Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 32
Текст из файла (страница 32)
4.6-5) я Х» с — Ов в случае, если иятегралы 1 ) и ( и ущ 4 (5) ие с ествукг, могут асс же существовать аоот. ветстаующие главные значения интеграла ио Коши Гс — 5 Ь 11пч ) ! (к) йк и 1!пч ~ [ 1(к) йк+ 1 1(к) йк1; (4.6-6) Х .1.
со — Х Ь-+О я с+6 если какой-либо яз интегралов (1 и ( учп 4 и (5) с естаует, ои необходимо равен своему глав- ы и значению. о у Ь (с) Несобственный интеграл ~[(х. у) дх Рани м Р о ствующнй определенный интеграл сходится стае 3 значений у, если соответствую Ь к своему пределу (нп. 4 6-2, а н Ь) равномерно на 3 (п. 4.4-4). Если ~ [(х, у) йх е ала ( ( 1 есть интсгрил вида (2и) и если функлри каждом у из интервала уе у ул ция 1'(х, у ие 1(, у) непрерывна на множестве а(х(, уо у Ь ~!(, ) 1(, ) й авномерно сходится в интервале уе(у(у,, (1(, , то (,1 (х, у) йх еспю !(х,у) хр а нк ия от у вэтом интервале (теоРема о непрерывны н для интегралов вида (2Ь) в (2с).
н о с т и). Аналогичные теоремы верны н пе ечнслены (а) рнзнакн а П сходнмости и равномерной сходнмостн перечн в пп.4. 9-3 н 4. 9-4. 4.6-3. Среднее значение. Среднее значение функции [(х) на интервалах [а, Ь[, [О, +со) н ( †, +со) по определени(о соответственно равно Ь Х Х вЂ” 1[(.) д., „В, „41((.) йх °, В, „-,'у 1 ((.) й., о о — Х если этн величины существщот.
4.6-4. Неопределенные интегралы. Функция [(х) нл(еет в интервале [а, Ь) неопределенный интеграл )1(х) йх, если существует такая функция Г (х), что р'(х)=1(х) на [а, Ь!. В этом случае функция р(х) однозначно определена в [а, Ь) с точностью до произвольной адднтивной постоянной С (постоянной интегрированна); любая такая функция Г(х) называется первообразной (примитивной) функции 1(х) на )а, Ь). Полагают [((х) ух=а(х)+С (а(х(Ь), (4.6-8) Заметим, что разность р (х) — р (а).: — р (х) /"„ при а:= х ( Ь определена однозначно. Отнетеи также, что 1 !а и (к) + 3 о (х)! йк = а ) и (к) йк + 6 ) и (х] йк, 1 и (к) о' (к) йк = и (к) о (к) — ) и' (к) о (к) йк, если зги неопределенные интегралы существуют (си.
также табл. 4.5.2 в 4,6-1). 4.6-5. Основная теорема интегрального исчисления. Если [ (х) — функция, ограниченная и интегрируемая на интервале [а, Ь[, и если существует первооброзная Р (х) функции 1(х) на [а, Ь), пю ) ( (5) г(» = Г (х) = р (х) — Е (а) (а (х ( Ь). (4.6-!!) В частности, зпю верно, если функция ! (х) непрерывна на [а, Ь[. Лри зчпом к й'„~[($) уй=[(х) (а(х(Ь).
(4.6-12) в полее общее утверждение; мви функция 1(к) ягрочичгчя и иктггриругме не !е, 51, к тв пят«грал )169 й» яввввтся фуккцигй ограни»гиней вариации ня !я, Ь), и длм почти о всех к из !о, Ь! (п,4.6.14. Ы имввял место равенство (12), 3 а и е ч а и и е. Осиовиая теорема иичегральиого исчисления дает возможность вы щс- лять определенные интегралы, обращая пропссс нифференпироваиия.
4.6-6. Методы интегрирования. (а) Интегрирование есть операция отыскания (определенного нли неопределенного) интеграла от данной подыитегральной функции [(х). Определенные интегралы можно вычислять непосредственно как пределы интегральных сумм (численное интегрирование, нп.20.6-2 и 20.6-3) нлн путем вычисления вычетов (п.7.7-3). Чаще пытаютсн найти неопределенный интеграл н затем польауются формулой (11). Чтобы найти неопределенный интеграл, данную подынтегральную функцию [(х) нужно с помощью «правил ннтегрнрованняз, перечисленных в табл.
4.6-1, а, Ь, с, нредставнть в виде суммы известных прона. водных. В дальнейшем перечисляются методы интегрирования, применимые к некоторым специальным типам подыитегральных функций, Существуют разной 1!9 4.В ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАН)!Г 4.В-В. 118 Гл 4 дифференцидльнОе и интеГРАльное исчисление 4,6.6. (т ю'- 1) (ты» 1); т-1+ — (т — 1) (х — »,) — = — пгс(2 — + С; — — — — С; [И вЂ” л)*+в'1 в в х — о 2ла — 1Г г» 2 в*И» — а)а-' в'!т втв' ц» — а) ° +в'] х а» [(» — ар + в*!т а (х — а) — в' (2т — 1) а 2эзв' [(х — а)*+ вП 2та!э ~ [(» — ар + вП (4.6.14) (о) у н к ц б ф нн, интегрирование иоторых с помощью з ио- вамены перемениы !ениых сводится к интегрированию р ц нальных функций. 1.
