Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Ак)= ч !'*' Гю Ак (пп, 4.б-з н П.2-0. прн п=о ж й=н РЛЛ тсйл Ъ~ ! (й~ й сазерн (б! ~ — ! (О)х нззынзется рядом маклергна йн й=с (с( Каждое рззлажевне луннцнн 1(к( е рнд пь степеням (к — а(, сксднщнй н п Ю г, необходима тождественно с (б) (п 4.!0-2, с). Если ! (к) — рзцнензльс Рн нз" ауннцнн, тс ее рззлаженне пс степеням к нлн пс степеням (Гк часто пслу~ею, нРьдслжзн процесс деленн» (п. 1 2-2, см.
тзкже Рззенстзс (211. Примеры т, ел"женин е степенной рнд см е и, 21.2-12. 4 П. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 4. 11-2. 146 тл, 4. дифференцидльное и интегрдльнбе исчисление 4.!о-ь. разложен«н в степенной ряд допускают почленное дифференцирование н иитегр«ро. «ание (см, 4.16-2, Щ и, та«нм образом, оказываются полезными лля н«тегрнрования фу«кцни / (х) и для решен«я д«4>ференц«альных уравнений (н. 9.2*) Заметим, однако, что л л-я'частичная сумма ч — /' ' (а) (х — а) ряда тейлора «е обьшательво будет наилучлг»1 шнм приближением функции / (х), яаляюшямся многочлеиом л-й степени (сы.
также и, 20.5-1) Функции / (м, которая может быть разложена в степенной ряд, сзодящи йсл е вено- тоРой окрестности точки а, невы«автои аналитической в атой онрестиости (см. та«же п. 7 3-3), 4.(а-б. крат«ма ряд тейлора. (а) ПУсть 1(хн хь -., х ) — дейстентель«аа ФУнкцна, нмеюшаа зсе не«РеРыгаые частные пронзведиые порядка Щ т в пан«торой окрестности О точни а.
Тогда / (х, х...,, хл) =/(о, а, .„, а„)+ у —, ~ (хэ — а!)+ ч.т д/ л л д'/ — — [ (х, — а.) (х/ — а)+ ... + Ят (х), х, ..., х«) ((х, х...,, х ) щ О) (фер«ела тео.юоа). О й член Я (х, х, ..., х ) удовлетворяет соотношению, аналогичному равенству (4), Формулу (6) можно записать при помощи дифференциалов 1(л + ах, а -1- ех, а +ах ) — /[е, а, ..., а„) =а/-!- — еч+ ° -+ а / б-я, (4 16-7) 2! "" (т — !Н аг' где зсе диуферекцнзлы вычисляются в точне (а, а, ..., ал), а я = — 'Лю/! (Х/=а,.я-бах, О<ВЫ), !=1,2..., «).
(4дяз) «! ~л! ( 1 э " «) Ф) Если функция / (х,, хэ, ..., х ) имеет э О все непрерывные частные производные и и я (х„х ..., х ) О в О, то равенство (6) приводит н разложению фуинннн т со ) в нратиый степеввой ряд (крат«ма рлг тейлора,. если функция ! (х, х, ..., х ) может быть разложена в степенной ряд, сходящийся в некоторой окрести ти точни (а, а, ..., о ), то она называется аналнтнчесной в этой окрестности.
4.11. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ с»е/»/„ 1 а, 1 кдт (а»с(ий/+О» 3)и»Нам »=1 (4.!!-1а) ') Во многих приложениях достаточно рассматривать интегралы в этом параграфе «ак иитегралм Р«ма«а (н. 4.6-1), «о использование интеграла Лебега (и. 4 6-15) делает теорию энач«тельно шире примеаимой, См. а пп. !5.2-3 — !5,2-6 ряд теорем; формул« руемых специально для интеграла Лебега. 4.!1-1. Вводные замечания. Ряды Фурье и интегралы Фурье используются для представления и/или приближенна функций (п.
