Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В этом случае з = = — Вш зп иазынаетсн суммой™ряда, и разрешается писать и гп ь и ао+ а)+аз+... = ~ ', аз= 1)ш ~,' аз= 1)ш зп=в. (4.8-!) о=О " Ь=-О Ряд а,+а,+аз+ . (необходимо сходящийся) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ! ап )+, 'а,)+! аз)+... Если ряд не сходится, то ои называется расходящимся (он расходится; см. также п.
4.8-6). В пп. 4.9-1 и 4.9-2 приводятся некоторые признаки, позволяющие исследовать сходимость заданного бесконечного ряда 4.8-2. Ряды функций. Равномерная сходимость (см. также п. 4.4-4). Ряд функций ав (х)+а) (х)+аа (х)+...
сходится к функции (сумме) з (х) при кзждом значении х, при котором л 1пп ~ ав(х)=з(х). и ььа — О Ряд равномерно сходится к з(х) на множестве Я значений х, если на иножестве 3 к функции з(х) равномерно сходится последовательность его частичных сумм з„(х)= ~ ', ав (х). В п. 4.9-2 приведены некоторые признаки рава=о номерной сходимости. 4.8-8. Операции над сходящимися рядами. (а) с л о ж е н и е и у м н о ж е н и е и а ч и с л о. если ~ч~л аь и ~", ьь— Ь=О В=-О схсдящиеся ряды с действительными или комплексными клепики и и — действительное или комплексное число, то ч;1 а 1 ~ ь ~я~~ ~(а 1 ь)) 11 ~."~ а) ~~ аа),, (4,8.2) л=о е=о ь=о л-о в=о В каждом из этих слугаев из сходимости ули абсолютной сходимости рядов в леюй части вытекает сходимость или соответственно обсолюптат сходимгкть ряда в правой части, (Ь) Пер ест а нонка членов.
Коммутативио сходящийся ряд есть ряд, который сходится и имеет одну и ту же сумму при любой перестановке его членов; это иметп место в том и только в том случае, если ряд абсо- лютно сходится. Каждый ряд, получающийся из таксгэ ряда, если из нгго выбросить какие угодно члены, также абсолютно сходится, Схпдлщвбся, кп ле абсолютна гладпщаасп рлл кааыааетса условно слодящлыгл. Чмны «пждпгп уплыло гхьдпщегегл ряда г дейгтлптглькымп члгнпл~п можно пгрмтпеппгь так, чтгг !) пжлгдьептельпьсть егп чжтычлык сумм станет ехьдптьгп к дппкпыр чре- де го, 2) последовательность еге чпгтпчпык сумм апалет пеьгрекпчгппь вьарпгтпть, 3) пьг.
ледьгателькьгть егь частичных сумм станет неьгрпнпчепка убивать и Л) паглгдьгптгль~лгть егп чегтпчкыл сумм апплегп келгбптьгл между двумя любимы дпппымп лчглпмп (теорема Рпмппп). (с) Двойные ряды. Двойной ряд ~ЧЛ ~~Л~ а;ь сходится к з (иместсумму 1 ОВ=О 5), если 1)ш Х ~~Л ам=в "1 «пг' О Я=О л ьь (п.
4.4-5). Отметим, что (4.8-3) если все три ряда сходятся (теорема Прингсгейма о суммировании по столбцом и по строкам). В частности, если рассматриваемый двойной ряд чь, 'асв сходится абсолютно, т. е. если сходится ряд ч~~~~ ~Л~ (аул,'„то этот =О)=О 1=бе=О ряд имеет одну и ту же сумму при любом порядке суммирования. ( ) Произведение двух бесконечных рндов. Если й си ~' а), 00 в — о и Р,' Ьь — абсолютно сходящиеся ряды с действительными или комплексными ь ==О членами, то двойной ряд ~ ~ а)Ьл есть абсолютно сходящийся ряд с сум- 1=0 В=О мой ( ~Л~ ав~ ~Л ~Ьь .
