Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Сходимость ряда сравнения может быть исследована с помощью признаков п. 4.9-1, Ь. (с) Пусть аь, а), а„...— нееозрастшощоя последовшпельмость положитель- ных кисел. Ряд аь аь (х)+а, а, (х)-[-ае аэ (х)-[-... Разномерно сходится на ммо- жеспые В значений х: !. Если ряд аь (х)+а,(х)+ае (х)-[-... равномерно сходится на 5 (признак Абеля, см. также п. 4.9-1, 6). 2.
Если Иш а„=О и существует такое кисло А, шпо М СО ~'~ аь (х) <А при всех и и при всех х ш 5 (признак Дирихле). а=-О 44 Признаки Абеля н Дирихле часто полезно применять и в более обшей форме, рассматривая вместо последовательности аь, а1, ... последовательность функций. См., например, [4.2[, т. Н, стр. 451. м 4.9-3. Прнзнаки сходимости несобственных интегралов (см. такясе п.
4.6-2). В пп. 4 9-3 и 4.9.4 приводятся признаки сходииости несобственных интегрз+ СО Ь Х лов вида ) ((х) йх и ) Г'(х) йх= (нп ) Г(х) йх. Несобственные иитг- Ь вЂ” О а а тралы других типов сводятся к интегралам этого вида (и.
4.6-4). Предполагаетея, что действительная функция ) (х) ограничена и иитегри- руема иа каждом ограинчениам интервале !а, Х[, не содержащем верхний пре- дел интеграла. (а) Необходимое и достаточное условие сходи мости (к р и те р и й Коши).
Песобс!пгенный интеграл ] 1(х) йх сходится в том и а только е том случае, если для каждого пом)жительмого числа в сущеспмует [Х, такое число М >а, кто из Хэ>Х)) М следует ~ ) 1'(х) йх (з. 1 Ь Аналогично имтегрил [ !' (х) йх сходится е том и люлько в том случж, если для каждого положительного кисла е сущестмует такое кисло Ь (О (6 (Ь вЂ” а), Х, кто из Ь вЂ” 6 (Хг (Хе < Ь следует ~ [(х) йх <в. [Х, (Ь) Признаки сходнмости несобственных интегралов от иеотрицател ьиых функций (эти признаки полезеы н как приз- наки абсолютной сходипкти несобстеемных имтееролое от проиэзольиь!х дей- ствительных илн комплексных функций; заметим, что нз абсолютной сходимости следует схсдимость), Если функция !' (х) ее О в интервале интегрирования, то + С Ь Х несобственный интеграл ) [(х) с!х ила [Г (х) йх= 1пп ) Г (х) йх сходится а а Х Ь вЂ” О Х в том и только в том случае, если интгграл ) Г(х) йх кю» функция от Х а ограничен е интервале интегрирования.
В частности, если интереаг интегри. розалия содержит такое число М, что при х) М (соответствеино при М ( < х(Ь) выполняется неравенство Г(х) (у(х), где д(х)-функция сравнения. -!. СО / Ь для которой сходится интеграл ] й(х) йх [ нли соответственно ) й (х)йх~, М М то переонасальмый интеграл сходится ( и р и з н а к с р а в н е н и я). + СО Ь Апалогвчпо, есле Е (х) ) О и интеграл [ г !х) гс «лн ) г !х) Лх расходвтся, то М М вз ) )х! ) я (х) следует, что расколется в соответствующая интеграл От ! !х). + СО лх з а мечен не.
интеграл ~ —, где е) О, сходится пре А)! е расходится «А ' а Ь ах ерв А <1, ь внтегрел ( сходится ьрн А<1 я расходится арн А: 1. Еслк ) (Ь вЂ” к)А а Ь ) !Ю О ()ссх ) (А) 1) прв х +со, то евтеграл ) 1!х) Лх сходится абсолютно Вслн А а Ь ! (к) о [!! !ь — к)А! !А < !) прп х ь — О, то вегсгрел [ 1 (х) сх скьдвтся абсолютно !си также и. 4.4-2). + СО Ь (с) Если меа)бствеммый интеграл ) Г' (х) йх или ) ) (х) йх сходится абсоа а лютно, а а(х) — фумкция, ограниченная ма интервале интегрирования и интегрируемая на каждом конечном интервале [а, Х), не ссдержащем верхмего яре+ СО дела интеграла, )но несобственный интеграл ) а (х) ) (х) йх или сооп)ветста Ь генно ] а (х) Г(х) йх сходится (абсолютно) и (й) Пусть функция а(х] ограничении монотонно на импыреиле о - х(+аз. -1- СО Несобственный интеграл ) а(х) !'(х) йх сходшлся; и 4.10.
