Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 30
Текст из файла (страница 30)
хз...,, хл) — / (х,, хз, „,, хп) !!т Ах, О д др дх, [ дх, = [хс (х( «з " хл) (4.5-3) РонзводнаЯ вЂ” = — 1 == [ (хы х, ..., х„) в каждой дР 1 др ', дхс (,дхсг)хм хз, „,, х„хс (хь хз, ..., хл), в которой существует предел (3), есть мера скорости изменения у отяосительяо х( при фиксированных значениях осталеяых независимых переменных. Частные производные —, —, ..., — определяются ана. др др др дхз' дхз' " ' ' дх„ логично. Каждая частная производная - — может быть найдена посредством др дха дифференцирования функции /(х,, х, ..., х„) ло хю если остальяьы л — 1 независимых пергмеяямх рассматривать кая постоянные параметры.
45 ДИФФГРГНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛГНИЕ 4Л-З. 1Ой ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕ1Н!Е 4.5-5. Т 5 б н н ц 5 4,5-1 Производные часто встречающихся функций (сн, также з гл, щ пронзнидные некоторых спецанньнын функций) <н) ((г( <х) !' <5( )(5) а <а — !) (а -5) ... (а — « + 1) к а-г „„а-1 ,к « (1и а) ! <г — 1) !— а <па 1и х ,)«-1 < 1) 5« (п а 1 к!пи !ок к Ып (к+ «в со5 (х + г 5 ) 555 Х ып к 5(П 5 СО5 Х (Ь) Частные произзодиыг более зысокого порядка функции у=) (х!...„х„) определяются формуламн а , а ав азд „ ) ар <« — 5« а Л = ' »х»= дх» д » а,ан — = ~ Г » — д » ах<5 х» ж) Гн — и р.
д. дк< дх) дг» х<х)х» — дх ) дх< дк) если соответству!сшие пределы существу)от. В каждом случае число 1 'ч число произве. денных дифферснпирозаиий есть порядок соответствующей частнон произво . ной. Отметим, что ч сгной производ. а«и дс дг дх дх. (1 ~ ») '» х» сели: 1) произзодиая „и суще«и(зугт а и<которой окрестности точки (х, хс, ..., х„) и и(прс)«ызиа з тикке (х(, хс, ..., х„) и 2) приигнидная —" дс), дх( сущестзугт з точке (х,, хс, ..., х„]. 4.5-3. Дифференциалы. <а) )<Пусть фуньция у=) (х) определена в некоторой окрестности точки х и пусть йх — прирап! пие независимого переменного х (дифференциал ягзаии- симого переменного х). Функция у=) (х) имеет в точке х (первый) д фф ц.*,, ссли ее приращение в этой точке мия<ст быть представлено в в (иа(, .
а " с и раый и сргнлево в виде Ау ==- ) (х+ йх) — ) (х) = А ах+ о (йх), где А не зависит от дх В эгон случае (первым) дифференциалом функции Фи у=<(х) называется главная линейная часть приращения функци! й =А й, уыкция у=) (х) имсгт з точке х дифференциал в том и п(ольго в том слу- .ас, если оиа имггт 5 гтой (почке (псрзую) произеодиую; ег ди дй и рсициал ранен йуыд(=айна= р (х) йх, Так что Ау зщ/(х+йх) — ) (х)=)' (х) ах+о (йх)=йу+о (дх). Подобныи же образом пусть фунгпвя у=)(х) х, х„) переменных х х,, ..., хн определена и некоторой окрестности точкй (х, х, „,, йх,, йхс, ..., дхн — приращения независимых переиенных (дифференциалы независимых пеРеменных) хт, хм ...
„х„. ФУнкциЯ У=) (х(, хн, ..., х„) имеет в точке (х<, хз, ..., х„) (первый) дифференциал (полный дифференциал), если ее приращение в этой точке может быть представлено в ваде Ау=) (х!+ах!, хз+йхс, . ° ., ха+ йхн) — ) (х(, хс, °, хн)= = А, йх, + А, 4(х, +... + Ан дан + о (р), г=ит45ЪН..:5«ч 5. 5..... 5, нк ии .„, дх„. В этои случае (первым) дифференциалом (полным дифферен циалом фу .ц у=)(хт, х„ ... х„) называется главная линейная часть првращения функции <!у=А, йх,+Аз йхз+" +Ан йхн От!<стим( 1) Если функция у=) (х(, х,, ..., х„) имеет а точке (х, х, .
