Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 41
Текст из файла (страница 41)
г т (см. также патегральнув формулу Днрнале, и. 2!.9-4, Щ. х сО 1, хт,, = ~(Г4 ~ С(в) е'"» йв= — ~ 1 у+т) — „йт (4 !! 16) о -1 — СО 2 равномерно сходтпся лри л +оз к функции 1(/) на каждом ограличеннон ин!пе вале. Если функция 1 (Е) равномерно непрерывна на всем интервале Р— сю, +оз), то и равномерная сходимость распространяется на интервал — со, +ею). 4.11-8 Кратные ряды и интегралы Фурье. (а) Если задана л.мернаи область разложения, определяемая неравенствами а / а/ / </ < +Т, 1=1, 2, ... п, то кратный ряд Фурье, порожденный функцией 1(/,, /, „ /„), для которой существует интеграл а +т, ч.т а„фт„ (1 (т„т„..., т„) ' йт, йт, ... йт„, а а л 4.! 1-7. Суммирование средними арифметическими.
(а) Частичные суммы ряда Фурье функции 1(/) могут не представлять собой полез ых приближений функции 1(/). Это, в частности, может случиться, если н б ряд расходится илн если зти частичные суммы «отходятз от функции 1(/) в лизи ее точки разрыва (неравномерная сходнмость вблизи точки разрыва, явление Гиббса) В атон случае можно прибегнуть к сумнированию средними арифметическими (п.
4.8-6, с). Каждый ряд Фуры (2) суммируем средними арифметическими к функции 1(/) при всех / вин!перголе ( — Т/2, Т/2), для которых функция 1(/), нглрерзына; в точках разрыва первою рода средние арифметические гладятся к + (теорема Фейвра), Средние арифметические сходятся к 1(й /// — О)+1(/+о) 2 почти всюду в интервале разложения; они сходятся к 1(/) равиоь(ерпо на каждом таком интервале (а, Ь) ~ (а — 6, Ь+ 6) с= ( — Т/2, Т/2), где 6 > О, что функция 1(/) на (а — 6, Ь+6) непрерывна. + СО (в) Точно так же, если существует интеграл ~ !1(т] ! й 4 и функция 1(/) непрерывна всюду, то средние арифметически» по опосдслснию есть СО СО СО а а — — — Оз а =-сз а = — со ! а /=! а+т а-! г а чт л л се,а, .
/с„=г,т ...г ~ ~ ... ~ 1(т„т„...,т„)х а! аа а„ а Х ехР— 2п! Ув Ь/ — йт, йт, ... йт„, / / ! (4,11-16) по определению есть -)-ОС+СО +ОЗ л „ ! ! ... ! с с ,, „ ..., .! з ( у + ,~, ... а , -(-СО+О! +СО С(в!, вз, . ° ., вл) — ( - — )з ) ) " ) 1(ть 'ть ° тл) Х ХехР— ( ~Р~в/т/ йттйта...йт„.
! ! (4.11-17) Как и в равенстве (4), можно ввести у/=в/1(2п). Для областей интегрнрова. ння, определяемых неравенствами О < //< + сю плп — оз < //< О, но аналогии с и. 4.11-'! получают кратные синус- и косинус-интегралы Фурье. (с) Если задана область разложения — со</, <+ со, аз </, < а,+ Тя, то для функции 1(/,, /а) можно получить «смешанноез разложение Фурье: 2»2н — сО а= — сО щ+т Са'в,)= — )г )г 1(ть тз)в с ' ' ! /йт,йт,. Тз)/ 2и (4.!1-18) Лна/!огичио можно скомбинировать интегралы Фурье и ряды Фурье (а также синус- и косинус-интегралы Фурье) и в случае более чем двух измерений.
(й) Показательные функции в (16), (17) н (18) с помощью равенств (2!.2-28) могут быть представлены в виде суммы синусов н косинусов. Все теоремы пп 4,11-2 — 4.!1-7 могут быть обоби(вны ни случай крол!ныл рядов и интсгралов Фурье. 6 Г. Кара н т. Кара (Ь) Кратный интеграл Фурье, порожденный функцией 1(/з, /, ..., /„), для которой существует интеграл +СО +СО Ц-ОЗ ~1(т„тз, ..., т„)! йт, йт, ...4(тси 163 5.2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ГЛАВА 5 ВЕКТО(зНЫЙ АНАЛИЗ Хз аз + Хзкз + ... + Лжа = 0 1.1 — оз — "° = лгл = 0 следует а = а!е! + а е, + азез. (5.2-2) 5.2.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ал=ь ° 1, а =в ° 1, о =вь 5.1. ВЕКТОРЪ1 В ЕВКЛНДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ В каждом классе векторов (например, перемещений, скоростей, снл, нвп. ряженностей магнитного полл) моясно определить операции, известные кзк сложение гекторов и умнозкгииг их ла (дгйствитгльяыг) скаляры (п.
