Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Векторное произведение а Х Ь (другое обозначение [а, Ь]) двух векторов а н Ь есть вектор, модуль которого равев его направление перпендикулярно к обоим векторам а и Ь и совпадает с напле поступательного движения правого винта при его повороте от а к Ь иа угол, меньший и. два вектора линейно зависимы (п. 5.2-2) пкида и толька тогда, когда их векторное произведение равно нулю. В табл.
5.2-2 приведены основные соотношения для векторного произведения. Более общее определе. ние векторного проязведения см. п. 16,8-4; в пп. 3.1-10 и 17.3-3 даны представления площади области как вектора. (в) Осиевиыс совтнсюснив: вхЬ= — Ьхв; вх(Ь+с)=вхЬ+вхс; (нв)хь — "-а(вхьн в К в = О; в ° (в Х Ь) Ь . (в Х Ю О (М Вырвменис в любом базисе с„сх, са в = ахс, + ахсх -(- нхса Ь бхсх + Бхсх .(- Б,ех, с,хс, а, вхЬ с,хс, о, Р, сх Х сх аз 8 (с) Вырвмснис в прямоугольных декартовых вевряннвтвхх (х1=)х1=нхв а, (х)=ь, )хь=1, ьх1=8 = (и Ь вЂ” в Ь ) 1-(- (н Š— а Ь ) 1-(- (в ь — а Ь ) Ь 5.2-8.
Смешанное (векторно-скалярное) произведение. а ° (Ь Х с) нш [айс] [Ьса] = [саЬ] = — [Ьас] = — [сЬа) = — [асЬ], (5.2-?) [аЬс]з = На Х Ы (Ь Х с) (с Х а)] = азйтсз — аз (Ь ° с)' — Ь" (с ° а)' — сх (а ° Ь)з -1- а ° а а ° Ь аеас (определитель Грана, см. п. 14.2-6), с ° а с ° Ь с с В любом базисе ег, ез, ев (п.
5.2-2, см. Также пп, 5.2-3 и 6.3 4) В правой системе декартовых прямоугольных коордииав ]бб ГЛ. 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 5.2-9. Другие произведении, содермащме более двух аехтороа. Ь с ах<ьхс>-ь(а с)-с(а.Ы=~ (д«ейное «с»тарасе проиае дени«>, а ° с Ь ° с) (а х Ы (с х д) = (а с) (Ь д) — (а . 6) (Ь с) =~ (а Х Ых = а«Ьх — (а Ых, (а х Ь] х (с х Ы 1асд] Ь вЂ” !Ьсд] а = !азд] с — (аЬс] д 5,2.15, Раваомение вектора а по направлению единичного вектора а и еыу а = и (а ° и) + аХ(в Хи) (5. 2-12) (5.2-13) (5.2-14) (5,2.15] перпсн- (5.2-15) уравнений (!аЬс] т- 0) ° к ° а=р, Р 1 х а — + (охЫ вЂ”,1 хха Ь, :) ах а х ° а р.< р (ьхс)+ е (сха) + г <ахЫ, х ° с= г, а» -$- Ьр+ с» + д О. !дЬс] (айс] в )аЬ51 (ьхс>х+ (сха) у+ (ахь) в+ д о.
д ° а д ь д !вьс]1 ' (аьс)1 $''1' 5.2.11. Решение (а) <5Л->Л (Ь) <545151 (с) (5.2. Щ) <д) <5.2-20) 5.3. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКНИИ СКАЛЯРНОГО АРГУАТЕНТА 5.3-1. Векторные функции и нх пределы. Векторвая функция ч=ч(1) скалярного аргумента 1 ставит в соответствие каждому значени!о аргумента 1 нз области определения (см. также п, 4.2-!) одно (охнозначная функция) или несколько (миогозначная функция) «значенийв вектора ч, В прямоугольных декартовых координатах у=у (!)= „(!) 1+бр (1) )+ох (!) й (5.3-1) Вектор-функция ч(!) ограничена, если ограничен ее модуль,'у(1)!.
