Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 25
Текст из файла (страница 25)
щ! 1=3 +1,+Хь 1=).,Х,+ХХ,+ХХ„О=кака)а т э б л н ц а 3.5-1 а1 Классификация поверхностен второго порядка ял!Ромдснные ооэерхностн Иевыроидеинме поверхности АЮО А(0 ! Точка (дейстэвтель- пан вершина мни- мого конуса! Эллипсоид Мнимый эллипсоид О(, 1 оба больше нуля центральяые пов т, ерхиос О ~О Однополостиый гиперболоид 171, 1 не сба боль- ше нуля двуполостиыа действнтельпыд ги пербоаонд конус цилиндры гсм табл 3 5-1 (О), Л' Л О! Пары плоскостей (сч таба т 5 1(б) А' = О! Гиперболический нар*боланд Э тли птическнй парэболонд Табчнца 351!Ю А О, О=О,7СО А=О, О=О, 7=0 Параболический ци- линдр Ранг квадратной матрицы (а;Ь] 4-го по. рядка (и 13,2.1) "] Парэ совпавших плоскостей характеризуется любым ма следующих дву» признаков (в) ранг [а.
1 ранен 1, !5) А = О = ! =- Л'= Л" О, 1 .О. ш) Вецеитральные поверхности О =О ( ! Гиперболический ци- лнвдр Пара действительных пересеха!ощихса пло. сластей Гэра параллельных плоскостей (минных, сслн Л" > 0; действительных, если л" ~о) Пара действительных совпадающих плоскО- стен ') 3 а 1 тк ЫЕ ГТОСЬОС Н дваМЕтрЫ Н ц !ТгЫ ПОВЕЧХ петей Пторвта ппрядкж (а) для л!обод поверхьосп( второго порядка (выра!кдеиной или невы- рогкдеиной) геометры;ес«пм пестом середин параллельных хорд служит влос- )ОСть, КОТОРЯЯ иГШЫВастСЯ ДиаЫСтРаЛЬНОЙ ПЛОС«петЬЮ ПОВЕРХиае)и, СаиРЯжЕН- пой этим хордам (илп направлению этих хорд).
Диаметрал(нля плоскость ПОВЕрХНОСтн (1), СанряжЕииая ХардСМ С Наираоажащи!Ш КОСПН) С5МИ СОЗ Пх, СОЗ Шр, Сахих, ОПРЕДСЛЯЕтен УРаансииЕМ (аихл;атс(рлгаюг+ам) совал+(аюх+а„й+ащг+аз,) сов па+ +(гзтх ! са !1+пах.+ сз!) 005 (4,=а (3 е У) (й) Прн:азп, по которой пересекаются две диаметральные плоскощн, на- зывается диаметром, солрл)хегщыю ггмгйстар птасластг(), параллесьпых со",ря- )кепныи хордам этих ди.метрзльпык плоскостен. С другой стороны, диаметр является геометрическим местом центров кривых второго порядка, по кого- )ым пересекают поверхность параллелыиые между собой плоскости ссмеиста. .'разне'щя диаметре, сопряжепяого семейству плоскостей с задш,и;ш:и ваправ- лшощпми косинусами нормалей соз а., соз а, соз а,: х' и с„хч-а„а-- а,„г.!. а„аыг ' аыз.!.
а,„х-с аы аас жахав-Ь а„хч а„ (с) При () РЬВ все диаметры поверхности второго порядка пересекаются в одной точке, г(с!степ поверхности (другое определение см. в и.;;.5-8 . П ря 1) = 0 все диаметры параллельны или лежат в одной плоскост!1, В первом случае, т. е, пои 17 ай О, поверхность называется центральной. Координаты х„эь, -, центра опредсляютса системой уравнений (3.5-0) откуда аы а!, аы аа а! а, ан а, ,а аы Если поверхность цснтральнан, го перенос (3.1-10) начала коорд!щат в сс це!и (10) грнао;!ит уравнение поверхности к тшдг Р аыхх 4- а гат-(- аюхв —,2аыхр+2аых» -1-2аыух + =-О, (з.з-) П где х, р а — координаты отаоситслы:о наной системы. ( ) Три диаметра центрально« поверхности второго порядка называются й сопряженными диаметрамя, сслп кахщый из них сопряжен плоскости дв(х других диаметров З.о-б.