Более общо: ).в о г) )ье =о с го ь)г со гп л Х ав)( Х Ьв)= ~„', ~ авЬ -а (прт)ило Коши) (4.8.4) В=О В=О л=ОВ.=О если чти три ряда сходятся 4 8 4 Операции нвд бесконечными рядами грункций (а) Сложение и умножение на ограиичеииуюфупкц, Если ряды ~ ав(х) и ~Л~ Ьв(х) сходятся равномерно (п. 4,8.2) на множестве в-о в=о 3 значений х, то разномерно на множеслме Я сходятся и ряды па го (аз (х) + Ьв (х)) и ~ гр(х) аь (х), о в=о где гр (х) — п роитеольнач ограниченная на 3 грункция, р е д е л ы, н е п р е р ы в н о с т ь и и и т е г р и р о в а н и е (см. также 181 П п. 4,4-5). П ст . - ). усть ряд ~ ', ав (х) равномерно сходшпся на осраниченном откры- В=О гном ин)пе а.и, м тервале (а, Ь), х=хв и х=хт — дее любом точки этого интервала. Тогда 1'пп ~Л~ ав(х)= ~ !Пп аь(х), ль в=о * — Ох л, 1пп ~Л ~ав (х) = ~р ~Вгп аз (х), х к,+О  — О л кь-)-О !1ш ~Л ~ав (х) = ~~ ~1!гп ав (х), в "ь — О В=О В О л кь — О СО К, ~ ~ ~Ч ', ай (х)~ ух = ~Л ~) ай (х) дх, х, й=о а=о», Таблица 481 Суммы некоторых числовых рядов 1+ с, =сЬ1, =зЬ 1, 1)1 1 и' (28 — 1) г 1 н' д>-щ» Х (-1> а 2й — 1 4' Х (гй — 1>(г*ф>> =1 Х 1 й(й ф>>.
й=) Д т 1 й (й -(- 1! (!г Ф й=-1 й=о 1 2) 4' (й -) ли ггпга (т=1, 2, „,>, СО СО „й Х ( — 1) а[= гл( — !) й хз л е 1 й=о й=о (4.8-7> 134 ГЛ 4 дИФФЕРЕННИЬЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИС41ИСЛЕНИЕ 4,8 5. если при Ь=О, 1, 2, ... существуют аютвстствующие предела! йт ай (х), 1пп ай (х), 1пп ай (х). к к к х+О к кч — О 2. Сумма ряда ~~Л ай(х) непрерывна в точке х=х, если в втой тснкв 5=О испргрыегк каждый член ряда ай (х). 3. Ряд ~~ ай (х) равномерно сходится на замкнутом интервале (хв, х[) и й =- О если ткмдый член а (х) кепрерьтек на (х„х,). Из сделанных предположений ньпекает сходнмость ряда н правой части каждого нз этих ранено н. й Н жеследующая теорема формулируется спецвальао для интырала Лсбеги.
Сва может применяться и к должным Образом скодящямся несобственным и те рвл и гсм. также п, 4 5-15). Если Рлд ~~Л ай (к> функций, суммируеммк но (ограничением й=о и»и к!ограниченном) из.керимом мноксеплвс (в чттности, на интсрв ) алг) 5, сходится но б лочгли всюду, лю о ~Л~ай (к) ах = ~ ) ой (к> ак, 3 Ь=О й ОЬ гс»и существует я!акт дсйстги лг.Олог чис»о А (икгг фунниия А ы). у Ру с ммн смел иа З л п.
4.5-15>, что ~ о>, (к) (А дкя всех ли лочюи дкя воск к 5 3. Заметим, что раьяой=о мерная скодимость не предполагается. (с) 44 Д н ф ф е р е н ц н р о н а н н е. Пусть ряд ~~~~ ай (х) сходится по крайй=о кгй мере в одной и!очке с (и (а, Ь). Тогда, если проиыадные а,'(х), а', (х), а' (х), ... существуют на (а, Ь) и ряд ~~ а',(х) равномерно схсдин[ся в инакрй=о вале (а, Ь), то ряд ~~ ай (х) сходится в (а, Ь) и й=- Π— ай (х)= ч>,' ай(х) (а <х(Ь). (4.3»б) й=о Ь=О 4.8-5. улучи!елке скодимоств и суммирование рядов.