4.10-1) во многих важных приложениях. Разложение в ряд Фурье есть частный случай разложения е ряд чо ортогональным функциям (см. пп. 15.2-3 — 15.2-6). 4.11-2. Ряды Фурье. (в) Если задан интервал разложения — п~/(я, то ряд Фурье, порожденный действмтельной функцией /(/), для которой существует интеграл ~/(т)~ дт 1), есть бесконечный тригонометрический ряд сс со (щэффвциенты которого определяются по формулам эйлера — Фурье а(,= - ~ /(т)соз»тдт, 0»= — ~ /(т) шп»т дт, (0=0, 1, 2, ...). (4.11-)Ь) Здесь а» и Ь» — действительные, в с» — вообще говоря, комплексные числа (и. 4.11-2, 6). (0) Если задан интервал разложения — Т/2~/<Т/2, то ряд Фурье, порожбенный действнтельной функцией /(/), для которой существует щпеТт грал [ [/(т))дт, есть бесконечный тригонометрический ряд [ше =-7.
/, (4.11-23) где Т/2 2 а»=- ~ / [т) сов Ьшэт дт, — ?',") тт С» = С»= 2 [а„— (0») =.: ~ /(т) Е (»ю'т дт — Т/2 В частном случае, нагла Т = 2н, равенства (21 превращаются о равенства (!). Если а качестве интервала разложения выбрать интервал (а, а -!- Т). то интегралы а (26) сле.
душ брать ие менгду — Т)2 н Т/2, а между о н а-!- Т. Т/2 (с) и Если сущш«!еуел! интеграл ~ [/(т)[з дт, то средняя кеадрати !е- — Т/2 схая не решногть Т/2 т ~ [/()-Ра()['д, — Т/2 л 1 / 2л( . 2н() где Р (/) =-- ае+ чч ( а» соз 0- .. +5» шп 0-;/ — произвольный тригонометри- 2 »=! ческий многочлен, при каждом л принимаео! наименьшее значение, когда е «а«естес коэффициента« а», 5» мнотелена Рл (/) беРУтсЯ аоот«стет«Уюциг коэффициенты Фурье (20) а» и Ь» фун«уии /(/), т.
е, когда тригон(оме!«рутеский многоялгн Рл (/) есть частичная сумма л зн( . ел!) е„(/) = —, аз + «„~'~»соз» -т-+ Ь» з(п 0 лт-/~ »=1 и с), =с» = — (໠— !Ь*/= — ) /(т) е 1"тут 1 . ! 2 2« — и о +ю 2 аэ+ х [о»соз!иое/+0» ч)п 06~ /хда ФУРье функции /[/) (см, также п, 15,2-6), 7'/2 ) и*! ~ .*э*. ) ~ (4.11-2Ь) 149 Е.)1. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРЛЛЫ ФУРЬЕ Ч.11 Е.
(4.11.5а) )ав)С вЂ”, (ЬЬ)С вЂ”, ГДЕ 1 еву2с(у) (4.11-5Ь) : — ~ — „с, (у) (в = 2)гс). 1 где +со с (у) = ) ) (т) е "' йт, (4.11-4Ь) ') Сн, сноску н и. (.11.2. !48 гл. е. дифференциальное и интегрлльное исчисление ьл(-з. "" трчггнэ "ли г ий ряд 12п) схэдитсяк!(')гинтер (- ' ь) ггглчг, глэ егэ «ээффяциенты необходимо яэгяююсл ксзффицигнюпяи фвпгг (2 ) фьчяц гг! ! (!) (теэрема Эйлера). г . и инте вале пз.ггжечия, я!г ягэф чцигчты нргг оь и д) и если пбсэзю пчпя гггичпчп 1! (!) 1 янпыглирлглго сп и л и Ф гг о и ь функции 1 (!) яри ь пэ стсгмлтгл х явгю (тгэвгмп г .,ги ях иг ! !) ча гсгм эпмгчгтгл ччтгягп.ч Ппзггжг ия нмгг Римпяо — Лгбггп).
Ес,ги 4ияхц ( нгплерьюяг!с ппоиэггдяыг дг (т — 1)-гэ пгпя хо гяггэчипггт , пл пргиэггдчгт г хгчцпх этого чятгпгягп имеет эдн д э и тг гг эноггйпэ, и г гч т-л лл гэдчпя яесгчяг.чг о огючп, гяэ хгз44пцигнюы Фел ! !. 4 ! ) ье о и Ь 4гнхции !(!) лпн ьбыгпют яс мгдзгч гг, чгм ь гл, т. г, гдг Š— пгстгяняол.
