Корн Г.А., Корн Т.М. - Справочник по математике для ученых и инженеров (947387), страница 22
Текст из файла (страница 22)
1 хз д, 1 где р — расстояние от качала координат до плоскостн треугольника (п. 3.2 1б). Площадь А паложнтельп» если вращение правого винта в направлении Р,Р,Р, сообщает винту поступательное дви'кение в направлении положительной иаомалк к плоскости треугольвцка (п. 3,2.1, Ь) 3.1-11. Вычисление объемов (см. также п 5.2-8).
(а) Объем У тетраэдра с вершинами Рь Рм Р,. Р, Знак У зависит от того, в каком порядне рассмзтриватотся вершины тетраздра. (Ь) Объем У параллелепипеда, построенного на векторах в, Ь и с, У = [аЬс). (3 1.18) и когда объем считают только положительным; тогда У = ! [аьс)!. 3.1-12. Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельиии переносе и повороте осей. (а) Пе реп ос осе й. Пусть х, у, г — координаты произвольвой точки Р относительно декартовой прямоугодьной системы координат; пусть Х, у, г— координаты той же точки Р относительно другой декартовой системы координат, осн которой направлены так же, как оси первой системы, и начало которой имеет относительно системы Охуг координаты хш уш го Если з,<-ы. 3.1-12.
3' ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЛ. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМРэТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ единицы масштаба на осях атих систем совпадают, то координаты д, у, г свя- заны с х, у, г следующими формулами преобразования: д=х-хо, к=Я+к„'[ У=у Уо У=У+Уз,~ <3, ! !9) э=г — гш г=г+гш Ъ П осей.
Пусть х, у, г и х, у, г — координаты одной н той же точки Р относительно двух различных правых декартовых р у систем координат с общим начачом О; пусть вторая из ннх расположена относительно системы Охуг таким образом, что ось Ох имеет направляющие косинусы 1н, 121, (зт, ось Ой имеет направляющие косинусы 1ы, 1зз, 1з,, ось Ог имеет направляющие косинусы 1,з 1зз (зз. Тогда относительно системы Одугч ось Ох имеет направляющие косинусы 1н, 1,2, 1ш, ось Оу имеет направляющие косинусы 1з,, 1„, 1„, ось Ог имеет направляющие косинусы 1„, 1„, 132. Если для измерения х, у, г, х, у, 2 применяются одинаковые единицы масштаба, то формулы преобразования, связыизющне координаты х, у, г с ко- ординатами х, !), -, имеют вид х=1 к+1 у+1,2, =и -Ы Зг х= 1,<Х+1НУ+1шг, ~ — 3.
1-20) У= 1 х+1гзУ+13,2, илн У=121х+1гзи+1ззг, ( . г = 1згх + <зеу + (зтг В е ч а н я е, Преобрээозэння (23) назыоэют ор "погоне,!э , енммц пп, 13.3.2 я 14 4-51; кнждое ! раино своему оггсбронъткомя допогнснню рэ амечаняе, э ол эдеэотс4е ~з а М !!о [ = 1 <1, а = 1, 2, З) (3.1.21) !ы (и, 1.5-2Н пря этом 3 (! = 5), <З.!.22) л <!!' з! = л !)7<)з = < о <! ы 3). ! = 1 ! = ! () О нов еменный перенос и поворот осей. Если начало системы координат Одуг не совпадает с началам системы Охуг . т О г и нмеет отцов еоб азования прн- сительно последней кооРдинаты хэ, Уо, го, то формулы Р Р инмают вид; Д= 1и (х-хо)+<ш (У вЂ” Уо)+(з, (г — го), У=(ш (х — хо)+112 (У вЂ” Уе)+1зз (2 го) г =1<2 (к ке)+(зз(у Уо)+1зз (2 ге) (3.1-23) или к=(ИХ+1„у+1„+хм У= (шк+гый+(ззг+Уо г = 13<Я+!акр+ (ззг+ гп, где ианрзвлиющие косинусы 1;з удовлетворяют соотношениям (21) и (22).
У йя (23) связывают координаты относительно любых двух правых деравненйя (. ) ся х. картавых п, ямоуг х прямоугольных систем с одинаковыми единицами масштаба на ос а гл. б. Новее общие преобразования кооРдинат рассмотрены а гл. (б) Другое истолкование формул преобразования, Уравнения преобразования (23) (частными случаями которых служат (19) и (20)) могут быть истолкованы еще как соотношения, определяющие новую Р а р ипатами д, у, 2 относительно той же самой системы координат Охуз. Преобразование, в котором точка Р соответствует точке Р с координзтзйи х, у, г, с сто г, состоит в последовательном выполнении параллельного переноса и поворота пространства (см.
также пп. !4.1- и !3.3- ). к=к (1), У=У(ПН или г=г(1), 2= 2 (1) ( — схэ ~ 1 к. 1,-," 1 ~са) (3. 1. 24) где х(1), у(1), г (1) — непрерывные функцип действительного параметра в замкнутом интервале [1, (з) (параметрическое задание кривой). С друго.с стороны, кривая может быть определена равносильной снагеыой уравнений цт(х, у, г)=О, ср,(к, у, г)=О. (3.