Глегные плоскости и главные оси. (а) Диаметралььая плоскост(, перпендикулярная к сопряжшщьм ей хои- лал, иазыпается главкой плоскостью поверхности второго порядка и является се плоскостью симметрии. Каждая поверхность ьторого порядка имеет по меньшей мере одну главну(о плоскость и по меньшей мере две плоскости сим- метрии. (П р и и е р: параболический цилиндр имеет одну главную плоскость.) Только цилиндры имеют плоскости симметрии (перпендикулярные к образую- и(им), которые ие явля:отея главными плоскостямн. Каждая невь рож ен шя 1 ° ! Д г*" л с, г)3 ер ' ость второго порядка нысет по меньшей пере две взаимно перпен и- У р е главпыс плоскости. Кгзщзя центральная поперхность (п.
3.5-5) имеет по меньшеи м. л лав сые и! Оскостя (рошю тря если ш)з позе хностью в пеиднкулярные. ращения), среди которых всегда существуют три взаимно пер- ( ) П зметр, являющийся линней пересечения двух главных плоскостей, (Ь намет, л вно) осью понерхиосги и является ее осью симметрии. Если З.з-з. 3.6 ПОВЕРХПОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА а" Ь' с! — — = О (люетса, ха р* — — — = 1 (гпа роолцчесхой ццэлчдр), Ьэ= (3.5-131 х' , и* л' Ь' — — =О (прах|ах), Ь' = 2 РХ (ППРЛбэ лисс КП ' ЦаээцдР 1, а' .= 1 (пори плроэле ьц ш ллос.остеа), кх = О (одна дейслмптхльпоя лаоса ость!. (г Ь) а) (3.5-14) 32 ГЛ. 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ поверхность имеет две главные оси, то она имеет и третью, перпендикулярную к ним обеим. Каждая невырожзенная поверхность имеет по меньшей мсое одну главную ось, Пентрзльвая поверхность имеет по меньшей мере три (ровио три, если она не является поверхностью вращения) взаимно перпенйи- кулярпые главные осн, представляющие собой нормальные к ее главным пло- скостям диаметры (сопряженные как этим плоскостям, так и между собой, см, п.
3.5-4, а); среди глазных осей пентральной поверхности всегда име!отса три взаимно перпендикулярные. По мали к глазным плоскостям имеют иапраялепкя собстзенпых векторов мат- рицы [а(ь),, а =,, см. — 1, 2, 3 ( . п. 11 3-6! Нэпрааляющие косинусы этих нормалей соэ а„, соь а, соэ ах определяются смстемой ураэненнй и (оы — Л! соэ а -1- оы со* а -!- лы соэ аз = О, ои соэ а:1- лы соэ а -!- (оы — Х! соэ а = О, где, — отлич к ны! от нуля (чээедочо дейстзнтельный) «орезь характеристического уран- О. кисли асс коРни Иы Ль („УРазнеинЯ (61 осли п~ы от нУлЯ, то снеге ( 1 ча 12 определяет для каждого нэ этах «орйей капраяля|ощис косину пения ( !..сл се и сы глааиоп ося, В точ слу |ае, когда Л =О язляется простым «орием «арактернсти еского уравнения (61, ему соотаатстэуют напраэляющие «оскнусы единстзеииой глаэя кратный корень, то позерхяость яэляется параболическим цилиндроч нли парой парал- лельных плоскостей.
В этом случае система (3.5-12! содержит только одно неээавсймое ураанеиие. Если дополнить ее ураэнешгем а„соз а„+ аы соэ а, + оы соэ аз -— -- О, то новая систеча определит напраэлеикэ обраэуюо(их цилиндра.э( 3.5-Т. Приведение уравнения поверхности второго порядка к стандартному (каноническому) виду. Если ввести новую систему координат, осуществив 1) лазарощ координатных осей (п. 3.1-12, Ь), в результате которого нормаль к каждой из взаимно перпендикулярных плоскостей й) е) Рнс. 3.5-1. Незырождеиные позерхности второго порядка; а! эллипсоид.
Ы одиополостиый гиперболоид, с) дэуполо олоз, с) эуполостный гиперболоид, й) эллиптический параболоид, 41 гипер болический параболоид, симметрии поверхности с~веет параллельной одной из новых осей (лреабразозание к глазным осям, см. п. 14.8-5); 2) подходящий перепас начала (п. 3.1-12, а), то уравнение (1) любой невырождснной поверхности второго порядка может быть преобразовано к одному из видов, перечисленных в табл. 3.5-2. Вти поверхности изобрзжены на рис.