Оиа имеет предел ч,= Ип> Ч(1), если для каждого положительного числа е суц(е- 1- 1, ствует такое число 5, что из О С ) ! — !1 ((5 следует )ч(!) — ч( ~ < е (см. также пп. 4Л-1 и 12.5-3). Если Ищ ч(1) существует, то 1 1, Ип>ч(!]=1 1пп о„(!)+) Ип> ор(!)+й И>п ох(!).
(5.32) 1 1, 1 ! 1 1, 1 1, Предел суммы векторов, скалярного и векторного произведений находится по формулам, аналогичным формулам и. 4.4-2. Вектор функция ч (!) непрерывна при (=!н если Ищ ч (!) =у (! ) (см. также пп. 4.4-б и !2.5-3). 5.3-2. Дифференцирование. Векторная функция ч(!) диффереицируема при данном значении 1, если существует конечная производная (см.
также п. 4.5-1): йч р>, ч П+ АΠ— <1> (5.3-3) й< 6(-о ж Если произноднаи дач/д]з от дч]4]4 существует, она называется второй производной от ч(1), н т. д, Табл. 5.3.1 содержит основные правила диффе- ренцирования. 53 ВГКТОРНЫЕ ФУНКННИ СКАЛЯРНОГО АРГУМГНТА 157 5.З-З. Т а б л н ц а 5.3.1 Дифференцирование вехторной функции скалярного аргумента (а> Основные пртнаа4 йч ич щ щ ж ж — — !ч (1> .!. м (1)] = — — .!.
—: — — !а ч (б] = а —.— (а = солт(и й й>, йт й 4>ч ам —;,!!П>ч(1>]= — -ч(1)+!(1>" —; -Г!4 (1>.н(<И= — —.п-,-ч.---) пф лй ' Л 1\ (Л Х м((И вЂ” х мй-ч х —,' — — ч (!(1>]= — —— 1ч ,11 11 й йу — (ч (1> в (1> и (!Н = 1-й-- мм $ + $ ч — и) + (чм — -~, (Ы В примоугохьн~лх декартовых координатах и (1> ао р> а., <1> йо,<1) — '+ — 1+ щ щ И а! <с> Если бахисиые век оРы е (1>, ее (1). е (1) — Фтнхцин от! н ч (1> =а (О ег (Л+ -4- ае (1> е, (1> + а, (Л с, (О, то щ ' и 'йу]' д е р ю правлен (по прввтлу правого винта) вдохе оси вокруг катар $ по о хиваетсн вектор ч (1>, и имеет данну, равную рг«осой «хоро«оси поворота ««»топи ч(1) по отношению к 1, (Н р в м е р; вектор рево«ай Ргорости в физике; см также п, 1!.2.3), н формуле (4> первое слагаеь]ое характеризует изменение данны вектора ч (1), а атаров сл«гвемое — изменение его направлении, если !ч (О(=сонм, гпо «схитри ч(1> и йт>й< и Рпеийикуаарнм.
5.3-3. Интегрирование и обыкновенные дифференциальные уравнении. Неоир аевенпый интеграа у (1) = ! ч (1) щ от векторной функции ч (1> определяется как решение векторного дифференциального ураваенна (см, также п. 9.1.1и Ч(1> =ч (1), (5.3.5) ам ннтв система'1 ДнффезевЦнальиых УРаваениа даа у (1). другие обыкаовенвые дифференциальные уравненин, содержащие производные от аекторноа функции скввариого аргумента, трактуютса аодобнмм же образом, Определенный интеграл Ь и ]'ч(1) щ= пщ 2, (т) (11-1! !), а 1=1 где (5,34> а 1 С< С<<С...С<„Ь 1„! ~ т< ~ 111 6 = шах $1,. — 1 (см.
также п, 4,5-1>, может быть выражен через координаты Ь Ь Ь Ь )ч(1)а< 1) с К)а<+1) е (1)а<+и) о (1)йн а а а а (5Л]т> Аналогичные правила применимы к вычислению частныхииоамадны» дч>д(1, дч(д!х, ... векторной функции ч=ч(11, 1ю ...) ог двух или более скалярных аргументов 1„14..., 3 а и е ха н н е, Е«аи ч" (!> — орт вектора ч (1Р (1> $4'(Л >ч'Р>. то дч« ау й $ ч> йч' й>ч( — = ю хч«а — = — чх + 1 ч $ — = — ти + ю к ч, дй П Щ Щ (5,3-4> 64 СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 6.4.6, 6.4-1.