е коьффн ленты с свя. (е) Действительные «пзффнцненты аь Я Ьь Я кпнвлексны фф ц ь эгны формулами о с +с ь, Ь! — 1(с! — с !) (Ь О, 1, 2, ...), (4,1(-З) с(, = — (аь — гЬ,), с = — (а + !Ь ) где Ьг = О. Ряд Фурье (2) четной нлн же нечетнпа функннн ! (!) (и. я.2-2, Ы сводятся спотпетгтэенно н ряду Фурье по носннусэн н к ряду Фурье нп синусам.
4.11-3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье (примеры см. в табл. 4.11-3 — 4. !1-5). и й 1, абсо(а' Интеграл Фурье, порожденный действительной функцией )(!), а солютиая величина )1(!) ( которой интегрируема на интервале — со с + ) н (патервал разложения) '), по определению есть -)- со + гю +го — йв ~ )(т)савв(! — т)йтсм ~ с(у)е нрл уиц +аз +со С ( ),(ы! й, 1 ~ () ((в) е!ки й(о (4.11.4а) С(О)): — =' ( )(т) е !Фтйтж=с~д —,,), +о» Ы (в) = ~ ) (т) г !ют йт = — с (-"„— ) (в = 2лч). Функция с(у) называется преобразованием Фурье с(у) =.г (1(!)) функции 1(!) Заметим, что преобразованием Фурье фуикцни 1(!) называю~ не только с(ч), по и С((о) или же () (в). (Ь) Косинус- и синус-интегралы Фурье, порожденные действительной функцией 1(1), абсолютная величина ~ ! (!) ( которой иитегрируема иа интервале разложения О <(С+оп, определяются соответственно как + оэ + гп г ) .,() г г,=ух ! с,1,1.
г„,) О О +по + о» 2 ) с, (т) вп2лу!йт= ~,/ 2 ) С (,в)э!и,!й„ +аз сс (т) = 2 ~ ) (с) соз 2лчт йт, + сп С, (в) = )г' — " ') 1(т) соз вт йт О +со с,(т) ив е 2 ~ )(т) и!п2лутйт, + го С, (в) ец )/ 2 ) 1(т) э!пвтйт О Лействительные функции с,(у)=э' (1(!)) и с,(у)т~~,у(1)) называют я соответственно косинус-преобразованием Фурье в синус-преобразованием Фурье функции )(!). Часто косинус- н синус-преобразованием Фурье называют вместо этого С,(в) и С,(ь)).
4.11-4. Функции, разложимые в ряд Фурье и представимые интегралом Фурье. Гармонический анализ (примерь( см. в табл. 4.11-1), (а) Ряд Фурье или интеграл Фурье, порожденный действительной функ- цией )(!), абсолютная величина которой итиегрируема иа аютвгтствующем интервале разложения 1, !) сходинкл к иа каждом открытом интервале, 2 где функция ! (!) и сг производная Г' (!) кусочио-иенргрывнь! (и. 4.4-7, с); лри э!лом иа каждом эомкиутсм интервале, в котором функция ислргрьюиа, ряд Фурье равномерно скодится к 1(1)) 2) сходи)пся равномерно к ) (!) иа каждом токаи интервале (а, Ь) г= ~(а-б, Ь-)-Ь) ~ 1, где б)О, что иа (а — б, Ь+б) функция )(!) иепрсрыяиа и имеет ограниченную гариаци(о (п. 4,4-8, Ь)) 8) скодится к + + иа каждом открытом интервале, 2 содержащемся в 1, иа котором функция 1(1) имегт ограниченную вариацию (нриэиак Жордаиа) Напомним, что функция 1 (!), Ограниченная и имеющая конечное число отно- сительных згаксимумое, относительных минимумов и точек раэрь!га первого рода иа неко!лоран конечном интервале (условия Дириклг, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