5.2-1), а твнже как скалярное умяожгяиг векторов (и. 5.2-6). Классы векторов, встречающиеся в геометрии и физике, чаще всего связаны с двух- или трехмерным евклндовым пространством. 1. Векторы любого класса допускают однозначное представление в виде перемещений [т. е, напровлгяямх отргзков) в геометрнческоь! пространстве. Эю представление сохраняет соответствие между суммами векторов, произведениями их на скаляры и скалярными произведениями векторов (см. танже пп. 12.1-6 и 14.2-1 — !4.2-7).
2. В большинстве приложений векторы появляются нак функции точки в геометрическом пространстве (вектор-фуякции точки, п. 5.4-1). Такие векторы, квк скорости и силы, обычно впервые определяются на геометрическом языке как свеличины, обладающие длиной и направлениемэ, или, неснолько точнее, как величины, которые могут быть представлены в виде направленных отрезков, складывающихся по эправилу паргллелограмма». Такой геометрический подход, общий для большинства элементарных курсов, использован в пп.
5.2-1 и 5.2-3 при введении основных операций над векторами. Рассмотренве векторов с более общей точки зрения дано в и. 12.4-1 и в гл. 14. Векторный аиализ изучает векторные (и скалярные) фуннции. Любой вектор может быть задан набором числовых функций (координат век!пора) в соответствующем базисе (пп.5.2-2, 5.2-3, 5.4-! и 6.3.1).
3 эм э ч з п и э. Опвсзввэ физического ооотоппп» вэкторпымп вэлпчпхзмп следует рассматривать пе только кэк способ сокращенной ззппсп анатомы коордккзтпых урэвпевэй одпкм урэвээппэм, по и «эк аркмвр мзтэмзткчеокой маделп, элэмэвты которой за огрэпкчквэюзея чпалзмп. Заметим также, чта класс обьактов, допускзющпх вззкмво аапазпэчпоэ соотвегсгввэ е классам пэпрэьлэппмх отрезков, мажет и пэ являться йнжзрвым прострээствам, если у кэго пьг аппсэквых выюэ алгебраических свойств, 5.2-1. Сломенме векторов и умножение вектора на (действительный) скзляр, Векторная сумма а+Ь двух векторов н и Ь одного класса есть вектор, соответствующий геометрической сумме соответственных направленных отрезков (правило параллелограмма). Произведение вектора а яа действительное число (скаляр) а есть вектор, соответствуюн!ий направленному отрезку„ в ' а( раз более длинному, чем отрезок, соответствующий вектору а, и нап. равленному в случае отрицателыюго а в сторону, противоположную вектору а.
)(улгсой вектор 0 каждого класса векторов соответствует перемещению нулевой длины, и а-)-0= а. Определенные таким образом сложение векторов и умножение их на ска. ляры удовлетворяют соотношениям: а + Ь = Ь+ а; а + (Ь+ с) = (а + Ь) -(- с = а -(- 11 -(- с; а (()а) = (а(з) а; (со+ (1) а = ма+ ()а( а (а -(- Ь) = оса + ссЬ( (5АЬН !а=а; ( — 1) ° а= — а; ба=0; а — а=й; а-!..В=а Обобщение векторной алгебры см. пп. 14.Я 1 — 14.У-4.
5.2-2. Разложение векторов по базисным векторам. пз векторов а,, а,, ..., ат линейно независимы, если из В противном случае эти векторы линейно зависимы (см, также пп. 1.9-3 и 14.2-3). Любой вектор а трехмерного векторного пространства может быть разложен по трем линейно независимым векторам ез, ез, ез, т. е. представлен в виде нх линейной комбинации Коэффициенты сс„аз, ав называются координатами вектора а по отношению к базису, определенному базисными векторамн е„ею ез (см, также п. 14.2-4), Если базисная система задана, то векторы а, Ь, ... представляются упорядоченными тройками (а, мз, аз), (()1, ()з, ()з), ...
нх координат; при этом а + Ь и иа представляются соответственно тройками (а + ()1, и, + ()э, аз + 6з) и (амы аав, паз). Ооотяошгыия между векторами могут быть гырожгяь( через аюлгггтствующиг системы соотношений между их коордиитпами. Векторы, принадлежащие двумерному вектормому пространству (например, плоские перемещения), представляются подобным образом упорядоченвыми парами координат. для рззложэвп» векторов, опрэдэлэппмх в дзппай точке пространства (и.