1-23) Кривая может иметь бол е чем одну ветвь. Кряпчя <24) кээьээстся простой кривой (простой дугой, простым о!Резком крнгой) плн, точэсо, простой кряеоз э смысле жордяпэ, сслн Функцнн х <О, д (и, г <!) одно. эна псы, ноорсгь эны и э э мчцутоы нцтерэале !<ь <,1 нет таких дэ) т гпээнчнмх эпэчсцяй т, я ть для которы . спрэнсдлнэы зсе трн рэзепстээ: х(т ) — т(г ), и(т)=и(т ), г(т ) — 'г(т ) <К<- с) Зэметнм, ~то терчнн по стэя дуга косто употребляется для обозпэчепяя геомстрн !сско о )юсээ точек, коордп гты которых х, Л, г з некоторой денэртокой прямоугольной шцтсме .оордннат удозлетноряют урэпеенням р = 1(т), г =. г (х), о х 5, где Функции 1(х), г(х) одноэначяы н имеют непрсрыяные пронэяолные э пзтерэале !и, д!.
Орестея 'корда. иова крнзэя состоят нэ о твой ветви н не имеет кратных то ~як, т. е точняк сэмопересечсякя простой замкнутой крнэоя нээь!ээется непрсрыннэя «рнэея, едпнстэенпымн крэтнычн точкэмн которо<! янэяют.г е н эльная н коне пэя точкн; это енэчкт, что едннстзенныч РЕШЕПНСМ УРЭЭНСПНй <25) Э НнтЕРЭЭЛЕ (<ь 1,] СЛУжпт т, = !ь С, = <, КРИВаЯ (24) НЭЭЫ- яэется регулярном ду[ой, если прн некотором парэметраческоя задании этой крнэод с,ункцнк г ((1, и рь г (О нчсэат э каждой точке кривой непрерыэные прояээодные перого порядке (и 1 5-!) по пэремстру 1, по меньшей мере одна нэ которых отлнчнэ от «Уля; то!кэ кривой <24) с координатами х <<э), и (<,), г <1,) неэызестся ее рссулярпок <обыкновенной) точкой, сслк зля знэченнй <, достэточно блйэкнх к <„ кривая пред тояЛэет собой регулярн !о д\су Ре уляряея «ряззя есть простая кривая яля простая ээмкнутея кривая, состээлен ° эя нз конечного я!селе регулярных дуг.
73Н Все этн определенна переносятся нэ крнэые з двумерных прострянстээх (пп 2 !.з н 7. -1), е тякше на крнэыс э прострэястзэх, рээмерность которых больше трех (и. 17 4-2). 3.1-14. Способы задания поверхностей (см. также пп. !7.3-! — 17.3-!3). Множество точек Р (х, у, г) = — Р (г), координаты которых удовлетворяют системе уравнений х=х(и, и), у=у(и, о), г=г(и, о) (3.1-27) при подходящих значениях действительных параметров и, о, называс<гя непрерывной поверхностью, если правые части уравнений (27) являются непреРывными функциями параметров. Поверхность может быть определена также УРавнением ф (х у, г)=0 нли 2=1 (х У) Поверхность может иметь более чем одну полость.
]]озерклосгли, опредсляемые ураамемиял!и <р (х, у, г) = О и Л <р (х, у, г) = О, (3.1-29) созппдпют, если !ползло поспюлнлая й оглличпп от ну)я. и ос!по" полости м я росшод лоэсрхнэсэыю называется непрерывная позерхность, состояп*,эя кэ одяоп м яе нмеюшэя сэмопересеченнй (кратных точек).
Пря этом подрээумеээ тся, и простые позерхностя яелнются дзустороннямн (одностороннке понерхностн, такие, к,ь 4"сш Мебнрсп, нсключюотся), 3 а м е ч э н и е, Рэсстояккя между тачками, углы между непреэленнымн отрезкэмп я, следопэтельзо, я е сооэпошення между эекторемя, состаэляюжке содержэнне езклкдозой геочетрня, сохраняют я пря поэороте н параллельном переносе (23), т. е. опн кнэорлон;пнм относптольно ьтпх преобреэоэеннй (пп. 12 1.5 н 12 1-4), 3.1-13. Аналитическое задание кривых (см, также пп.
с 17,2-! по 17.2.6). Непрерывной кривой трехмерного пространства называется множество точек Р (х, у, г) 5 — -Р (г), координаты которых удовлетворяют системе параметрических уравнений 3.2" 1, з 2 плоскость 3.(-щ. Гл. 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРЛНСТВВ Тачка поверхности (27] называется рллулярнай гпалхай, если пра некаторон парэ. мет и' е р ческам задании поверхности функции (27) имеют в достаточной близости к рассмат- риваемой тачке непрерывные частнме производные первогО пар д одни иэ определителей. дх ду ду дк дг дх ди ди ди ди ди ди (3 1-3О) дх ду ' ду дх ' дг дк да да да уа ди да от и н ат пуля. Простой кусок поверхности, ограниченный регулярной замкнутой кРп- вай, называется рллулярне~м, если все его внутренние точки регу р иаллрхнастэю иаэы с ю называется двусторонняя простая (замкнутая или незамкнутая) посерхностэ, аб ими ег ла ними дусэии составленная иэ конечного числа регулнрямх кусков с а! Р у Р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