стененн!»1е Ряды и Ряд теилорд 142 ГЛ. 4. ЕИФФЕРЕНИИАЛЬНОЕ И ИитЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ адик. 4.1»-л. + з» 1. Если интеграл ) ! (х) йх сходится (аналог признака Абеля, о и. 4.9-1, б) или х 2. Если интеграл 1 ! (х) йх как функция от Х ограничен на 'а интервале а (Х (+аз и !)т а(х) =0 (аналог признака Дирихле, х +со п. 4.9-1, б). (е) Б п. 8.2-4 см. ряд приложений. 4.0-4.
П ивнаки равномерной сходимостн несобственных интегралов р (см. также п. 4.6-2, с). (а) Необходимое и достаточное условие равномерной с ходи мости. Критерий сходимости Коши нз п. 4.9-3, а превращаетсл в критерий равномерной сходимости несобственного интеграла 1 ) (х, у) йх и ь или ~! (х,у) йх на множеслме 5 значений у, если дополнительно указать, юпэ а число М или б, находимог по этому критерию при каждом у(е 5 д.тя любого положшпельного числа в. не завиаап от у (см.
также п. 4.9-2, а). +" ь (Ь) Несобственный интеграл ~ ! (х, у) йх или 1!'(х, у) йх равномерно и а а абсэлютно сходшпся на каждом множеспме 5 значений у таком, что при любом у я 5 и любом х из интервала ингпегрирования выполняется неравенсо»во () (х, у)1(д(х), где у(х) — функция сравнения, интеграл от которэл ь о ) у х у(х) йх (нлн соответственно ) у(х) йх) сходится (аналог признака Вейеро иил асса н. 4.9-2 Ь . р ) .(- со (с) Нетбственный интеграл ) а (х, у) ) (х, у) йх равномерно сходитсл а на множестве 5 значений у, если при любом у си 5 функцич а(х, у) нв возраопагт на интервале а(х(+ею и равномерно стремшпся на 5 к нулю )х ° г ею ° ° - (11!.. »1».~ г' ничена константой А, нв зависящей ни огп х, ни от у (аналог признака Дирихле, п. 4.9.2, с). 4.10. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКПИЙ В БЕСКОИЕЧНЫЙ РЯД И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИХ ИНТЕГРАЛОМ.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЪ| И РЯД ТЕЙЛОРА 4.10-1. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом. алом. Функцию )(х) часто разлагают в соответствующий бесконечный ряд и» (р» (х) ввиду того, что 4=9 1, Последовательность частичных сумм (пли средних арифметических, пп. 4.8-6, с и 4.11-7) этого ряда может давать полезные для вычислений приближения функции ) (х), 2.
Операции над функцией ) (х) может оказаться возможным описзть в терминах более простых операций над функциями гул (х) или над коэффициентами а» (методы поеобразований си. также пп. 4.11-6, Ь и 8.6-6). Функция 1р» (х) и коэффициенты аа могут иметь какои-либо наглядный (физический) смысл (п. 4.11-4, Ь). »'алгзт давать предстззлезна 4»у»кида ь зз»обстзеззого) азтегрзла (а (2) 12 (л, д) дх (гм.
также пп. 4.!1.4, с, 4.11.5, с з гл.в). о Возчож» ость реал»кацап одного»лз обоих препмущестз, паре»пеле»пыл зы»зе, часто зуждактсз з гзодзмостз злз »»е рззпамерпоа сзадзмастз ряда злз затзграла (отсюда — зажпзсть прзззазаз сладзлюгтз мз пп. 4.9.1 — 4.9-4), мо зто ат»асмгсз зе »а атем случаям (пп. 4,8-8, 4.11.5 и 4.11.7). 4.10-2. Стеиеннйе ряды. (а) Степенной ряд относительно (девствительного или компяексного) пере.
и(иного х есть ряд вида ла О» ~ а»(х — а)» или а +а,х+азхз+...ы ~ а»х" при а=О, (4.10-1) »= О »=О где коэффициенты аз, ад, аг, ...— действительные или комплексные числа. Д.ая лгобого степенного ряда (1) суи(ествует такое дейс(пеительное число гг(и~ге~+ос), что зп»от РЯд сходитса абсолютно пРи !х((гс и РасходитсЯ гги , 'х ') гт Число г, называется радиусом сходнмостн данного степенного р»да. Каково бы ни было число О, удтлетворяющее условию 0( д( г„степечг ьй ряд (1) равномерно сходиптся при ', х ! (д (на интервале, если х — действнтгльнос переменное, и в круге, если х — комплексное переменное).
