Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 34
Текст из файла (страница 34)
д.). (с) И з и е р и мы е фу н к и и и. Функция [(х), определенная на интервале [а, Ь) '), измерима па [а, Ь], если для каждого действительного числа с множество точек х интервала [а, Ь], в которых [(х) <с, измеримо. В этом еиредеиеввя усиееяе ((х> <с можно замеявть любым ва уеиавий ((х><с, ((х> е«ь е, ((л> « е. ирерэ~аиия ии [и Ь) измерили ии [и 61 иии ! (х>, (э (х>..., ~ие ии [и, Ь) измеримы и Фииииии ( <х>-,'-(э <х>, ай <и>, (, (х>(, („> а также и >Нв ! (х>, если зтет иребел ии [а, Ь) ертеетерет (и даже еелй этот креи се Зел еитеетерет ии (а, 61 лить почти ееюдю.
Аяаиегячаые определения я тееремы справедливы я дия взмервмык фувкпяй ! (х, х, „., к„), епредеиееяык яа ирестравстве тачек (к, х, ...,х ), допускающем апредеиеияе меры Лепета. 4.6-15. Интеграл Лебега (см. также пп. 4.6-1 и 4.6-2). (а) Интеграл Лебега от ограниченной функции. Пусть действительная функция у=[(х) измерима и ограничена на ограниченном интервале [а, Ь] и А и  — соответстиенио ее нижняя и верхняя точные границы, Разобьем интервал [А, В], содержащий множество значений функции [ (х) на [а, Ь], иа и частей: А=уз<у <уа«...
у„=В, (4.6-38) и обозначим через 5! множество точек х интервала [а, Ь], в которых у, ! < <[ (х) <уь Составим две суммы (интегральные суммы Лвбега): у! т [Ь(]. э=! э=! Обе интегральные суммы стремятся к одному и тому эег пределу, не зависли(вму от выбора значений уь если талы!о наибольшая из разностей у; — у! ! стремится к нулю.
Число и Ь У= Ищ ~~ Лу(т [5(]=~[(х) с(х так (р( — р! ) о; а есть определенный митеграл от функции [(х) по интервалу [а, Ь] в смысле Лебега (митеграл Лебега). Это определение означает, что, каково бы ни было положительное число е, можно указать такое число Ь > О, что при любом разбиении интервала [А, В1 на части такие, что п>ах (у; — у! !) < Ь, будут справедливы неравенства ! и и ч, у,, [В([ <з и ~[ — Х у(т[В([ < ' (=! (=! а значит, и неравенство ! и 1 — ~~, т<(т[В(] <в, (=! э> Фуяккяя ! <х> может быть определена ва [и, 61 пе всюду, в ивть почта всюду.
где у;,(э><~у, интеграл Лебега можно определить и как предел суммы и Х' ° ~ (Ь) Интеграл Лебега от неограниченной функции. Если функция ] (х) измерима и ие ограничена на ограниченном интервале [а, Ь], то интеграл Лебега определяется как Ь Ь Ь ~ [ (х) е(х = 1нп ) [ (х) е(х + !'пп ] [В (х) дх, и '< 4 "за  — еи и где если если если (4.6-40) если если если Если для всех Х >а существует +. [,(х) ![х определяется условием и +и х, х„ [(х) ((х= Игп ] [! (х)+ 1пп ) ]э (х) <(х, а Х, +еи а Хэ -<-еэ и где О, если ](х) <О, [ (х), < ели [ (х) > О, О, если [(х)«0, [(х), если ](х) <О.
[! (х) = ]з (х) = (4.6-41) Ь + ез Интеграл ) [(х)е(х определяется аналогично, а интеграл ] [(х) дх — равен. стзом (4) на стр, 116. (б> Р>итеграи Лебега ие течечиему мяежеетву. Кратяые в и т е г р з и ы Л еб е г а. Няееграи Лебега [ ! (и> Лх пе ирииэвельвему измеримому 5 ешежеетву точек Б еередеияетея беэ кэмевеяяя так же, как я в ии. 4.6->6, а е Ь. Краевый имтеграл Лебега пе области яяя яэчеримему мяежеетву точек (л, х, ..., к„) еиредеияется аналогично. (е) Существо за н не и свой ств а интеграла Ле бег а.