Если подынтегральния функция /(х) есть рациональная функци о ия отяпх х и сов х, т совх, то полагают и=!8 —, так что 2и 1 — а* й 2!и ВШХюы — а, СОВХ= —,Т ю йк= —, 1+ аз' 2. Если аодынтггральная функция / (х) есть рациональная функцая от ВЬ х х сЬ», то полагают и=!Ь вЂ”, так чт (4.6-16) ! иэ' . Есле /(х) — ацнональная функция отэ!ц'», соэ'», ыцхсаэ» н !е х б функций), те эычнсленна упростятся если (нлн ат сост саотэатстаующаа гйпер олнческнк сделать замену и=1Е» (нлн и= ). = !Ь» . 3.
Если лодыепегральная функция /(х) есть ра!(иониаьная функция от х и либо от ф 1-х, ли от зг~х —, 1 1 в, бо т зг хв — 11 , либо от )Уха+1, то задача сведется к случаи 1 или 2, если соотве 2, тственно сделать подстановку х=сово, илн х=сЬп, 4, Если ладынжигральнал функция /(к) есть рациональная функция от к и либо от ук+, л уйв[, ибо ат угх~ — 1 то можно положить соответственно а и=х-(-)гхв ~ч- 1; тогда х= — /и чр — ), В'ха ч.
1= — (и ь — ), ух= -(1 4- —,)йи. (4.6.17) 2( а/' (4.6-15) степени полноты таблицы определенных и неопр д е еленных интегралов (см., например, [4,6[), (Ь) Интегрирование миогочленов: )г (а„+а„!х+а„ах'+...+аахл) дхюы — — а хла!+С. (4.6-13) =анх+ —, а. "'+ —."-. +" +.—,! с) Интегрирование рациональных фун ц к ий. Методы, опи. .1.7-2 и 1.7-4, сводят интегрирование каждой рациональной функии к интег и ованвю суммы многочлева (п.4.6-6, Ь) ..
-, Ь и иекото ого чнсла элер ментарных дробей (1.7-5) и,нли . - ) / (1.7-6). Элементарные дроби последовательно интегрируются с помощью следу!ощих формул: 5 Ес!и лодынтггральная функция /(х) есть рациональная функция от х и от ) асэ+Ьх+с, то задача сведется к случаю 3 (нлн 4), если сделать подстановку и=, х= 2а» -(- Ь а У, 4ас — Ь',' — Ь (4.6-[3) )г, аж — Ьа ! 2а 6. Если подынтггральлал функция /(х) есть рациональная функция ол) х 1 Ел»-(- ь и от и = р, причем ай — Ьсфб, то в качестве ионой переменной берут и.
с» -)- г ' 7. Если лодынтегральная функция /(х) есть рациональная функция от х, ) ах+В и [ сх+й, где а~О, то в качестве новой переменной берут и= = )' ах-!-Ь. И ра личных специальпых случаях применяют многочисленные другие подстановки.
(е) Интегралы от функций вида х"гэ", х" !пх, х" яп х, х" совх (л Š— 1); яп" хсовтх (а-[-т=ЕО), г'»яп" х, ез»сов" х вычисля!от с помощью инл!сгрирогания ло частям (табл. 4.6-1, Ь), применяя его, если нужно, несколько раз. 45 мэюгаа натагралы «эльза аыразнть э еэде кааечаык сумм, содержащих только алгсбранчсскэа, цокаэатальаыа и трнгоцьыатраческна функцнц е 4ун~ цаа, эы обратэыа. 3 этом случае подыэтагральэую функцию иажао разложать э бесконечный рэд (оо 4.!Э-4, 4 !1-4, )В 2-6) нлй жа прибегнуть к численному ннтегрнроааааю.
и гл. я можно найти » Ь црэцеры «аоаы»» фуэкцай от», апределяаыы» кан интегралы энда ) /(1) га алн ) /(», и) лц. а л 4.6-7. Эллиптические интегралы. Если /(х) — рациональная функция от х Ь и от )гаэх)+а!ха+паса-[-аэх+ап то ~/(х) йх называется эллиптическим ина тсгралом; можно исключить тривиальный случай, когда уравнение аэх' -[- а,ха+ а,.ха+ аах -[- а, = О имеет пратные корни. /Тагхдый эллиптический интеграл можно гыром!ть через элгл;гнл!арныг функции и нормальные эллиати«эскил интегралы (п.
2!.6-5); значения последних приведены в таблицах. 4.6-8. Кратные интегралы (см. также пп. 4.6-11, 4.6.12 и 4.6-13). (а) Пусть функция /(х, у) кусочно-непрерывна (п. 4.4-7) в ограниченной замп!путай области Е), определяемой как условиями а~»~Ь, у!(х) сйуюг ув(х), так н условиями а (у "[), у! (у) ~»=-уа(у), где д!(х), уа(х), у,(у), уа(у)— кусочно-непрерывные функции в указанных интервалах. Тогда т (и б[т (Ю Ь г. (») 5 йу ~ / (х, у) дх ив и ~ ~ ~ / (х, у) йх/ йу = ~ йх ~' / (х, у) ду юы а т,(р) а т,(р) а г,(») = Я / (х, у) дх йу!. (4.6-19) о А!тлогвчные теоремы справедливы для тройных, четырехкратных и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