суммы некоторык Рлаоя (см. также пп 7.7-4 и 204.8) (а) П р с об р а з оа а и и е 9 8 л е р в. Если ряд в твой части равгнгтго ов дсксдитгя и розкогти Ойе, олр дг»лктся, ьок г п, 2ОА->, в, лю зто рлылстго слр с»ит, Ряд в правой части равщктва часто сходится быстрее, чем ряд слева, 48 БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ (Ь) Преобразоаакке Куммера, Если д»яскодятикся рядов з= ~а, и 5 ~„5 й=о й=б сугигслгзуггя нргдгк у = Н!п (а /Ь ) фо, то л л О:» О» О 1 з= ~Л~а =ТЕ+ зт ! т й а Кг> а ~ й' (4 8-8) й=о Если сумма 3 известна, чо преобразовааие Куммера может оказаться полсзвым прк и слоник выкладках В таблице 4.8-1 приведены суммы неиоторык числовык рядов (наиболее подробиыв т»блицы такого рода см, в 14Я)).
8=1 й Х' [ — 1) — = соз 1, (2й) ! й — — 1 Х' (,,й-! (2й — 1)1 й=) (- 1>" + ' Х й' 12' 5=1 2 -=--- т 1 и й> 8450' й.= 1 ! ( — 1) и ° (25 — И зг' й=) О» Ч>т 1 З Ос — 1) И+1> =4 й== 2 а ~ ( 1 (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) (с) Форм> ла сумма ров авиа Пуассона. Если Ряд ~ 1(2пй+Ь й — СО лтномгрко сходится на интервале Осб((2п к функции, атлогающгйся е рлд фельс ( . и.4.П.(>, О» со .(- со ! [2пй) —, ~~ ) ! Од г-™ ат, (ел.з! й =- — со й — СΠ— О» гг»и инл!сгаал г лраеой шстл аозгнстго сущгалеуглг, 182 4.8.
БССКОНВЧНЫВ РЯДЫ И ПРОИЗВВДВНИЯ 188 Гл. 4 дифференниАльнОе и интеГРАльное исчислпние 4,8.8. (д) Формула суммирования Эйлера — Маклорена. Если лаоизсодиаз )Г)т+2) (х) существует и нспрсрмсиа при О х и, то + 2 У (0) + ) (л) 1 й 0 В иВ + ч з)г ()(зй !) (л) — (И" !) (0)1 1 зги+а 1(зтсз) (8„ (2т + 2) ! й=! (ти=)2,...! 0<8<!), (4 8-)0) еде  — числа Бернулли, счосдслзсммс в п, 2!.3-2. 4ормулз ИО) часто позволяет дать замкнутое вмреженне дл» преблаженного прей ставленвя конечиой суммы ~ ) (й) нлн представать ее в ваде сходзщегося нлв полуй=о сходящегося (и.
Я.8-б, а) Ряда. Эта формула прнмензется также для численного антегрнОтметим следующие формулы дл» сумм спецвального веда (частные у сл чио зтнх бюрмул прнвсдены в и. !.2-8 н табл. 4.8-!): М й")- — ' ~ Сйи+, (и+О "+' "Вйп Й+! й ! й=! (4.8-П) л,, !)и+! (2П)гм й ! (4.8-)Л !)М 1-! (22М вЂ” ! !) п2И (ОМ) ! (4.8-)3) й=! ф (И-!)2М ( !)М+! (22М Н азм 2 (2))) ! 2М. й — О Ото|ода следует, что если для любого а соразеалнзм неравеистз М аМ к)а АР, й=о л то азМ ~ айай изМ' также для любого л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