Сра в- пение интеграла Лебега и интеграла Римана, л(аждая О, (х) = [(х), А, О, ]В (х) = ](х) В, Ь Если интеграл ~ ] (х) с(х существует, (суммируема) на митервале [а, Ь]. (с) Интеграл Лебега по ](х) ~ О, О <](х) ~А, [(х) > А; [(х) «О, 0 >[(х)«В, [(х) < В. то функция [(х) иитегрируема по Лебегу не о г р а н и ч е н н ы м и н те р в а л а м. К интеграл ] [(х) дх, то интеграл Лебега а 4.6. ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 4.
6-17. 126 Гл, 4 дифферен!В(АлънОЕ и интегрАльнОВ исчислениВ 4.6-16. Ь инпыграгу [ з (х) йх. с (Ь> Следующая более общая теорема формулируется специально лля интеграла Лебега: усгпз с, (с>, с, (ю, з, (х)... и нсе~прииотельная фулкчия сраенгнпя А (с> сумясрусмы Ча иалсрслсл Мясжгетгс 5, Я ПУСТЬ ! Зя (Х) ) <А (Х> Лси ЗСЕХ П и Пли Летти ВСЕХ Я 6 5 и. 4.6-14, Ь> Тогда Яз того, что Ит зп (х) =-з (х> дхЯ ле'или асех х Е 5, сгедрегл, «то (и.
4.- л со ллсдгл пт ) зл (х) йх сьщестсиет и Ржсн) з (х> йх (тседгла сходичытв 7сбггс; см, п- соэ 5 также и. 4.8-4, Ы 4.6-17. Интеграл Стнлтьсса. (а) И н т е г р ал Р и и а н а — С т и лт ь е с 8. Интеграл Римана — Стнлтьесэ от функции 1(х) с интегрирующей функцией а(х) по ограниченному иятерсалу [а, Ь) по определению есть Ь т 1 (х) йа (х) = ]пп ~г 1 (4!) [а (х;) — а (х! () ) (4.6-43) а тах (х! — х! !) 0! где а=хо (х, (хв « ... хт=Ь с> Отыетнм, что функция й ' 1' / (х) = — (хз з>п —,1 = 2х з>п — — — сов —, их ( х*1 х' х х' 1), несмотря на то, что яесобстненный интеграл Рямана 1 йх= Нгп ) /(х) !х=юп! Х +Ох ае суммяруема на ннтервал» (О ! ) / (х) 0 существует.
и синая измеримая функция яа любом ограниченном измерил!ом мнолсеспше ограничен Я, с мми сма суммпругма, Функция, сумпируемая яа измеримом множестле Я, у ру и на каждом иэмеримом его подмножестве. Иэ определений пп. 4.6.!5 а, Ь, с и б следует, что интеграл Лебега ~ 1(х) йх сущестеует е том и только в том случае, если существует интеграл 5 Лсбега ~)1(х) ! йх. Если любой собственный или несобственный, простой или кршпяый интеграл Римана сушрспмует е смысж абсолютной сходимостм (п. 4.6 2, а) !), лю соотве!пспюующий ия!пеграл Лебега сущгсп!зует и равен пяпияра,ту Риманш Тсорсвь! иэ табл.
4.6-1 и пп. 4.6-5 и 4.7-1, с, б справедливы и длл интеграла Лебсга. д х яе«н ге илп счетного мнсжсстзо пепсрнс яепглссгхающихся изясДгя «аж его кале«нс римых зтежеста эь 5,, /(х> йх )/(х>йх+ ) /(х) ух+ ..., (4.6-!2> 5~(]5 ()- 54 5з ыги ттыгпасы сущытзуют. интеграл Лсбсга пе любому множеству (лсбггтсй) меры и ль ссзт нулю. 3 ..
Лебеговское янтегрнрозанне применимо к более общему классу Замечание. е г ункцкй, чем рямановское ннтегрярованне, н упрыцает формулнровкн многнх сор тс ем. казанные в термняах ввтегралв Лсбегз, непосредственно прямеянми к абсолютно сходящимся несобственным интегралам Рамена (см. также пп. 4.6-16 н 4.8-4, Ь>. 4.Б->6. теоремы о сзоднмостм (теоремы о непрерывностн; см.