(ф гр циал, то оиа непрерь(зиа з атой тачке и имеет а нгй зсг частиьм произзодиыг перзого порядка. 2) Если функция у=) (х(, хз, ..., х„) имеет в тачке (х„х,, ..., х„) згг игпргрыаиыг частныг праиззодныг первого порядка, то оиа имеет а этой точке (перзый) дифференциаг. (Из одвого факта суи(е- ствования всех частных производных еще не следует существования полного дифференциала.) )(иффереициал функции у=) (х), хз, ..., х„), если он суще- ствует, имеет вид у=й)=- — йх,+-,— йх,+...+ — йх„, д! д) а) (4.б-б) дсн где производные берутся в рассматриваемой точке.
Ф нк ия ун .ция у=< (х<, х,, ..., х„] диффереицнруема в точке (х,, х,, ..., х„), если она имеет в этой точке (первый) дифференциал. В этом случае АУ==)(х!+й*), ха+ах„..., хн+дхн) — У(х<, *„..., .„)= = ах дзг+ дс — дан+" + — дх„+о(р) 4 да+о(Р). 4.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Т з б л и ц з 4,5.2 (а) Основные прззнза ) л ;<х 1 [из (х1, аз <х), ..., ит Л! Ля, О] бп, д! хит <х)1= — — ++- ° + дп, ях дзз 7[х "' ди кх ' сн ЛЧ <Ки 1 ° !1 Л» ! а[ кв — )[и (х)1 ах бя Лх (4.5-6) (4.5-7) (4.5-8) лх "я( ахг йж 'г' лх — (яз) = С вЂ” й — 5-. А=О бг цгз — — (аи + ро) = а л в в Лх ° 1 „ Рх — =х х лр р=„р яр рх кх р' р ,<у у «) азр х <О р <Π— х" (О р <г) «<О' к: ]» <П]л то щи + «) кв + ао, х (во) = о аи + зя з. (4.5-!!) 116 ГЛ.
4 ДИФФЕРГНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНУ!Е (.б-(. Функция у=! (х<, хю ..,, х„) днфференцируема на множестве точек (х<, хз, ..., х„), если она дифференцируема в каждой точке этого множества. Функция у=](х,, хю ..., х„) непрерывно диффереицируема на некотором мноестве, если на этом множестве все частные производные —, существуют и непрерывны.
Функция у=](х,, тю.„, хп) называется кусочногладиой в области 1', если она непрерывна в 1', а ее частные производные др — — кусочно-непрерывны в р (п. 4.4-7, с). дх, ' дк,''''' дхя (Ь) Дифференциал каждого независимого переменного рассматривается как постоянная, так что а)зх== аз(а<х)=4 Езх== а<(бзх)ы...ыО. Дифференциал зависимого переменного есть функция от независимого переменного или переменных. Второй, третий, ... дифференциалы нужное число раз дифференцируемой функции находятся последовательным дифференцированием первого дифференциала, например, если х, х, и х, — независимые переменные, то Я(х) == г] Я) == г ](-4 и-([х') —= - ср, бхз, д'1 с(Ч (х„хз) = Ы (!]]) эж —,,— Ых] + 2 — с(х<бхз + —,— бхз, з Отметим также и си[ з 'сч / г О~ ) д] <]~] [п< (х) из (х) н (х)] ке с[ (ь<з) з— ! — 4(х~ ~~ ( 1 ( — !и ] -- — ою (с) Все функции от с(х„Ыт„..., с<хи того же порядка, что и бхгс багз...
лхгл при ![х) О, ((хз О, ..., ((хя О, суть бесконечно малые порядка г< -1- г +. + ... + гя (п. 4АЗ). В частности, гй дифференциал <[г( функции ] (хь, хз, ... х„], если ов существует н не равен аул<о в данной точке, есть бесконечно малая порядка г. 4.5-4. Правила дифференцнрованив. В табл. 4.5-2 перечислены наиболее важные правила дифференцирования. Формулы из табл. 4,5-2, а в Ь применимы и при вычислении частных производных, если в каждом случае вместо л д йх - — писать —.