3.5-1 Каждое из полученных уравнений называется стацдартным (или каноническим( уравнением соответсэвуюп(сй поверхности. В табл. 3.5-2 приведены также основные свойства поверхностей и соотношения, позволяющие определить параметры а', Ь', с', р н О по ипвзриантам А, О,,) и ) уравнения (1). уразнення еырожден ых поверхностей (см, таол. 3.5-11 аналогичным образом право ится к слепчю:нему стапаартиочу заду' х' р' г" —,, =О (дейстелтелыып1 конус; кр! совой, если о' =-Ь'1, Ь' сэ у хэ у а* Ь! '- = 1 Мллиптпыскпй цллипдо; красоэой, если о' = Ь'1, и о' — .
==-О (лоре ерес «пю цлхся плоскостей), напраэчеан» иоаых осей ох, ог, ог определяются уравнениями (12] с то пюстшо до поэорота иа угол, кратный пдд вокруг любой иэ попых осей; этому преобраэоааипю соотзстстаует перестаноэка переменных х, — х, р, — и, г. — з з канонических ураанснэяхтабл, 3 5-2 3.5-6. Касательные плоскости и нормали поверхности второго порядка. Полюсы и поляры. (а) Определение касательных плоскостей и нормалей поверхности, а также условия их существования приведены в п. 17.3-2.
Уравнение касательной плоскости к поверхности (1) в точке Р, (х„ут, г,) имеет вид ап т,х+ аз,у,у+ аглг, 2 + ага (утх+ к!у) + атз (гтх+ хтг) + -, 'а,з (у,г+г,у)+а,э (хт+х)+ащ (у,+у)+аз( (г,+г)+а,4 = 0 инн (йпх, +аыу,+а зг, +аы) х+(амх,+пазу,+а зг,+аз4) у+ + (аз,х, + аз,ут+ аззг, + азт) г+ (а!гх(+ пазу!+аазгт+ а44) = О.
(Ь) Уравнения нормали к поверхности (1) в точке (х„у„г,) (см. также п. 3,3-15, Ь): х — х, а — г о~к,+а„р,+п,„а,+аы аых,-(-аыр,+о„г,+оы (3.5-15) аых, -1-оюа -1-а з, +от (с) Уравнение (14) определчет плос1(ость, которая называется полярной плоскостью точки (х,, ут, -,) относительно поверхности второго порядка (1) независимо от того, лежит лй точка (х,, у„ г,) на поверхности или нет; точка (хм уз, г,) называется полюсом плоскости (14). Полярная плоскость точки, зл-з.
гл. з. лнллитическля геоз1етрия в прострлиствв з.з.з. 3 5 повертг ости второго порядкА са — !х ".оа 'с,с н ах,' с х к ах Г-с." х ах а "х а' с „с. с х1а ч~а ! и н л „ ~а л= -Р лх и кн л х)а -~х Лт х !,с,» "~ .Й ~, ~х 1 н и .„,а Лх" л' ла ,с о н л о. гн ь с л « ь л ' х с х х я ах аа о о с о с х хл Ил л ='с. с х о О о "-- с- я .х о о а о 'х аз -хй о х а со 'х х ох с' «а: с.
.=о о ' ах Ь о а с оа сх с с х атос я о л х о)о + н х а! 1 х ~ "- а~о о о о о к гв о х х о хо н 1 а~а ьГл х (,'~ х х о с х ос р зх а х х ~'.~=. И о а ь :б ~о о~а ххх -х „оа о" х + ьсо + а. оа ь х ах а. хо хх со ао а со о о а % х о лн ох х а х с 2 х О. х сх а х Ф а, о х о а сл л а с1 х о а -' х о, И ' о х с 3 о х о Й.: сх х З = х о о х х л ,Я о Л о х а Я х ° с х х х а а х х а а х х х а, а х х с я о а' х х а х с х ах ' о ' х ахх а ях х ха аа а яя х 3 (а'" хоххсхс "соя а хс Хс. а хаь афа Йах ""ЗН а окв вхо о сахлБлзН Ф х оэав, ол о аллахах„хл х х ' ' 1 с "'ая'ха'"ох о с аосвля .хо х-Хохла х " Лалла хо = ххах-х оах ла оя л х ха о оса о аавсос схс ас р о о оХ хххя х а х 3,5-!О. ЗЛ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 97 (3.5- 16) (Ы Общий вид уравнения сферы; (3.5.!7) з з з з Р,Р, ° Р,Р, х1+ Уэ+ «э — г .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
