует /(х ) ( [(х ) вс гда след; т [( ))[( ) пк ия [ х) пестрого монотонна на 1, если она опре(убывающая функция).
Функция [(х) пестрого моно хз всегда следует [ (х,]: — [ (хе) (иеубыва(ощая фуннция), либо же нэ х (хз всегда следует [(х,) )[(хз) (иеаозрастающая функции). Аналогичные аются ля мояотояйых посгюдоватггьяогтпей (п. 4.2-1). нк ия,' «) денствительного переменного х есть (Ь) Действительная функция,'(х, д функция ограниченной вариации на интервале ,'а,, если с .' М, что для всех разбиений а=х„(хт <хе <... л= йоложительиое число, ч интервала (а, Ь[ выполняется неравенство [/(хд — [(х( 1) ( М. с'= 1 ия х есть ф икцня ограяичгяяой вариации на [а, Ь[ в том и только к б представлена в виде [(х) =[1(х) — /з(х), , Ь!. г е х и,г (х) ограничены и не убывают на [а, ( ) — ф як ии ограниченной вариации яа [а, Ь[, лто и х х и,' (х) й ('х) — функции ограниченной вариации яа [а, Ь,'. Фу ц , Ь,'.
Ф акция як йа ог яй(вялой вариации яа калсдом конечном ияглервале [(х) гст фу~цап ра~ г я и в р , Ь, яа кото ом ояа ограничена и имеет ко ( . !1.2-1) и точек разрыва первого рода (условил л1аксимумов и минимумов (и.. - и ч кирилле). Ф раяичеяяой вариации яа [а, Ь[ огра пчела [, я яа [а, Ь[ и имее(п уякция ог п. 4,4-7), только точки разлива первого рода (п., - ), н нх слозне, чтобм 1(х) была функцней ограначенной варин фз'нческнх приложена'х у"'зн' ° а/ ат то факт.
что фун„цн„ /(х) Ограут с Шестзенно влннть на ее нн ннчеаа н что комп оненты очень высокой частоты не мог у тенснвпость (и. 18.10-9), н,' х е точке о определзют как разность 1(о+О) — 1(о-о), длн монотонной функцнн зто определение н денное в т 4.5-1. Производные и диффереицировани, (а) Пусть у=[(х)-действительная функция действительного перемен- ного х, определенная в некоторой окрестности точки х.
Первая производная (производная первого порядка) функции 1(х) по х в точке х есть предел Ах О ах Ах О ах их Рх В каждой точке х, в которой предел (1) существует, производная -':.-['(х) р.с есть мерз скорости изменения у относительно х. Производная [1(х) есть угловой коэффициент касательной (п. 17.1-1) к графику функции у=[(х) (см. и. 4.2-1, а) в точке х.
Соответствующие одностороннее пределы (п, 4-4-7,а) нззываютса лецой пронзаодной /' (х) н правой производной 1' (х) фуннцнн 1(х) в точке х. (Ь) Вторая, третья, ..., п-я производные (производные второго, третьего, ... ..., и-го порядка) фумкцнн у= — [(х) по х в точке х определяются соответст- венно формуламв -[ ()-=-,'.— = [ (), дар дх дх* ,— „[" (х) = — „, =["' (х), ..., — „['" "(х) ив е — -„= ['"' (х), если соответствующие пределы существуют. (с) Операция отыскания производной ['(х) данной функции [(х) называется дифференцированием функции [ (х) по х. Функпия / (х) дифференцируема при тех значениях х или на том множестве значений х, при которых существует нронзводная ['(х). Функция [(х) непрерывно днфференцируема, если производная ['(х) существует и непрерывна. Функция [(х) называется кусочно-гдадкой на промежутке 1, если функция [(х) непрерывна на 1, а ее производная [' (х) кусошю-непрерывна (п.4.4-7, с) на 1.
Диффереяцируемия функция непрерывна. Производные большого чнсла часто встречающихся функций приведены в табл. 4.5-1. Производные от комбинаций этих функций могут быть найдены с помощью правил дифференцирования из п. 4.5-4. 4.5-2. Частные производные. (а) Пусть у=[(х,, х„..., х„) — действительная функция переменных х,, х„..., х„, определенная в некоторой окрестности точки (х,, х,, ..., х„), Частная пронзводнав (первого нарядна) функции [ (х,, хз, ..., хн) по х, в точке (х„, хз, ..., х„) есть предел 1(», + бх„хз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