>Л, Б. ВЕКТОРН?з<И АНАЛИЗ 5.4. СКАЛЯРНЫЕ К ВЕК!ОРКЫЕ КОЛЯ БА-1. Вводные замечания. Конец этой главы посвящен скалярным и еект рным ф нхциям точки о едклидоеом пространстве. Если не оговорено проо у я тинное, скалярные и векторные функции предполагаются одно>начным, нпрерыаными и дифференцируемыми достаточное число раз. Соотношения между скалярными я векторными фуикчнямн устанавливаются: 1) в ннвариантной форме (независимо от системы координат) н 2) в координатной форме по отношению к правой прямоугольной декартовой системе координат (п. 5.2-3), так что') Г (Г) Ы Г (Х, у, г) Ещ рх (Х, у, г) (+ру (Х, у, г> )+1 з (Х, у, г) 1<.
(54-1> Соотношения в пп. 5,4-2 — 5.7-3 не зависят от выбора системы координат в пространстве Запись векторных соотношений в локальных базисах систем криволинейных координат рассматривается в гл. 6. 5.4-2. Скалярные поля. Скалярное поле есть скалярнан функции точки Ф(г) ажФ (х, у, г) вместе с областью ее определения. Поверхности Ф (г) еи Ф (х, у, г) = сопя( (5.4-2) (и. 3.1-14) называются поверхностями уровня поля; они позволяют предста. вить поле геометрически. 5.4-3. Векторные пола. Векторное поле есть векторная функция точки Г (г)= Г (х, у, г) вместе с областью ее определения.
Векторные линии (линии тена) в каждой точке (г) имеют направление вектора поля Г (г) н определяются дифференциальными уравнениями (5.4-3> »гхГ(г)=0 или д ( > р <, у Векторное поле Г (г) может быть представлено геометрически своими векторнымн линиями, относительная плотность которых в каждой точке (г) пропорциональна модулю ! Г(г)). 5.4-4. Векторный элемент линни и длина дуги (см. также п. 4.6-9). (а) Векторный элемент линии (дифференциал радиуса-вектора) »г вдоль кривой С, описываемой уравнениями ( х=х(<), г г(1) илн у у(1), (5.4-4) г=г(!), определяется в каждой точке (г)ы(х(!), у(!), 6(!)) формулой »г=»х>+»у)+»г1< ( —,1+37У)+ — й)»! —,< >»й (5 4 5) Вектор»г направлен по касательной к кривой С в каждой регулярной точке (см. также п.
17.2-2). (Ь) Длина дуги з спрямляемой кривой (4) (п. 4.6.9) выражается формулой з= ~»з, < ~ъть~сь я'- »< = )»'».=~7'ГЙ»1 (5.4-6) егулярцой точке (г) =(х()' " в н~" > сюду в гл. гл. Б н б ннденсы В обовввЧениих Р, 1', У .... и Укязызяюг НЯ д ф- х у л фярянцнроеенне оо х, у, 3, ... 169 <З 4-6> о интеграла зависши Значение скалярного или векторного криволинейное п.
5.7-!. от пути интеериронииич С, если только не выполнены еаециальныг условия Примснеяие криволинейных координат см. пп. 6.2-3 н 6,4-3. !ясеня (7, (З, (9 3 з м я я з н н с. Чясто сказывается оояезным в качестве нового параметра в вира. 1, 1, > «вести длину дуги з с немощью формулы (б> 5.4-6. Поверхностные интегралы (см. также ип.
4.6-12 и 17.3-3,с). (а) В каждой регулярной точке двусторонней поверхности, за ан ураввением г=г <и, о' 'п 3.1- 4, , -1 ), можно определить венторимй элемент по. и, заданной верхности (вектор площадки) /дг дг »5 =( — Х вЂ” ) Ф<»о= ='(('— — — — — ) ' (---й — —. —.)' ' ( —.".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