5.4-11, обычло выбпрзют базис, связанный с используемой «оордэпзтпай спстэмой. В гл б спэкквлыю рзсамзтрпзвэтсз рьзлозкэлле векторов по вэкгорзм лакэльвого бззэоз, пзпрзвлекэым по координатным лпкпэм крпволкпэйвой спстемы кооррппзт в каждой точке в перпендикулярна к эвм; вэллчпкы и пэпрзвлэкпя вектопоэ локального бэзпсз, вообще говоря, рззлпчпы в рвзлвчэых точках формулы преобразования «оорлвпзт вектора, зэдэккых в различных базисах, дзлы в табл. 5.3-1 н в и, !4.5-1. 5.2-3.
Декартовы прямоугольные ноординаты вектора. Если в прострзнствг задана правая прямоугольная система декартовых координа~ (п. 3.1-4), то единичные векторы (п. 5.2-5) 1, ), й осей Ох, Оу и Ов соответственно образуют удобную систему базисных векторов. Координаты азь в„, а, вектора а = ол( + аи) + игй (5,2-3) называются декартовымн прямоугольнымн козрдинатамн вектора а. Заметим, что эгв каардппзтм (и. 5.2-51 лвлэюток проэкпэямп вектора зг каорлвпзгы и. 1. п 1, в ° и любого оданиэаооо вэктарз и вэлэютсл аго пзпрзэляющпмп коалпусэмк (и, 3.!Ък(. 5.2-4. Вакторы к физические рзэмвриостп.
Векторы можпо умножать пе толька эз бэзразмерпыэ скэляры (пзпрвмэр, постоянный вектор скаростк умножают пь интервал вРемени, стобы получить вектор пэрэмэщеппк1 Боли физзоыолаяоолиэила еожь эолжор (2) о ло или (3), то ое фиэооеслго розмгроогть челесооблазло приписать «оординажам вектора, ло базиолыв оекторал прп этом последние рассматриваются кзк бэзрззмэрпыь величппм к могут быть пспользовэкы в кзчэсгвэ общей бэзпспой спатемы длз рзэлпчпых классов вектоРов, кмеющвх рззлпчпыа фэзпчэакяе размерности (ньпрвмэр, пэрэмощэппп, скороетп, силы и т, пи см тэкжэ и, 15,1-41. 6.Е З.
Б.Е. ВРКТОРНАЯ АЛГЕБРА 165 ГЛ. 6, ВЕКТОРНЫП АНАЛИЗ 164 Твблнив с)з Свойства векторного произведения Т в б л и ц в 5.2-1 Свойства скалярного произведения вЬ у в'Ь' ' -3); (5,2-8) -]- 2 (а ° Ь) (Ь ° сМс ° а) = а.д аде ай! Ь ° 8 Ь ° е Ь 1 с ° й сне с ° 1 [аЬс( [де![ = (5.2-9) 71 ая [)х у, [е, е,ез], с(в Вз Тз [аЬс] = (5.2-10) (5.2-6) ]аХЬ]=]а] ] Ь] мну х' с.с ор Ьр с) а, Ье с, () О, если векторы а, Ь, е образуют правую тройку), [айс] = (5. 2-11) 5.2-5. Мод ль (норма, абсолютная величина, длина) вектора. Модуль ( а ] вектора а в евклидовом пространстве есть с р, р и одуль норм , каля, п опоппиональный длине перемещения, соответствующего вектору а (и.. -; р . 5.1-1; абст актное определенче см.
пп.. - и 14.2-5 и 14.2-7), Модуль вектора удовлетворяет соотношениям !.1-4). Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом. (Попарно перпендикулярные) базисные векторы 1, ], К (п. 5.2-3) являются единичными, так что ,а[миф ахх+оо+ х. 5 2-8. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов.
Скалярное произведение а Ь [другое обозначение (а, Ь)] двух векторов а и Ь сеть скаляр а.Ь= ]а( )Ь]сову, (5,2-5) где 7 — угол между векторами а и Ь (абстрактное определение см. пп. 14.2-6 и 14.2-7). Е и Ь вЂ” физические величины,то физическая размерность скалярного произведения а Ь должна быть указана (см. также п. 5. - ). слиаи — и . 5.2-4). В табл. 5.2-1 приведены основные соотвошения для скалярного произведения. Два нвнулввйх вектора а и Ь взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда 5.2-7. Векторное произведение двух векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