также и. 12.5-1). (а> есле йсслгдссаюгльнест~ фунхиой зс (х>. зс (х), зс (х)..., каждая из которых сгракйтсиа и ия с Р р ятсгпчрусип е смысле Римана ла сгрснччсннзл кнтграагг [а, ьй разно. Ь З~ЕРНС Схгдгтгя Но (а, Ь] К ФУНКизя З (Х), та Лпсдгг !ПП ) Зп (Ю й» СУЩСЫПЗУСт и РаВЕН я оса д х! (5!(х; (об определении предела см. п. 4.6-1). Если а(х) — функция ограниченной зарииции (п. 4.4-8, Ь), а 1(х) — непрерывная функция иа )а, Ь), то предел (43) существует. Несобственные интегралы Римана — Стилтьеса определяются, как и в п, 4.6-2.
(Ь> И н те г р ал Л ебе га — Стел т не с а. каждая функцня и (х). неубывающая я непрерывная справа (и. 4.4-7, Ы на ограняченном интервале [о. Ь], с помо|цыо соотношений (35), (36) а м [а < х < б] = й (р> — й (а) (4 6.44) где в квадратнык скобках указано множество значений х, определяет меру (меру Лебега— Стнлтьеса) М [5) каждого борелевского множества (й. 4.6.!4, Ы на интервале [а, Ь]. Отметим, что М [а < х < 8] = й (р> — й (а — 0), М [а < х < р] = и (р — 0> — й (а), М [а < х < р] й ((1 — 0) — и (а — О), М [х = а] = й (а) — й (а — 0) (а < а < б < Ь>.
(4.6-45) Отправляясь от ыеры Лебега — Стнлтьесз ограннченных интервалов по способу и. 4.6-14, а вводят меру М (5) Лебега — Стнлтьеса пронзаольного измеримого множества кзк общее зпа~енне внутренней н внешней меры. Есле задана функция у = /(х), ограняченная я нзнеркмая на ентервале [о, Ь), то интеграл лебега — ствлтьеса по [а, ь] от фунчцяя / (х) с ннтегрврующей функцией й (х> по определенны есть Ь т ] /(х>йй(х> = Пш ~ Ч!М [5!) а шах (у! — у( 1) 0 ! — ! (4. 6.46) (с) Свойства интеграла Стилтьеса (си. также табл.
46-1), Если (а, Ь) — ограниченный нлн неограниченный интервал, для которого существуют рассматриваемые интегралы, то Ь а ь с ь ~1 да™ вЂ” Ч йа') ~1йа= ~1 да+ 11 йа, а Ь о а с Ь Ь Ь Ь Ь Ь ] (1!+1т) да =] 11 (/а+] 1т йа. ~ 1 / (аз+аз) = ~ 1 йаг+ ~ 1 (аз, (4 6 48) а а а в а а чь ь ь ] (а1) йаяс ]1й(аа) =а]1 да, а а а Ь Ь )1йа=)а[, — ]ай1 (4.6-50) (4.6-49) Ц Сзс. сноску ва стр, (Ы. рля проязвольного рвзбненн» (38> интервала, содержащего множество значений функцяд /(х); 51 н здесь есть множество значений х, в которых у! > </(х) < у! (об определенна предела см.
и. 4.6-15. а). Интеграл Лсбега — Стялтьеса от ограниченной кля неограниченная функции /(х> по любому измеримому множеству можно теперь определить по способу пп. 4.6->5, Ь, с н д, предполагая, что функция й (х> огранячена на каждом Рассматриваемом ограниченном ьшожсстне. В многомерном случае функция и (х> замевяетс» функцией, яеубываю~с!ей по каждому аргументу. Можно, далее, првмсвяя равенство (48> к сумме двух монотонных Ь функций (и. 4.4-8, Ы, определить интеграл Лебега — Стнлтьеса ) / (х) йй (х> с любой янтег.
а ряру|ощей функцней й (х) ограннчензой варнацнн. ес ю янтеграл Римана — стиятаыа гущытауст а смыст абсехютней схздчлыти, то ссотвстстеующяй ивтсграл Лсбгга— Стилтьыо ему ра сн. 4.7 ТВОРЕМЫ О СРСЛНЕМ ЭНАЧЕНИИ 120 (4 Л.б<> (4.6-62> (4.6-56> (4.7-4) <4.6.59> (4.6«ИЭ (! ( р (+ со) (нсрагенстео Ггльдгро>. 128 ГЛ, 4 ВИФФЕРЕНПИАЛЪНОВ И ИНТВГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4,6-18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