Так, если дх ' и(=и((х<, хз,..., хя) (1=1, 2,..., т), ](пз, н, ..., и ) ст ~~ — ' (2 =1, 2, ..., и). (4.5-10) з'=1 Умножая каждую формулу из табл. 4.5.2, а в Ь яз бх плз на дхп получаем аналогичные правила дпя зычпсленяя вззямх дифференнняззз (см. также пи.5-ЗП тзи, Прзввлз дяфференцяровавпя интегралов указаны в табл, 4.6-1, з днффереицяреваявя бесконечных рядов — в и.
4.5-4, с. Правила дифференцирования (я. 4 5.4: в каждом случае существование соответствующих пронзводныз предполагается) Ф) Сумма, произведение в частное, Логарифмическое дяфференцврозаииес — [» (х) + он 1=----(- —, — [а (х)1= а — —, х ки ас Ли кх йх Лх' бх дх ' с! ср Кз К ~ и <с) 1 1 / ая Йх ,! [и(х) о(х)1 = о — +я, 1 ]= — (з — — и — ] [з (х)юо] лх лх' йх ~ с(х) ] сз с, йх лх] л р' (х) ах — 1о р (Ч р(з) ' и, (з) ив (х) Э а м е ч а н и е.
Чтобм продиффереицнровзть фунзавю вида р = с„(х) с, (х) может окззвться полезным найти сначала ее логзрпфмвческую производную, Ратная фунзцня. Если фупкцяя р = р (х) имеет обратя„ю ,р„„„ „ х = х Ы ') и У = и (Ь О. то лх (б) неявная функция <см, также и. 4 В.т) если функцяя задана неявно должным образом дяфференцнруемым соотношением р (х,р) = о, гле Ру т- о, то — и= — — -/р гл 2Р Р'Р' +Р" Р ,<сз= .Лз! хх и хуку урх). р (с) Фунацня, ззданяав с помощью параметра т, Если даны х=х (<), в= и (!) н лй ° кр - рзх ° смр «Р)ьс — ~О, У<О=-- "<О-= —, и <О= — — —, те йг ' — кй = атз — а<' ) в первой формуле (з) прв т > 1 следует предполагать днфферснцнрусмость фУнкции 1(иь и, ..., и ) в созтзетствУющей точке, дла чего достаточно непрерывности з зтоя ор е всех т первых честных прзяззодиыз! см.
п 45-5. "') Если функция у (х) нз интервале а (х щ. ь строго монотонна я непрерывна, тв ЯЗ аамввутОМ интервале с концами р (с) п р (а она имеет обратную функцию х (р), также непрерывную. если. кроме того,,рувкция р (х) з точке хз, где а с кз ( з. имеет провззоаяую р' (хз) ФО, то фунццня х <р) з соответствующей точке рз=а (х ) тз"зве ямеет пРоизводную в справедлива первая из пижеследуюя!нк формул. Если ф)ч'каня х оп имеет вторую провзвочную, то имеет место и вторая из этих формул, 4.ч.
ИНТГГРАЛЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГЛ 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.5-5. 4.5.1. 4. 5-5. Однородные фумкцмм. Функция Р(кл, кч, „, кп) есть одмородмап функция степени г относительно аргументов ко хм ..., х,л. еспн ! (ахп ок,л ..., ахп) = ! ( ч ч, ". и ...,ах ) =оП (х ш, ...,к ) (см. таКжСП.1.4 З,а). ЕЕПН! (Хч,Кы ..., Хп) — ПЕПРЕРЫЕМО ДпффЕРЕНЦЕРУЕМаа ОДНОРОДПаЯ ФУНК цня степени г, то к,— '-,"л — 7- р- +хп -„— =.!(.л.'л.".,«и) — — — — к 4 5.12 (тсергма Эйлсрп сб сдплрлдных фрккчккч) 4.5-6. Якобнаны и функциональная зависимость (см. также пп. 4.6-12, 6.2-3, Ь и 16.1-2).
Если фуннцип у;=у;(х), ха, ..., хп) (! =1, 2, ..., п) (4.5-13) непрерывно диффереицируемы в некоторой области и-мерного пространства и если якобиан илн функциональный определитель д(рп рм ° рп) б [ др1 (4.5-!4) д (кпхь ..., х,л) [ дка ) отличен в ней от нуля, та уравнения преобразования (13) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