Из скадпма ти стаж»кого рлдп (1) ари х=х, вытекает гла гхздзмаг ы и зри (л' ( л, ч а иэ ггз рзслздимзг пи при х=лл змтзкает егз расход»магам а при,х!) хз!. (Ь) Сходящиеся степенные ряды можно складывагпь в соответствии с ракенстзом (4.8-2) и перемножать в соответствии с пракилом Коши (4.8-4). )Ури , х, ( г, сумма степенного рпда (1) ещпь непрерывнач и сколько угодно раз дифференцирусл1ая функция х. Степенной ряд (1) можно почленно дифферснцирогапгь при (х, '( г, и интггрироварт на любои замкнутом интгрвазе, содержап»смея в илппервале ( — г„г,). Лолу»!ающиеся в разу»(ьтате почленного дифр»(- Гении резания или почленного инпыгрироеания от 0 до х ряды имело(п толп»се рада»с сходилюсти г,. Неко)орые правила действий со степенными рядами приведены в табл.
4.10-!. (с) Если существует такое положшпельное число г, что при всех х, узок. лгтеоряющих условию ! х ! ( г, два степеннйх ряда ~ а»ха и ~ Ь»л" ил1гют одн »=-О»=О о ну и гпу же сумму ! (х), то оз — — Ьз, ал=Ь(, а,=Ьз, ... (теорема сдинсн» зенносп(и). и р и л» е р. Бгг»»азлк»аз ггзмт»ричлгкпа прогрессия аз+ о л -1- а .т' -1- „, = — о ~~ » —, 1 1 — х »=О (4.1»-2) кжз пп. 1 2-7 з 1,7-2) сладил~ем збсзлютке при ! х , '(! и ртладитга при 1л ! " 1. (см, такж Да" аюбага е, удозлетзарзющего условию О ( е ( 1, прагрессза разаамерпа сход»тгз 4.10-4. 145 ай к й=О н 1 + 1 1 г ч (с + с 1 + 1 + + с д + + 1 1 1 1 с й н + 1 ч з н ч + + и ь + + .ч + 1 'И 522» з и +++ Ц~ и ч + + -1- м ч ч и г +++ пл 1 й и + 1 н н ь г с г( + |з + 1 й ч + и + 3 ! 3" г 1 ч н г м 144 Гл 4, дилюеренцидльное и интеГРАльное исчисление ж!е-2.
4.10. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И РЯД ТГЛЛОРА 4.10-3. 44 Теепемы Абеля н Таубер». (з Пуст~ г >О. Еслн рлд ~'„а г скедитсл и лмеел!гумну з; те ряд й й й=-О сп е члнкнутем н«л греем [О, г] схедитсл раекемснке и !нп к г — 0 й — О (тырс л Лбглч), (Ы Греть г > О, Есле Рлд 2ы а к скедлтсч з интеРвале [О, г), пРичем Г й й=о се сз ч й . й (т ~ю айх =з н Пт йа г О, те рлд й л г скеднтсл и еее сумма й 0 Ге=О й ронне з (тгеремл Тллбгрл1.
3 ем е ч з н н е. Особый интерес предстзелнет случзв г = г, с. 4.10-4. Ряд Тейлора (см. также п. 7.5ыц), (а) Пусть Г'(х) — дейспжителькая функции, имеюи(ая е интервале а < х< Ь п-(о производную ('л' (к). То~да ( (к) = ( (а) +)'(а) (х — а) + ;,; (" (а) (к — а)з+ ... + ! ,, )'н " (а) (х — а)" ' -1- (кл (х) (а:.- к < Ь), (4. 10-3) где ')тл (к) ' ( ', ' ООР !)т' ($) ! (фоРмУла Тейлора). )( (л) назыаастсн а<4 л остаточным членом формулы Тейлора. Более точно, существует такое число Х =а+В (л — а), юпо а < Х < к (иди 0<В<1) и к П.(.) =) й:-) йд "3(" (5) й";=„-',)т (Х)(.— )" а (Г)сгг!ато(ный член формулм Тейлора в форме Лагранжа).
Х и В зависят от а, х и и (см. танже и. 4.7-1). Формулы (3) и (4) остаются справедливыми и 'сдп функции Г(х) имеет п-ю производную а интервале — Ь <к<а, причем здесь Ь<х<Х<а. (Ь) Пуппь функция )(к) имесл! е инп!сркаче (а — г, а-)-г) все производные и преть длн нес е лпом инп!еРвалс !!ю )(л(х)=0. Тогда и сс ((х)= ~ —,)»'(а)(к — а)й, )х — а,'<г м~ (4.10-5) й=о а рнд раедпмсрно сходится к ((х) на любом промежутке , 'х — а ) < д, где д< г (раэлотчекие функции !'(к) в ряд тейлора е окрьмтнасти точки а). здесь по Определению положено 01 =! и /'ч'(а)=) (а). Гслн з (Ю вместе а нзннсзть х, з вместо к — а нзпнсзть Ак, те сосунов~ение (01 «ежнс псрепнсзть в виде Г (к.!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
